Origami
Ay: Ağustos 2015
Saka
Büromun hemen karşısındaki çalılar bu günlerde sakaların yeni mekanı haline geldi. Kırmızı başlı olan yetişkin bir saka, diğerleri ise henüz genç.
Kelebekler
İki hafta önce çocuklarla Luisenpark’a gittiğimde tabii ki kelebekleri de ziyaret ettim. Tropik ortamlarda yaşayan kelebekleri yakından görebilmek için oldukça iyi bir imkan. Ümit bir kenarda sıkılırken Serkan kelebekleri kandırma konusunda epey başarılıydı. Aşağıdaki videoda oldukça hareketli olan üç değişik örnek görülebilir.
Erkek – Kız (Çözüm)
Eğer çocukları aşağıdaki tablodaki gibi listelersek soruyu kolayca çözebiliriz:
| Büyük çocuk | Küçük çocuk |
| Erkek | Kız |
| Kız | Erkek |
| Erkek | Erkek |
İki çocuğun da kız olamayacağını bildiğimize göre sadece diğer üç ihtimal kalmaktadır. Bütün bu durumlar eşit olasılıklar olduğundan iki çocuğun da erkek olma olasılığı 1/3’tür. Tabii bu analizi yaparken örnek uzayımızı nasıl seçtiğimiz önemli. En az bir çocuğu erkek olan iki çocuklu aileleri kullanırsak yukarıdaki gibi 1/3 sonucuna ulaşırız. Eğer sadece iki çocuklu aileleri alırsak ve rastgele seçtiğimiz bir ailede rastgele seçtiğimiz çocuk erkek ise o zaman sonuç 1/2 olur.
Şimdi ikinci soruya bakalım.
Burada da yukarıdakine benzer bir tablo hazırlayacağım ama bu sefer iki ek sütun tanımlayacağım. Birincisinde bu şartı sağlayan kaç değişik durum olduğunu belirteceğim ve yanındaki sütunda da bunu açıklayacağım. Öncelikle çocukların erkek ya da kız olmalarının ve doğdukları günlerin birbirlerinden bağımsız durumlar olduklarını kabul edelim. Böylece tablodaki her durum eşit olasılığa sahip olacak ve sadece durumları saymakla soruyu çözeceğiz.
| Büyük çocuk | Küçük çocuk | Toplam durum sayısı | Açıklama |
| Kız | Kız | 0 | Çocuklardan en az biri erkek olduğundan iki kız olan bir durum yoktur |
| Erkek | Kız | 7 | Erkek çocuğun salı günü doğduğunu bildiğimize göre kız diğer yedi günde de doğmuş olabilir. Yani yedi değişik durum var: (Erkek salı, kız pazartesi), (Erkek salı, kız salı), … |
| Kız | Erkek | 7 | Erkek çocuğun salı günü doğduğunu bildiğimize göre kız diğer yedi günde de doğmuş olabilir. Yani yedi değişik durum var: (Kız pazartesi, erkek salı), (Kız salı, erkek salı), … |
| Erkek | Erkek | 13 | Bunu saymanın kolay yolu, iki erkek çocuğun da salı günü doğmadığı durumları sayıp toplam durum sayısı olan \(7\cdot{7}=49 \) sayısından çıkarmak. Bir çocuğun salı günü doğmadığı durum sayısı 6’dır, iki çocuk için bu sayı $latex 6\cdot{6}=36 4 olur. Yani 49 – 36 = 13. Aynı sonuca şöyle de ulaşılabilir: Bir çocuk salı doğmuşsa diğer çocuk için 7 durum var. Şimdi aynı mantığı diğer çocuk için de uygularsak toplam 14 durum olur fakat iki çocuğun da salı günü doğmuş olduğu durumu iki kere saydığımızdan bunu çıkarırız ve yine 13 sonucunu buluruz. |
Bu durumda iki çocuğun da erkek olma ihtimalini bu durum sayısının toplam durum sayısına oranı ile buluruz, yani:
\(p=\frac{13}{7+7+13}=\frac{13}{27} \)
İlk soruya ilk bakışta çok gereksiz görünen bir bilginin eklenmesi sonucu oldukça değiştirdi. Heralde daha başka ‘gereksiz’ bilgiler ekledikçe sonuç 1/2’ye daha da yaklaşacaktır.
Günün fotoğrafı
Rengini değiştirebilen bir dişi yengeç örümceği üzerine konmuş bir sinek. Nedense örümcek avlanmak istemiyor gibiydi.
Barış süreci akşama kadar deva etmemiş ama
Origami
Ahmet Tivitoğlu ötücü kuşların en tanınmışlarından biridir.
Gerbil
Sonunda bahçedeki hasattan kar payı almaya çalışanlardan birini yakaladım. Adı Tutan Comeon.
100 hapishane hücresi (Çözüm)
Kilitli bir kapı ilk ziyarette açılacaktır, ikinci ziyarette tekrar kilitlenecektir. Üçüncü bir ziyarette tekrar açılacaktır ve bu böylece devam edecektir. Yani eğer kilitl bir kapı tek sayıda (1, 3, 5, …) ziyaret edilirse artık açık durumda olacaktır.
Başlangıçta bütün kapılar kilitli. O zaman her kapının kaç kere ziyaret edildiğini bulmamız gerekecek. Tek sayıda ziyaret edilen kapılar açık olacak ve çift sayıda ziyaret edilenler de kilitl kalacak. Bunun basit bir çözümü oyunu gerçekten de adım adım oynamak ve kapıların durumlarını takip etmek. Biraz uzun sürer ama neden olmasın? Daha çabuk bir yolu var mıdır? Elbette!
Gözlem:
Her kapı o kapı numarasının pozitif bölenlerinin sayısı kadar ziyaret ediliyor. Örnek vermek gerekirse 6 numaralı kapı, birinci, ikinci, üçüncü ve altıncı turlarda ziyaret ediliyor. Bu tur numalararı da kapı numarasının pozitif bölenleri.
Peki verilen bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını nasıl hesaplayabiliriz?
Bunun cevabını başka bir yazıda kısaca vermiştim.
verilen bir \(a \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(a=p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}} \) olsun.
\(a \) sayısının pozitif bölenlerinin sayısını \(n(a) \) ile gösterirsek
\(n(a)=(n_{1}+1)\cdot(n_{2}+1)\ldots(n_{k}+1) \)
Her kapı numarası için bu çarpımı hesaplamak yerine sadece hangi çarpımlar için sonucun tek sayı olduğuna bakalım. Bir çarpım sadece bütün çarpılan sayılar tek ise tektir. Eğer çarpılan sayılardan biri bile çift ise, bütün çarpımın sonucu çifttir. Çarpılan sayıların her biri tek olacaksa o zaman \(n_{1} \), \(n_{2} \), \(n_{k} \) sayılarının hepsi çift olmalıdır. Bu da sayının bütün asal çarpanlarının kuvvetlerinin çift olması demektir.
Eğer bir sayının asal çarpanlarının hepsinin kuvvetleri çift ise o sayı tamkaredir.
\(a=p_{1}^{2\cdot{n_{1}}}\cdot{p_{2}^{2\cdot{n_{2}}}}\ldots{p_{k}^{2\cdot{n_{k}}}}=(p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}})^2 \)
Sonuç:
Aradığımız kapılar numaları tamkare sayılardır. Yani hücreler birden yüze kadar numaralanmışsa 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 numaralı kapılar gardiyanın eğlencesi bittiğinde açık olacaktır ve diğer bürün kapılar kilitli kalacaktır. Tabii gardiyanın ilk turu bittiğinde hücrelerde hala tutuklu biri kalmış mıdır bilmiyorum.