Ay: Aralık 2015

Hafif ve ağır toplar (Çözüm)

Tartı işlemlerinin nasıl yapılacağını bulmak için önce en az kaç kere tartmamız gerektiğini bulmamız lazım. Bunun için de öncelikle üçer topun kaç değişik şekilde dizilebileceğini bulmalıyız. Olası bütün dizilimleri bulmak için altı top arasında sadece ağır topların dizilişlerine bakmamız yeterli, çünkü bu dizilişler hafif topların dizilişlerini de kesin olarak belirler. Diziliş sayısını bulmak için altı topun üçlü kombinasyonunu hesaplayalım.

\(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot{3!}}=\frac{6\cdot{5\cdot{4\cdot{3\cdot{2\cdot{1}}}}}}{3\cdot{2\cdot{1\cdot{3\cdot{2\cdot{1}}}}}}=5\cdot{4}=20 \)

Madem çok fazla diziliş yok o zaman bu dizilimleri aşağıdaki gibi listeleyebiliriz. Ağır toplar için A, hafif toplar için de H harflerini kullanalım.

  1. A A A H H H
  2. A A H A H H
  3. A A H H A H
  4. A A H H H A
  5. A H A A H H
  6. A H A H A H
  7. A H A H H A
  8. A H H A A H
  9. A H H A H A
  10. A H H H A A
  11. H A A A H H
  12. H A A H A H
  13. H A A H H A
  14. H A H A A H
  15. H A H A H A
  16. H A H H A A
  17. H H A A A H
  18. H H A A H A
  19. H H A H A A
  20. H H H A A A

Çift kefeli bir terazi ile tek tartıda üç değişik durumu ölçebiliriz:

  1. Sol kefe daha ağırdır.
  2. Sol kefe daha hafiftir.
  3. İki kefe de eşit ağırlıktadır.

İki tartıda \(3\cdot{3}=9 \) değişik durum ölçebiliriz.

Üç tartıda ise \(3\cdot{3\cdot{3}}=27 \) durumu ölçebiliriz.

\(27>20 \) olduğundan üç tartı ile bu problemi çözebileceğimizi varsayabiliriz. En azından daha az tartıda çözüm olmadığını biliyoruz. O zaman üç tartı ile soruyu çözmeye çalışalım.

Bu noktada küçük bir tartı tuzağına dikkat etmeliyiz. Eğer iki kefeye de üçer top koyarsak tartı aşağıdaki durumlardan birinde olacaktır:

  • A A A > H H H
  • A A H > A H H
  • A H H < A A H
  • H H H < A A A

Bu olasılıklardan da görüldüğü üzere bu tartının eşit olma şansı yok. Yani üç tartıdan birinde üçer top tartmaya kalkarsak çözebileceğimiz toplam durum sayısı \(3\cdot{3\cdot{2}}=18<20\) olacaktır ki bu durumda olası 20 durumun hepsini bulamayacağız.  Böylece problemin çözümünde iki kefeye de ya bir ya iki top koymamız gerektiğini bulmuş olduk.

Şimdi de tartıların nasıl yapılacağını bulalım.

 Topları \(T_{1}, T_{2},T_{3}, T_{4}, T_{5}, T_{6} \) diye gösterelim.

Önce kolay olan yöntemi deneyelim. Her kefeye birer top koyarak çözümü bulabilir miyiz diye deneyelim.

1. senaryo: Tartı sonuçlarında hiç eşitlik olmadı:

1. tartı: \(T_{1}>T_{2} \) ise \(T_{1}=A \) ve \(T_{2}=H \) sonuçlarını elde ederiz.

2. tartı:  \(T_{3}>T_{4} \) ise \(T_{3}=A \) ve \(T_{4}=H \) sonuçlarını elde ederiz.

Bu aşamada kalan iki topun da farklı ağırlıklarda olduğu artık biliniyor, çünkü bir ağır ve bir hafif top kaldı.

3. tartı: \(T_{5}>T_{6} \) ise \(T_{5}=A \) ve \(T_{6}=H \) sonuçlarını elde ederiz.

2. senaryo: İkinci tartıda eşitlik oldu:

2. tartı: \(T_{3}=T_{4} \) ise \(T_{3}=A \) ve \(T_{4}=A \) ya da \(T_{3}=H\) ve \(T_{4}=H \) olmalı. Bu durumda ilk tartı sonuçlarını da dikkate alırsak kalan iki topun da kendi aralarında eşit ve ikinci tartıdaki toplardan farklı olduğu sonucuna varırız. O zaman 3. tartıda ikinci ve üçüncü gruplardan birer tane topu karşılaştırmak yeterli olacaktır:

3. tartı: \(T_{3}>T_{5} \) ise \(T_{3}=T_{4}=A \) ve \(T_{5}=T_{6}=H \) sonucunu elde ederiz. Eğer \(T_{3}<T_{5} \) ise de \(T_{3}=T_{4}=H \) ve \(T_{5}=T_{6}=A \) olacak şekilde bütün topları bulmuş oluruz.

3. senaryo: İlk tartıda eşitlik çıktı:

1. tartı: \(T_{1}=T_{2} \) ise \(T_{1}=T_{2}=A \) ya da \(T_{1}=T_{2}=H \) sonuçlarını elde ederiz.

2. tartı: İlk gruptan bir top ile kalan dörtlü gruptan bir topu karşılaştıralım. \(T_{1}=T_{3} \) ise işimiz kolay. Üçerli iki grubu bulmuş olduk. Bilmediğimiz tek şey hangi grubun ağır olduğu. Bunu da son tartıda iki gruptan birer topu karşılaştırarak çözebiliriz. \(T_{1}>T_{3} \) ise \(T_{1}=T_{2}=A,T_{3}=H \) sonuçlarını bulmuş oluruz. Son tartıda da kalan üç topu çözmemiz gerekiyor.

3. tartı: Bu tartıda kalan üçlüden birer topu karşılaştıracağız. \(T_{4}=T_{5} \) ise bu ikisi de hafif olmak zorunda çünkü iki tane ağır top kalmadı. O zaman problemi \(T_{4}=T_{5}=H, T_{6}=A \) şeklinde çözmüş oluruz. \(T_{4}>T_{5} \) ise çözüm \(T_{5}=T_{6}=H, T_{4}=A \) şeklini alır. Son olarak da \(T_{4}<T_{5} \) olursa, \(T_{4}=T_{6}=H, T_{5}=A \)  sonucunu elde ederiz.

Aquajogging

Çocuklar yüzme kursuna giderken havuzda yürümeye çalışan bir kadın gördüm. Sırtına garip plastik bir parça giymişti ve bu sayede batmadan yavaşça havuzda boydan boya ilerliyordu. Bu nedir acaba diye merak ettim ve kasadaki bilgi broşürlerinden bunun aquajogging olduğunu öğrendim.  Teknoloji ne kadar ilerlemiş diye düşündüm birden. Ben aquajogging’i icat ettiğimde böyle yardımcı aletler yoktu henüz.

Otuz yıl kadar önceydi sanırım. Yaz tatillerimi Gölcük’e çok yakın olan Ulaşlı köyünde amcamlarda geçirirdim. Günlerimiz sabahları uyuyarak, öğleden sonra kayıkla balığa çıkarak, akşamları futbol, geceleri de saklambaç oynayarak geçerdi. Bir gün Gölcük kaymakamı ailece köye geldi ve amcam onları misafir etti. Hep beraber balığa çıkıldı. Amcam kaymakam beyle ilgilenirken, kuzenim ve ben de kaymakamın kızlarıyla ilgileniyorduk. Kızlar balık tutarken biz ayıklama ve oltaları hazırlama işlerini yapıyorduk. Zevkle yaptığımız bu hizmeti karşılıksız bırakmak istemeyen kaymakam da bizi Ulaşlı’daki askeri kampa davet etti. Biz de bu daveti tabii ki geri çevirmedik.

Kampa gittiğimizde fark ettim ki grupta yüzme bilmeyen bir tek ben vardım. Sorun değildi ama. Havası hafif inik bir adet şambrel ile bu sorun kolayca çözülmüştü. İskele civarında şambrel ile küçük turlara başladım. Kuzenim ve kızlar da civarda yüzüyordu. Küçük bir dalganın ardın şambrel birden henüz okulda öğrenmediğimiz fizik kurallarına uyarak beni üzerinden attı. Küçücük boyumla külçe gibi derin suya gömülmüştüm. Suyun üzerine çıkamamama rağmen ilginç bir şekilde panik de yapmıyordum. Ne kadar bekledim bilmiyorum ama yardıma gelen giden yoktu. Madem öyle ben kurtulayım bari diye düşündüm ve gözlerimi açıp etrafa bakmaya başladım. Su altında bulanık bir şekilde iskelenin tahta bacaklarını görmeyi başardım. Bu sayede karaya ulaşmak için hangi yöne gitmem gerektiğini çözebildim ama su yüzünde yüzemediğim gibi suyun altında da yüzemiyordum. Yüzemediğime göre yürümekten başka çare kalmamıştı. Yürümek içinse zemine inmem gerekiyordu. Yeterince su yuttuğumdan bu da bir sorun olmadı. Ayaklarım yere basıp da planın ilk kısmının başarılı olduğunu görünce artık bu işi başaracağımdan kuşkum kalmamıştı. Yavaşça ama kararlı bir şekilde karanın olduğu tarafa doğru yürümeye başladım. Zeminin yavaşça yükseldiğini fark edebiliyordum, bir süre sonra bana ait olmayan bacaklar görmeye başladım ve bir iki adım sonra da kafamı sudan çıkarabildim. Etrafıma baktığımda kimsenin bu maceramı fark etmediğini anladım ve böylece elde ettiğim mutlak başarının verdiği gururla kaymakamın kızlarına görünmeden kıyıya çıkıp sakince kusmaya başladım.

Bu icadımı bir daha denemeyi düşünmediğimden ona bir isim verme ihtiyacı duymamıştım ama şimdi bütün dünyada bu kadar popüler olduğunu gördüğüme göre belki bir şans daha verebilirim.