Ocak 2016 – Yılmaz Aksoy Blog

Sayı bulmaca (Çözüm)

Oyunun kuralından ve konuşmalardan aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:

Sayılar birden büyük: Kural olarak verilmiş. Demek ki olası en küçük sayı çifti 2 ve 2.
Ayla’nın çarpımı birden farklı sayıların çarpımı olarak en az iki değişik şekilde yazılabiliyor: Aksi halde Ayla iki sayıyı da hemen bulabilirdi.
Ahmet’in toplamı birden farklı iki sayının toplamı şeklinde en az iki şekilde yazılabilmeli: Aksi halde Ahmet ilk turda sayıları bulabilirdi.
Ahmet’in elindeki toplamı veren sayı çiftlerinin hepsi de birden farklı sayıların çarpımı olarak en az iki değişik şekilde yazılabiliyor: Aksi takdirde Ahmet Ayla’nın toplamı bulamayacağını bilemezdi.
Toplam 14’ten küçük: Konuşmadan öğreniyoruz.

Bu çıkarımlar doğrultusunda bir tablo hazırlayalım.

Toplam	Olası toplamlar	Olası çarpımlar	Açıklama
4	$latex 2+2=4 4	$2\cdot{2}=4 $	(2) ve (3) numaralı kurallar ihlal edildiğinden bu sayılar olamaz.
5	$latex 2+3=5 4	$2\cdot{3}=6 $	(2) ve (3) numaralı kurallar ihlal edildiğinden bu sayılar olamaz.
6	$2+4=6 $ $3+3=6 $	$2\cdot{4}=8 $ $3\cdot{3}=9 $	(2) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
7	$2+5=7 $ $3+4=7 $	$2\cdot{5}=10 $ $3\cdot{4}=12=2\cdot{6} $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
8	$2+6=8 $ $3+5=8 $ $4+4=8 $	$2\cdot{6}=12=3\cdot{4} $ latex 3\cdot{5}=15 $ $4\cdot{4}=16=2\cdot{8} $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
9	$2+7=9 $ $3+6=9$ $4+5=9 $	$2\cdot{7}=14 $ $3\cdot{6}=18=2\cdot{9} $ $4\cdot{5}=20=2\cdot{10} $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
10	$2+8=10 $ $3+7=10 $ $4+6=10 $ $5+5=10 $	$2\cdot{8}=16=4\cdot{4} $ $3\cdot{7}=21 $ $4\cdot{6}=24=3\cdot{8}=2\cdot{12} $ $5\cdot{5}=25 $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
11	$2+9=11 $ $3+8=11 $ $4+7=11 $ $5+6=11$	$2\cdot{9}=18=3\cdot{6} $ $3\cdot{8}=24=2\cdot{12} $ $4\cdot{7}=28=2\cdot{14} $ $5\cdot{6}=30=3\cdot{10}=2\cdot{15} $	Bütün kurallara uyuluyor
12	$2+10=12 $ $3+9=12 $ $4+8=12 $ $5+7=12 $ $6+6=12 $	$2\cdot{10}=20=4\cdot{5} $ $3\cdot{9}=27 $ $4\cdot{8}=32=2\cdot{16} $ $5\cdot{7}=35 $ $6\cdot{6}=36=3\cdot{12}=4\cdot{9}=2\cdot{18} $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.
13	$2+11=13 $ $3+10=13 $ $4+9=13 $ $5+8=13 $ $6+7=13$	$2\cdot{11}=22 $ $3\cdot{10}=30=5\cdot{6} $ $4\cdot{9}=36=2\cdot{18}=3\cdot{12}=6\cdot{6} $ $5\cdot{8}=40=4\cdot{10}=2\cdot{20} $ $6\cdot{7}=42=3\cdot{14}=2\cdot{21} $	(4) numaralı kural ihlal edildiğinden bu toplam da olamaz.

Bu tablodan olası tek toplam olarak 11 ortaya çıkıyor. Hangi sayı çiftinin doğru olduğunu bulmak için (5) numaralı çıkarımı hem Ayla’ya hem Ahmet’e uygulamamız yeterli. Yani Ayla da çarpıma bakarak toplamın 14’ten küçük olduğunu baştan beri biliyorduysa o zaman elindeki çarpım 24, 28 ya da 30 olamaz. Bu durumlarda toplamın 14 ya da daha büyük olduğu birer çarpım var. Bu durumda Ayla’nın elindeki çarpım 18 olmalı, yani öğretmen 2 ve 9 sayılarını tutmuş.

Kesirli sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterme

Geçen hafta salı akşamı eve geldiğimde Ümit matematik ödeviyle beni bekliyordu. Soruda istenen şey verilen kesirli sayıları sayı doğrusu üzerinde bulmaktı. Sayı doğrusu üzerinde 0 ile 1 arasının 10 eşit bölmeye ayrılmasını da istiyordu ama bu sadece bulunan noktanın konumunu daha iyi görebilmek içindi, çünkü verilen kesirler genelde onluk düzende sonlu basamakla gösterilebilen sayılar değildi. Verilen kesirli sayılardan ilki $\frac{2}{3} $ idi.

Ondalık sayılarla bölme işlemi çok avantajlı gözükmedi ilk anda. Ümit’in bu sayıları derste görüp görmediğini anlamak bile zordu. Ders kitabını biraz karıştırmaya başladım. Kesirler ve sayı doğrularıyla ilgili bulabildiğim tek şey bir geometrik şekil oldu. Bu şekilde gösterilir diyordu ama hiçbir açıklama yoktu. O zaman kitapta önerilen geometrik çözümü öğretmeye karar verdim.

Örneğin $\frac{2}{3} $ kesirli sayısı için önce sayı doğrusu çiziliyor. 0 ve 1 sayılarının pozisyonları işaretleniyor. Ardından sayı doğrusunda 0 noktasından sayı doğrusuna dik olacak şekilde başka bir sayı doğrusu çiziliyor. Bu doğru üzerinde de 0’dan verilen kesrin paydasına kadar bütün tamsayılar işaretleniyor. Sonra bu ikinci sayı doğrusundaki payda noktasıyla orijinal sayı doğrusundaki 1 noktalarını birleştiren doğru parçası çiziliyor. Sonra da ikinci sayı doğrusu üzerinde kesrin payından biraz önce çizdiğimiz doğru parçasına paralel bir doğru çiziyoruz. Bu son doğrunun ilk sayı doğrusunu kestiği P noktası aradığımız noktadır. Kitapta bahsedilmeyen tek nokta bu ikinci doğrunun birinci doğru parçasına paralel olmasıydı. Tabii ki Ümit’e bunun neden paralel olması gerektiğini anlatamayacaktım ama en azından cetvel ile bunun basit bir yolunu göstermeliydim.

İlk çizdiğimiz sayı doğrusundaki 1 sayısına karşılık gelen C noktasından aşağıya doğru ikinci sayı doğrusundaki 3 ve 2 sayılarının oluşturduğu $\overline{AB} $ doğru parçasının uzunluğu kadar inelim ve bulduğumuz noktaya D noktası diyelim. Böylece $\lvert{AB}\rvert=\lvert{CD}\rvert $ ve $\overline{AB}\parallel{\overline{CD}} $ durumlarını elde ederiz. B ve D noktalarını birleştirdiğimizde bir paralelkenar çizmiş olacağız ve böylece $\overline{BD}\parallel{\overline{AC}} $ şeklinde istediğimiz çizimi de elde ederiz.

$\overline{BD} $ doğru parçasının ilk sayı doğrusunu kestiği P noktası aradığımız noktadır.

Bu çözüm tabii ki basit kesirler için işe yarar, yani kesrin payı paydasından küçükse. Eğer elimizde bileşik ya da tam sayılı kesir varsa yönteme bir adım daha eklememiz lazım. Önce kesri tam sayılı kesre dönüştürelim. Örneğin $\frac{5}{3} $ kesrini ele alalım. Bu bileşik kesri tam sayılı kesir halinde yazarsak $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} $ kesrini elde ederiz. Bu çözüm için çizdiğimiz ikinci sayı doğrusunu kesrin tamsayı kısmı kadar sağa kaydırmamız gerekecek. Ondan sonraki bütün çizimler aynı kalacak. Şimdi bu kesrin çözümü olan çizimi görelim.

Sayı bulmaca

Matematik öğretmeni sınıfta yine bir oyun oynamaya karar verir ve Ayla ile Ahmet’i yanına çağırır. Oyunun kuralları basittir. Öğretmen aklında birden büyük iki tam sayı tutar. Bu iki sayının çarpımını Ayla’ya, toplamını da Ahmet’e verir. Ayla ile Ahmet arasında sonra şöyle bir konuşma geçer:

Ayla: Toplamı bulamadım.

Ahmet: Bulamayacağını biliyordum. Toplam 14’ten küçük.

Ayla: Bunu biliyordum ama şimdi iki sayıyı da buldum.

Ahmet: Ben de!

Öğretmenin tuttuğu sayılar neydi?

Çok gözlü

Mandelbrot kümesi

Sonunda daha önce Julia kümeleri üzerine yazdığım bir yazıda da kısaca bahsettiğim Mandelbrot kümesi programını da hallettim. Aslında sonuçlar Julia kümesindeki kadar ilginç olmadığı için (Meşhur Mandelbrot şeklini kim bilmez ki?) programlara zoomlama eklerini de daha sonra eklemeyi düşünüyorum.

Bu programda Julia kümesinden tek fark $z_{n+1} = z_n^2 + c $ dönüşümünde $z_{0} = 0 $ başlangıç durumunu almak ve grafiğin noktalarına göre c sabitini belirlemek. Yeni algoritma bu durumda aşağıdaki gibi olacaktır:

Algoritma:

$z=0 $ olacak şekilde kompleks değişkenimize ilk değer atanır.
Çizim yapılacak ekranın her noktası için: Seçilen nokta bir $c $ kompleks sayısına dönüştürülür.
Her adımda elde edilen kompleks sayı yarı çapı 2 olan dairenin dışına düşmediği ve maksimum adım sayısına erişilmediği sürece dönüşüm uygulanır.
Seçilmiş nokta için elde edilen adım sayısına göre bir renk üretilir.
Seçilmiş nokta ekran üzerinde bu renge boyanır.

Program Julia kümesindeki programa çok benzediğinden daha fazla açıklama yapmayacağım. Programa aşağıdaki bağlantı üzerinden açılan sayfada erişebilirsiniz. Sağ fare tuşuyla sayfa kodunu ve sayfa içindeki javascript programını indirebilirsiniz.

yilmazaksoy.com/apps/Mandelbrot.html