Geçenlerde Steven G. Krantz’ın ‘An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture through Problem Solving’ adlı kitabını okumaya başladım. Kitapta matematik tarihindeki önemli kişiler ve gelişmeler basit örnekler ve alıştırmalarla anlatılıyor. Bu açıdan kolayca okunan bir kitap ama yine bu anlaşılırlık hedefi yüzünden konular tamamen işlenmiyor.
Kitapta cebir kısmında Harezmi’den ve cebrin ortaya çıkmasından bahsedilen bölümde kullanılan ikinci derece denklem çözüm yöntemi ilgimi çekti. Oldukça kolay anlaşılır ve basit bu yöntemin temel mantığı kareye tamamlama işlemiydi. Bu yöntemi burada bir iki örnekle göstermeye çalışacağım. Soruları cebirsel şekilde göstereceğim ama burada hatırlanmalıdır ki cebrin ortaya çıktığı dönemlerde bu tür sorular her zaman kelimelerle anlatılıyordu.
\(x^2 + 10 \cdot{x} = 39 \)
Önce \(x^2 \) terimi için bir kenarı \(x \) uzunluğunda olan bir kare çiziliyor. Bu karenin alanı \(x^2 \) birimdir.
Sonra bu karenin her kenarına alanı \(2.5\cdot{x} \) olacak dört adet dikdörtgen ekleniyor. Bu yeni eklenen dikdörtgenlerin alanları toplamı da böylece \(10 \cdot{x} \) oluyor.
Böylece boyalı alan toplamı \(x^2 + 10\cdot{x} \) olur. Bu toplam alanın 39 birim olduğu da sorunun başlangıcında verilmişti.
Şimdi şeklin dört köşesindeki eksik alanları da boyayalım ve başlangıçtakinden daha büyük bir kare elde edelim. Bu yeni küçük alanların her biri \(2.5\cdot{2.5}=6.25 \) birim büyüklüğündedir. Yani toplamda \(4 \cdot{6.25}=25 \) birim daha boyalı alan ediyor. Daha önceki toplam alan 39 birimdi. Böylece son karenin toplam alanı da \(39 + 25 = 64 \) birim olur.
Alanı 64 olan karenin bir kenarı 8 birimdir. Yukarıdaki şekilden de görüyoruz ki büyük karenin bir kenarı \(x + 2.5 + 2.5 = x + 5 \) birimdir. Bu terimi de 8’e eşitlersek sonuç olarak
\(x + 5 = 8 \implies{x=3} \) bulunur.
Bu yöntemle tabii ki denklemin eğer varsa pozitif bir çözümünü bulabiliriz. Bu şekilde \(x^2 + b\cdot{x}=c \) (\(b>0, c>0 \)) şeklindeki bütün denklemleri çözebiliriz, çünkü bu tür denklemlerin her zaman iki reel kökü vardır ve bu köklerden biri pozitiftir. İki reel kökün olduğunu görmek için diskriminanta bakmak yeterli.
\(x^2 + b\cdot{x} – c=0 \)
denkleminin diskriminantı aşağıdaki gibidir.
\(b^2 + 4\cdot{c} > 0 \)
Bunun değeri de \(b>0, c>0 \) şartları için her zaman pozitiftir.
Peki denklemde b katsayısı negatif ise geometrik çözüm nasıl olur? Örnek olarak şu denklemi alalım:
\(x^2 – 4\cdot{x} = 12 \)
İlk adım, yani bir kenarı x olan kareyi çizmek aynı kalır. Ondan sonra karenin her kenarından bir kenarı \(x \), diğer kenarı da \(1 \) olan dikdörtgenler çıkarılır. Sonuçta ortaya şöyle bir şekil çıkar.
Başlangıçtaki kareden çıkarılan alanlar taralı alanlardır. Dört köşedeki çift taralı alanlar bu işlem sırasında iki defa çıkarılmıştır. Bu nedenle bu köşelerin alanlarını denklemin sağ tarafına eklememiz gerekmektedir. Böylece şekildeki taralama olmayan mavi alan \(12 + 4 = 16 \) olur. Alanı 16 olan karenin bir kenarı da 4 birimdir.
Bunu kullanarak ilk baştaki karenin bir kenarını bulabiliriz.
\(1 + 4 + 1 = x = 6 \)
Bu denklem türü ( \(b<0, c>0 \)) de her zaman pozitif diskriminanta ve pozitif bir köke sahip olduğundan yukarıdaki geometrik yöntemle çözülebilir.
Kaynakça:
‘An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture through Problem Solving’, Steven G. Krantz
Vikipedi: https://tr.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2rizm%C3%AE