Soru
Bazı soruları sezgisel olarak çözmek cebirsel çözümden daha kolay oluyor. Bu da benim için onlardan biriydi. Aslında cebirsel çözüm aramak zorunda da değildim ama belki düşündüğüm şeylerden daha kolay olur diye denedim yine de. Bakalım daha kolay oldu mu?
Birinci ve ikinci oyuncu arasındaki oyunların sayısına \(x \), ikinciyle üçüncü oyuncular arasındaki oyunların sayısına \(y \) ve üçüncü ile birinci oyuncular arasındakı oyunların sayısına da \(z \) diyelim. Soruda verilen bilgileri bu notasyonla şöyle yazabiliriz:
\(x + z=10 \), birinci oyuncunun toplam oyun sayısı. (1)
\(y + x=15 \), ikinci oyuncunun toplam oyun sayısı. (2)
\(z + y=17 \), üçüncü oyuncunun toplam oyun sayısı. (3)
Demek ki elimizde üç bilinmeyenli üç denklem var ve bu denklemi ortaokulda öğrendiğimiz gibi çözebiliriz.
İkinci denklemden birinci denklemi çıkarırsak:
\(y – z=5 \) buluruz. Bunu da üçüncü denklemle toplarsak:
\(2\cdot{y}=22 \)
\(y=11 \) buluruz.
Bu sonucu üçüncü denklemde yerine koyarsak:
\(z + y=17 \)
\(z + 11=17 \)
\(z=17-11=6 \) buluruz.
Son olarak da birinci denklemi kullanarak:
\(x + z=10 \)
\(x + 6=10 \)
\(x=10 – 6 = 4 \) buluruz. Böylece kimin kimle kaç maç yaptığını bulmuş olduk.
Birinci oyuncu ikinci oyuncuyla 4 oyun oynamış.
İkinci oyuncu üçüncü oyuncuyla 11 oyun oynamış.
Üçüncü oyuncu da birinci oyuncuyla 6 oyun oynamış.
Şimdi bu oyuncuların birbirlerini kaç kere yendiklerine bakalım. Yine cebirsel bir yaklaşım sergilemeye çalışacağım ama önce bir kuralı hatırlayalım. Birinci oyuncu ikinci oyuncuyu yenerse bir sonraki oyunda birinci oyuncuyla üçüncü oyuncu oynayacak. Bunu göz önüne alırsak şöyle bir ilişki daha buluyoruz.
Birinci ve ikinci oyuncunun birbirleriyle oynadığı oyun sayısı birinci oyuncunun üçüncü oyuncuyu yendiği oyun sayısı ile ikinci oyuncunun üçüncü oyuncuyu yendiği oyun sayısının toplamıdır. Tabii bu eşitlik her zaman doğru değil. Örneğin ilk maç birinci ve ikinci oyuncular arasındaysa bu eşitlik geçerli olmuyor, daha doğrusu verilen toplamdan bir fazla oluyor, çünkü ilk oyun diğer şartlardan (oyunlardan) bağımsız gerçekleşmiş. Tabii eğer son oyunda birinci ve ikinci oyuncu oynaması gerekiyorken oyunu kesmişlerse toplam yine doğru olur ama işi bu kadar karıştırmaya gerek yok. Bu eşitliği göz önünde tutarak oyunların seyri hakkında çıkarımlarda bulunalım.
İkinci ve üçüncü oyuncu arasında oynanan 11 oyuna bakalım. Eğer ilk oyun ikinci ve üçüncü oyuncu arasında değildiyse yukarıdaki kuralı uygulayabiliriz. Yani ikinci oyuncunun birinci oyuncuya karşı kazandığı oyunların sayısıyla, üçüncü oyuncunun birinci oyuncuya karşı kazandığı oyunların sayısının toplamı 11 etmeli. Bu sayıların (6 ve 4) toplamı ise en fazla (birinci oyuncu oynadığı her oyunu kaybettiği durumda) 10 ediyor. Bu sonuçtan yola çıkarak ilk oyunun ikinci ve üçüncü oyuncular arasında gerçekleştiğini görebiliriz.
Bu çıkarımdan sonra soruyu şu şekilde hafifçe değiştirebiliriz. İkinci ve üçüncünün oynadığı ilk oyunu sorudan çıkaralım ve ilk oyunu birinci oyuncu ile diğer oyunculardan birinin oynadığını söyleyelim. Yani
İlk oyunu birinci oyuncu ikinci ya da üçüncü oyuncuyla oynamış.
Birinci oyuncu ikinci oyuncuyla 4 oyun oynamış.
İkinci oyuncu üçüncü oyuncuyla 10 oyun oynamış.
Üçüncü oyuncu da birinci oyuncuyla 6 oyun oynamış.
Yeni soru eski soruyla eşdeğer. Şimdi yukarıdaki kuralı tekrar uyguladığımızda güzel bir sonuç bulacağız. İkinci oyuncunun birinci oyuncuya karşı kazandığı oyunların sayısıyla, üçüncü oyuncunun birinci oyuncuya karşı kazandığı oyunların sayısının toplamı bu sefer 10 etmeli. Bu şartı tek bir şekilde sağlayabiliyoruz, o da birinci oyuncu bütün oyunlarını kaybettiyse, çünkü o zaman 6 + 4 = 10 oluyor. Bu yeni oyunda ilk oyunu birinci oyuncu oynamıştı ve sonuca göre onu da kaybetmiş olması lazım. Şimdi de bu sonucu sorunun orijinal haline uyguladığımızda ikinci oyunu birinci oyuncunun kaybetmiş olduğunu görürüz.
Aslında çözümü yazmaya başladığımda baştan sona cebirsel bir çıkarım yapmayı umuyordum ama kimin kaç maç kazandığı sorusuna geldiğimde elimdeki denklemler birden altı bilinmeyenli olmaya başladı. Aslında altı bilinmeyene karşı altı denklem de elde ettim ama bu denklemler de ilk oyunun kimlerin oynadığına bağlı olduğundan üç değişik denklem sistemi çözmem gerekecekti. Bunun yerine o denklemlerden birini yukarıda bir kural olarak kullandım ve gerisini cebirle değil de mantıkla anlatmaya çalıştım.
Soruyu ilk çözdüğümde ise daha başka bir yol izlemiştim. Bir oyuncunun diğerlerinden daha fazla oyun oynaması için ne gerekir diye düşündüm. Tabii ki arka arkaya kazanması lazım. Kazandığı her iki oyun için diğerlerine bir fark atabilir böylece. Bu şekilde ikinci oyuncunun birinci oyuncuya 5 ve üçüncü oyuncunun da birinci oyuncuya 7 fark atabilmesi için birinci oyuncunun bütün oyunları kaybetmesi gerektiğini çıkarmıştım. Sonra da farkların tam olarak bu sonucu verebilmesi için ilk oyunun ikinci ve üçüncü arasında olması gerektiğini buldum, böylece bu oyundan sonra farklar (4 ve 6) için birinci oyuncu yeterince oyun kaybedebilecekti. Sonuç olarak bu yöntem de yukarıda verdiğim çözüme çok benziyor. Hangisi daha kolay bilmiyorum ama.
