Plakalar

Bu soruyu da Alex Bellos’un the guardian’daki köşesinden aldım.

Bir dönel kavşağa 5 araç giriyor. Sürücüler sırayla Ayşe, Betül, Canan, Didem ve Ebru. Araçların plaka numaraları da 1, 2, 3, 4 ve 5 ama bu sırayla olmak zorunda değil. Her sürücü önündeki ve arkasındaki araçların plakalarını görüyor ama kendi aracınınkini göremiyor. Her sürücü diğer sürücülerle kulaklık ve mikrofon aracılığıyla konuşabiliyor.

Birden kulaklıklarda bir ses duyuyorlar:

– Aracınızın plakası tamkare mi?

Hep birden bilmediklerini söylüyorlar.

Aynı ses tekrar soruyor.

– Aracınızın plakası tamkare mi?

Ebru hariç herkes bilmediklerini söylüyor. Ebru ise hayır cevabını veriyor. (Ebru da dahil herkes aynı anda cevap veriyor)

Aynı ses yine duyuluyor.

– Aracınızın plaka numarası arkanızdaki aracın plaka numarasından büyük mü?

Didem bilmediğini söylüyor.

Ardından Betül ve Ebru hayır diyorlar.

Sonra da Ayşe ve Canan’ın evet cevapları geliyor.

Herkesin aracının plaka numaralarını bulun.

 

Fisher’in kaçış evrim modeli üzerine denemeler

Evrim teorisi temelde basit olmasına rağmen birçok durumda akılda canlandırmakta zor oluyor. Bu nedenle bu konuyu daha iyi anlayabilmek için elimden geldiğince simülasyonlar yazmaya karar verdim. Bu ilk sümülasyonda cinsel seçilim konusunda Fisher kaçış modelini denedim. Önce anladığım kadarıyla bu noktalara kısaca değineceğim ve sonra da simülasyonu sunacağım.

Evrimde doğal seçilimin yanında cinsiyetler arası seçilim de oldukça önemlidir. Hayatta kalabilen bir birey eğer çiftleşemezse genleri bir sonraki nesle aktarılamaz.

Bazı kuş türlerinde erkeklerde hayatta kalma şansını artırmaya yaramayacak büyüklükte kuyruklar vardır. Bu kuyruklar yardım etmediği gibi aynı zamanda yük de olmaktadır. Peki, o zaman nasıl bu kadar büyümüşler?

Ronald Fisher, 1930’da bu durumu açıklayabilecek bir model öne sürdü. Erkekteki süs özelliğini güçlü bir şekilde seçen dişi bu şekilde doğal seçilimin etkisini zayıflatabilirdi. Bu şekilde bu süs, süsün masrafı cinsel seçilimin getirisinden büyük olana kadar artabilir ya da büyüyebilir. Burada masraftan kasıt örneğin kuşun artık hiç uçamayacağı bir kuyruğa sahip olması olabilir. Bu durumda bu erkekler dişiler tarafından seçilecek olsa bile hayatta kalamadıklarından çiftleşme şansı bulamayacaklardır.

Fisher’in açıklaması için erkeklerdeki abartılı süs ve dişilerdeki bu süsü tercih etme genetik özellikler olmalı, yani genlerle nesilden nesile aktarılabilmeli. Gruptaki diğer bireylere göre ortaya çıkan bu iki ayrılık da (erkekteki süs gelişimi ve dişideki bu süsü seçme eğilimi) Fisher’e göre birbirlerini pozitif bir şekilde ilerleteceklerdir.

Süslü erkeği tercih eden bir dişinin dişi yavrusu olursa kendi tercih geni de yüzde elli ihtimalle bu yavruya geçecektir ve bu yavru da yüzde elli ihtimalle annesinin tercih özelliğini gösterecektir. Bu dişi yavru aynı şekilde babadan da büyük süs genini yüzde elli ihtimalle alacak. Her ne kadar kendisi büyük süs özelliğini göstermese de yine kendisi bu geni bir sonraki nesle aktarma şansını sürdürecektir. Aynı mantığı erkek yavru için de yürütebiliriz. Erkek yavru babadan aldığı büyük süs geninin etkisini gösterirken anneden aldığı büyük süs seçim genini de bir sonraki nesle aktaracaktır.

Aşağıdaki linkten bu modelin simülasyonuna erişebilirsiniz. Simülasyon animasyonsuz çalıştırıldığında sadece her nesilde kaç tane normal erkek (normal süse sahip), normal dişi (eş seçimini süs büyüklüğünden bağımsız yapan), farklı erkek (büyük süse sahip) ve farklı dişi (eş seçiminde büyük süsü tercih eden) birey olduğu hesaplanıyor. Bir sonraki nesli üretmek için o nesildeki bireyler seçim yöntemlerine göre birer eş seçiyor ve sonraki nesilde toplam popülasyon büyüklüğünde çocuk oluşana kadar ürüyorlar. Çocukların erkek veya dişi olması ya da babadan ve anneden hangi genlerin geleceği rastgele seçiliyor. Eş seçiminde monogami ya da poligami olması seçeneği de mevcut. Poligamide bir erkek birden fazla dişi ile çiftleşebiliyor. Burada çiftleşmeden kastım başarılı döllemedir, beraber olma sıklığı ya da çeşitliliği simülasyonda ele alınmamıştır. Eğer animasyon seçeneği kullanılırsa popülasyon büyüklüğünü küçük tutmak iyi olacaktır yoksa hem simülasyon çok uzun sürecek hem de popülasyon ekrana sığmayacaktır. Animasyon modunda bireyler dikdörtgen şeklinde gösterilmektedir. Erkek bireyler E, dişi bireyler de D harfi ile işaretlenir. Dikdörtgenlerin alt tarafında anne ve babadan geçen genler gösteriliyor. S geni, büyük süsü gösterirken s geni de normal süsü göstermektedir. Aynı şekilde T geni büyük süsü tercihi simgelerken t geni de rastgele tercih anlamına geliyor. Üremeye katılan çiftler animasyon sırasında yeşil gösteriliyor. Sonra bir alt satırda bu birleşmeden ortaya çıkan çocuklar yeni nesilde genlerle beraber gösteriliyor. Ardından dişi birey bu nesilde bir daha çiftleşemeyeceğinden kırmızıya dönüyor. Eğer ilişki durumu monogamiyse erkek birey de kırmızı oluyor. Poligami seçilmişse aynı erkek başka çiftleşmelerde de bulunabiliyor.

Üreme aşamasında şöyle bir algoritma kullandım. Seçilen çiftleşmelerden önce sırayla birer çocuk ürüyor. Ardından toplam nüfus istenen değere ulaşana kadar aynı çiftleşmelerden rastgele seçimler yapılıyor ve basla çocuklar da ürüyor. Animasyon sırasında ise bu iki kademe aynı anda oluyor gibi gösterilmekte.

Simülasyonlarda da görüldüğü gibi poligaminin yaygın olduğu popülasyonlarda aşırı süs ve bu süslerin tercih genleri daha hızlı yayılıyor.

Simülasyon

Bu simülasyonda daha başka özellikler de görmek isterseniz bunu yorum kısmında belirtebilirsiniz.

Hz. Wendho

Aborijinlere gönderilen peygamber Wendho, kavmindekilerin aksine okuma yazma biliyordu. Bu mucize sayesinde kavmi kendisinin peygamber olduğuna hemen ikna oldu. Wendho kendisine gelen vahiyleri bir kitapta topladı ama bu kitabın çok az bir kısmı günümüze kadar korunabildi. Aslında korunabildi yerine saklanabildi demeliyim, çünkü Wendho kitabi kavmine bırakmadı. Kitabın sayfaları çok uzun zaman sonra bir sandık içinde toprağa gömülü olarak bulundu.

Yer yer okunabilen parçalardan aktarılan kısımlar şöyle:

Haberci melek sordu: Sana verdiğimiz emirleri kavmine ilettin mi? Ben de “ilettim” dedim. “Nasıl karşıladılar?”.  “Her zamanki gibi karşıladılar, yüce haberci” dedim.

… Artik işitmede iyice zorlanmaya başladım. Her üç kelimenin birini anlamıyorum. Acaba haberci meleğe bundan bahsetsem mi? Daha önce söylemediğim için çok kızarsa? Böyle devam edeyim en iyisi…

…Haberci melek bugün de sordu. “Ey tanrının …, kavmin yüce … emirlerine … mu? … eksiksiz …? “Herşey yüce tanrının izniyle yolunda” dedim.

Melek devam etti: “Yüce tanrı, … vahiy …”

Wendho: “Tabii yüce haberci”

Melek: “Kıyamet … inananlar … cennete … Her … yetmişiki … verilecek.”

Wendho: “Tabii yüce haberci”

Melek: “İnanmayanlar da … gidecek.”

Wendho: “Tabii yüce haberci”

Melek: “Günde … kere … etmeyenler de …”

Wendho: “Yüce haberci, aslında …”

Melek gürledi: “Eyyy Wendho, tanrının sözünü ne cüretle kesersin?”

Wendho: “Tabii yüce haberci”

Melek: “Git, … kavmine … göster”

Wendho: “Tanrının izniyle, hemen.”

Okunamaz durumda olan birkaç sayfadan sonra son sayfada şunlar yazıyordu.

… Artık dayanamıyorum buna. Kavmime vahiyleri doğru iletip iletmediğimi bilmiyorum. Beni dinleyip dinlemediklerini bile bilmiyorum. Yeni vahiy gelecek diye her gün korkuyla uyanmak çok feci. Keşke yüce tanrı canımı alsa da kurtulsam.

Wendho kitabını sandığa koydu ve birazdan olacakları bilir gibi küreğini alıp derince bir çukur kazdı, sandığı dikkatlice bu çukura yerleştirdi ve üzerini toprakla örttü. Gömünün yerini belirten hiçbir işaret bırakmadı. Artık bütün işlerini bitirdiğinden yatağına uzanıp hazırladığı çayını içmeye başladı. Daha bitirmeden yüce tanrı da Wendho’nun son dileğini yerine getirdi.

Maaş meseleleri – Çözüm

Soru:

Maaşların ortalamasını bulmaya çalışan kişilere Ahmet, Bülent ve Cem diyelim. Kurallara göre hiçbiri kendi maaş bilgisini diğerlerine söyleyemez. Maaşların ortalamasını bulmak için maaşların kendilerini bilmeye de gerek yok. Toplamı bilinse yeter. Bu toplamı üçe bölerek ortalaması bulunur.

Peki maaşları söylemeden toplamlarını nasıl bulabilirler?

Bu sorunun geleneksel çözümünde izlenen yol şöyle.

1. Ahmet bir kağıda kendi maaşı ile bir rastgele sayının toplamını yazar ve kağıdı 
   Bülent'e verir.
2. Bülent kendi maaşını aklında tuttuğu bir rastgele sayıyla toplar ve sonucu
   Ahmet'in toplamına ekleyerek başka bir kağıda yazıp Cem'e verir.
3. Cem de aynı şekilde kendi maaşına rastgele bir sayı ekleyerek bu toplamı elindeki
   kağıtta yazan toplama ekler ve sonucu yeni bir kağıda yazarak Ahmet'e verir.

Bu ilk tur sonunda ortada dolaşan tek kağıt üzerinde maaşların ve üç adet
rastgele sayının toplamı vardır. Eğer rastgele sayılardan kurtulabilirsek aradığımız
maaşlar toplamına ulaşmış olacağız. Bu arada ara toplamların yazılı olduğu kağıtların 
imha edilmesi gerekmektedir, yoksa ortalama bulunduktan sonra bu kağıtlardaki bilgilerle
herkesin maaşı hesaplanabilir.

4. Ahmet elindeki toplamdan kendi kullandığı rastgele sayıyı çıkarır ve sonucu ayrı
   bir kağıda yazarak Bülent'e verir. 
5. Bülent bu kağıttaki toplamdan kendi rastgele sayısını çıkararak sonucu yeni bir kağıda
   yazar ve Cem'e iletir.
6. Cem de bu sayıdan kendi rastgele sayısını çıkarıp bir kağıda kalan toplamı yazar.

Bu toplamda sadece maaşlar mevcuttur ve toplamı üçe bölerek ortalama bulunur.

Buna benzer başka bir çözüm de ikinci turda rastgele sayıların çıkarılması yerine aynı rastgele sayıyı maaştan çıkarıp toplama eklemekle elde edilebilir. Bu durumda ikinci tur sonunda kağıdın üzerindeki toplam maaşların toplamının iki katı olacaktır ve bu toplamı altıya bölerek ortalama bulunur.

Eğer seçilen rastgele sayıların toplamı önceden bilinse o zaman ikinci tura da gerek kalmaz. İlk tur sonunda elde edilen toplamdan rastgele sayıların toplamı çıkarılır ve kalan sayı üçe bölünür. Rastgele sayı toplamını üç kişi de bildiğinde herkes diğerlerinin maaşlarını iki olasılığa indirebilir. Rastgele sayılar ve maaşlar arasındaki ilişkilere göre bazı durumlarda maaşlar bulunabilir, çünkü iki ihtimalden biri negatif maaş sonucu verebilir.

Bir başka çözüm yolu da bütün bilgilerin saklılığı üzerinden bulunabilir. Örneğin herkes maaşını bir kumbaraya koysun ve sonunda toplam para sayılsın. Böylece koyma anında kimse diğerlerinin ne kadar koyduğunu görmeyecek ve sonunda doğru toplam bulunacak. Burada asıl sorun maaşın geri dağıtılması sırasında ortaya çıkacaktır. Herkesin parasını sırayla yığından alması işe yaramaz, çünkü parasını ikinci sırada alan birinci sırada alanın maaşını bilecektir.

Para almayı gereksiz kılmak için temsili paralar önerisi de yapılabilir. Kimse parasını istemeyeceğinden işlemin sonunda toplam para imha edilebilir.

Hz. Alvis

Hz. Alvis, Kvenlere gönderildiği bilinen tek peygamberdir. Kendisine kitap ya da vahiy indirilmedi. Buna rağmen tanrı ona evrenin bütün bilgilerini bahşetti. Hiçbir meslekle uğraşmayan Alvis bütün gün etrafta dolaşır ve insanların sorduğu soruları cevaplardı. Okuma yazması olmadığından bugüne kadar kalan tüm bilgiler arkadaşlarının bize aktardıklarıdır.

-Bir gün öğlen vakti pazarda gezerken balıkçı Hendrik, Alvis’le dalga geçmek istedi. Bir balık yumurtasının nasıl şişip kocaman balık haline geldiğini sordu. Alvis de anlatmaya başladı: “Balık yumurtası bir hücredir. O hücre büyür ve zamanı gelince ikiye bölünür. Sonra bu iki hücre büyümeye başlar ve sonra onlar da bölünür. Bir süre sonra belli yerlerdeki hücreler daha farklı bölünmeye, daha özel şekiller almaya başlar. Böyle böyle değişik organlar oluşur ve en sonunda çok sayıda ve farklı hücrelerden meydana gelen bir balık”.

-Bir akşam gökyüzündeki renkli ışıkları gösterip “tanrılar acaba bu sefer ne diyor?” diye soran çobana sakince şunları anlatmıştı: “O ışıkların tanrılarla bir ilgisi yok. Güneş’ten çıkıp dünyanın çevresindeki gaz tabakasına giren çok küçük parçacıkların bu tabakadaki daha büyük parçacıklarla çarpışarak yörüngelerinde hareket eden parçacıkları başka yörüngelere çıkarması ve sonra bu parçacıkların eski yörüngelerine dönerken aldıkları enerjiyi başka bir parçacık şeklinde geri vermelerinden ibaret. Bu şekilde renkler oluşuyor. Değişik renkler değişik miktarda enerji demek oluyor.” Çoban bu açıklamadan hiç memnun olmadı ve “Sen benim dinime neden saygı göstermiyorsun?” deyip evine gitti.

-Alvis insanların kendisine sorular sormasından çok hoşlanırdı. Her soruya verecek cevabı vardı. İnsanlar ise bu cevapları ya anlamıyorlardı ya da zaten eğlenmek için sorduklarından dinlemiyorlardı. Alvis bu durumdan hiç şikayetçi olmadı ve kimseyi de cevapsız geri göndermedi.

Hz. Alvis’in ölümü

Alvis’in ölümü o güne kadar kendisine inanmayan kavmini tanrının varlığı ve kendisinin de onun peygamberi olduğu konusunda ikna eden tek mucizesidir. O gün öğleden sonra köy halkı avdan dönenleri karşılamaya gittiler. Tabii ki Alvis de onlarla beraberdi. Avlanmış hayvanlar yere serildiğinde köy halkı birden bir adım geri attı. Geyiklerden biri beyazdı ve bu iyiye işaret değildi. Kalabalık hemen bunun kutsal bir yaratık olduğunu ve bunu öldürmenin köye lanet getireceğini konuşmaya başladı. Bunun üzerine Alvis daha sonra veda hutbesi diye de anılacak konuşmasını yapmaya başladı:

“Bu kutsal bir geyik değil. Avladığımız diğer geyiklerle aynı. Sadece bir gen hatasına sahip. Bu nedenle vücudundak, renk veren maddeler çok az ve kırmızı yerine beyaz görünüyorlar. Daha ilginç bir durum ise şu avlanmış tavşanlarda görülebilir. Dikkat ederseniz sert kış döneminden önceki yıllarda avladıklarımızdan daha kalın derileri var. Ayrıca daha da iriler. Yiyecek miktarı eskisinden daha az ama önceki hallerine geri dönmemişler. Demek ki  evrimleşmişler, kalıcı bir şekilde. Son sert kış döneminde hayatta kalmayı başaranların soyu bu. Genleri bir şekilde değişip daha kalın derili olanlar o kışı atlatabildi ve hayatta kaldılar. Sonra da ürediler ve o genler sonraki nesillere aktarıldı. Bu her zaman olan bir işlemdi. Biz de değişe değişe, çevreye uya uya, hayatta kala kala bu hale geldik. Eskiden, yani çok eskiden iki ayak üzerinde bile yürümüyorduk mesela.”

Kalabalıktan homurdanmalar duyulmaya başladı. “Yine delirdi bu”, “Dediklerinden bir kelime bile anlamadım”, “Saçmalamayı bırak”. Alvis’in arkadaşları bir olay çıkmasından korkarak onun koluna girerek uzaklaştırmaya çalıştılar ama Alvis onları iterek konuşmaya devam etti.

“İnanmıyor musunuz? O zaman size ilk insanların ortaya çıkışını da anlatayım…”

Tam bu sırada kalabalık, büyük bir ışık ve gürültüyle etrafa saçıldı. Yerden kalkabildiklerinde gördükleri şeyle hayrete düştüler. Alvis’ten geriye sadece kömürleşmiş bir yığın kalmıştı. Köyün dericisi bu mucizeyi şu şekilde onayladı:

“Tanrı onu bize gönderdi ve şimdi de geri aldı. Keşke dediklerini anlayabilseydik.”

Peygamberler tarihi – Hz. Caecelius

Asaph usta yaptığı sayısız gezilerde topladığı yazılı ve sözlü kaynakları derleyip hayalindeki eseri yazmaya karar vermişti. Bugüne kadar gönderilmiş binlerce peygamberin çok azı hakkında bilgi vardı. Diğerleri hakkındaki bütün bilgiler de küçük dükkanının arkasındaki daha küçük çalışma odasında etrafa saçılmış şekilde duruyordu. Kağıtlardan birini rastgele seçip aldı ve masasının başına geçti. Bu hikayeyi nerede bulduğunu hatırlamıyordu ama el yazısına bakılırsa kendi notları olmalıydı. Kaz tüyü kalemini, hokkasını ve kağıtlarını önüne çekip yazmaya başladı.

Mont Cervin diye bilinen bölgede büyük tufandan 250 yıl sonra bir kavim yaşardı. Yüce tanrı bu kavme Caecilius adında bir peygamber gönderdi. Caecilius’tan bize kalan pek bir bilgi yok. Sadece demirci olduğu biliniyor. Bir de aşağıda anlatılan hikaye.

Caecelius bir sabah, içinde büyük bir huzursuzlukla uyandı. Kalkıp dışarı çıktı. Güneşin doğmasına daha çok vardı. Çeşmede yüzünü yıkadı ve tekrar içeri girdi. Bu saatte böyle uyanmasının tek bir anlamı olabilirdi. Yanına yiyecek bir şeyler alarak vahiyleri aldığı mağaraya doğru yola koyuldu.   Giderken bir yandan da daha öncegelen vahiyleri hatırlamaya çalışıyordu. Şimdiye kadar bir sorgu olmamıştı ama işi şansa da bırakmak istemiyordu. Ay ışığında uçurumların kenarından yürüyerek sonunda mağaraya ulaştı. İçeride aydan daha parlak bir ışık kendisini bekliyordu.

“Ey Caecelius. Çağrımızı duydun ve geldin.”

“Geldim yüce tanrının habercisi.”

“Seni neden çağırdığımızı biliyor musun?”

“Bunu sadece yüce tanrı bilebilir. Ben sadece gelirim ve söylenenleri iletirim.”

“Tanrı kullarından artık yeni bir ibadet bekliyor.”

“Nasıl bir ibadet?”

“Son zamanlarda kulları görme engellilerle dalga geçmeye başlamış. Bu tanrının hiç hoşuna gitmedi. Tanrı kullarının görme yetisini sadece kendi bildiği nedenlerle aldı. Bunu bilmeyen kulların bu durumla dalga geçmesi tanrıya hakarettir.”

“O kullar benim de sorumluluğumda. Ne yapmam gerekiyor?”

“Görebilen herkes artık yılda bir ay göremeyenlerin neler hissettiğini anlayabilmeleri için gün doğumundan güneş batana kadar gözlerini kapatacaklar. Bu sırada gözlerini açan o gün yerine 45 gün aynı ibadeti yapacak.”

“Ama bir ay bütün gün gözler kapalıyken işleri kim yapacak?”

“Yapacaklar işte. Göremeyenler de bütün işlerini yapıyor. Şimdi git ve bu müjdeyi kullarına ver.”

Caecelius mağaradan çıktığında güneş doğmak üzereydi. İnananlarına bu ibadeti bildirmeden önce kendisi bunu denemeliydi. Niyet etti ve gözlerini kapattı. Yürümeye başladı. Bu sırada meleğin anlattıklarını tekrar tekrar düşünüyordu. İbadeti hatasız anlatmalıydı. Kulların sorabileceği soruları da düşünüyordu. “Ya ibadeti yapan birinin yanından gözü açık biri geçse? İbadet eden nefsine hakim olamayıp bu saygısızı döverse?” Bu düşüncelere dalmışken birden düşmeye başladı. Geç de olsa uçurumları hatırlamıştı.  Yine de ibadetine ara vermedi ve cennetteki yerini aldı.

Taş yığınları (Çözüm)

Soru

Oyuna başlayan oyuncu bir hamlede bütün taşları alamayacağına göre hedefi taş yığınlarını hamle sırası olan kaybedecek şekle getirecek bir hamle yapmak olmalıdır. O zaman önce hangi pozisyonların kaybettiğine bakalım.

Deneme yanılma ile 1 ve 2 taştan oluşan iki grubun kaybedeceğini görebiliriz. Olası hamlelere bakalım.

[table id=28 /]
[table id=29 /]
[table id=30 /]

Şimdi 1 ve 2 taştan oluşan yığınların oyunu kaybettiğini gördüğümüze göre kurallara uygun hamleler ile bir hamlede bu duruma dönüştürülebilen bütün yığınların oyunu kazanacağını görebiliriz.

[table id=31 /]
[table id=32 /]
[table id=33 /]

Tablolardan da görüldüğü gibi henüz 7 ve 10 taşlık yığınlara erişemedik. Yığınların birinde 3 taş olan en küçük kayıp durumunu arayalım şimdi. Deneme yanılmayla şu çözümü bulmak da kolay.

[table id=34 /]
[table id=35 /]
[table id=36 /]
[table id=37 /]

Demek ki 3 ve 5 taşlı yığınlar kaybeden bir pozisyonmuş. Daha önce de yaptığımız gibi iki yığına da eşit sayıda taş ekleyerek yeni kazanç pozisyonları üretelim.

[table id=38 /]

Ayrıca bu kazanç pozisyonlarını da görmek kolay.

[table id=39 /]

Hala 7 ve 10 yığınlık pozisyona ulaşamadığımızdan sıradaki sorunla ilgilenelim: Bir yığında 4 taş olan en kayıp pozisyon hangisidir? 4 ve 5 ile 4 ve 6 taştan oluşan pozisyonların kazanç getirdiğini yukarıdaki tablolarda gördük. O zaman 4 ve 7 taşı deneyelim.

[table id=40 /]
[table id=41 /]
[table id=42 /]

Demek ki 4 ve 7 taşlık yığınlar da kayıp pozisyonmuş. Şimdi bu yığınlara eşit sayıda taş ekleyrek kazanç pozisyonları bulalım.

[table id=43 /]

Bu tabloda sonunda 7 ve 10 taşlık yığınların kazanç pozisyonu olduğunu görüyoruz. Yani oyuna kim başlıyorsa ilk hamlede iki yığından da üçer taş alarak 4 ve7 taşlık yığınlar oluşturur. Bu pozisyon da yukarıda gördüğümüz gibi kaybetmeye mahkumdur.