Üniversite sınavı

Lise sonla beraber etütler serisinin sonuna da geldik. Bir yıl önce iplemediğimiz üniversite sınavı birden hayatımızın merkezine çöktü. Hepimizin ailesi aynı bölümleri kazanmamızı istediğinden, diğerlerinden daha iyi olmalıydık. Bunun için herkes kendince en büyük problemleri gidermenin yollarını aradı.

Son sınıfta Fen Lisesi’nden ayrılıp normal bir liseye giderek orta öğretim başarı puanını yükseltmeye çalışanlar oldu. Bu planı uygulayanlardan birisi bir keresinde benim nöbetçiliğimdeyken okulu telefonla arayıp eski sınıf arkadaşlarından birini çağırtmıştı. Anlamadığı bir soruyu ona sormak zorunda kalmıştı. Bu örnek bu planın en zayıf noktasını çok iyi gösteriyordu bence, yatılı Fen Lisesi’nde her türlü problemi çözebilecek biri her zaman elinizin altında olurdu. Daha yüksek ortalama için bu imkanı feda etmek bana mantıklı gelmemişti. Ayrıca son sene matematik, geometri ve kimya dersleri sayesinde okul boyunca gördüğüm en yüksek not ortalamama da ulaşabilmiştim. Şimdi hala ortaöğretim başarı puanı diye bir şey var mı bilmiyorum ama diğer sorunlar için internet artık çok başarılı.

Daha alışıldık yöntem ise dersaneye gitmekti. Sanırım bunu hepimiz yaptık. Genelde dersaneler dönem başında bir sınav yapıp belli sayıda öğrenciye bedava ders imkanı veriyordu. Biz İzmit ekibi olarak orada bir dersaneye gittik ve parasız hazırlandık. Dersaneler ortalamada faydası oluyordur belki ama bana hiçbir etkisi olmadı. Sene başında kaç net yapıyorduysam sene sonunda da o kadar yapabildim.

Bunun dışında etütlerde her türlü test kitapları, her türlü problemler çözülüyordu. Kitapları aramızda paylaşıyorduk. Bazen sınav sistemine çok uygun olmayan test kitapları buluyorduk. Daha zor soruları içeren. Bunları çözmek uzun sürdüğünden insanın moralini bozuyordu genelde ama ne kadar soru çözersek o kadar kardır diyerek hepsini çözdük. Bazen de yanlış sorularla boşu boşuna zaman harcadık.

Yıl sonuna doğru bazı derslerde hocalarımız deneme sınavları yaptı. İki tanesi aklımda kalmış. Biri eddebiyat dersinde yaptığımız deneme testiydi. Bütün soruları eleme usulü yazı turayla cevaplamıştım. Diğeri de sentetik geometri dersinde Ahmet hocamızın yaptığı matematik testiydi. Her sorunun çözümü uzun sürüyordu ve yetiştirememiştik. Bir sonraki derste soruları çözerken bu soru daha kısa yoldan nasıl çözülür diye soranlara hocamız bu soru böyle çözülür demişti. Daha kısa yol gibi bir derdimiz olmasını anlamsız bulmuştu. Ayrıca zaten soruların çözümünün en kısa yolunu göstermişti bize. Daha bunu anlayamamıştık ama seneye ülkenin en iyi bölümlerine girecektik.

Bütün bunların yanında ben biraz farklı bir yol izlemiştim. Senenin ilk etütlerinin birinde o yılki sınavı aldım ve çözmeye çalıştım. Henüz test yönteminin gerektirdiği hıza hakim değildim ama sorular zor değildi. Sonra elde ettiğim sonuca göre küçük bir hesap yaptım. Birinci tercihimi kazanmak için her bölümden 48 net yapsam yetebilir dedim. Önümde daha bir yıl vardı ve bu netleri biraz artırabilirdim. Daha matematikte öğrenmediğimiz türev integral konuları vardı. Edebiyatta da açığımı biraz kapatabilirdim belki. O an elektroniği kazanacağıma inanmıştım. Sonra etrafıma baktım ve en az benim kadar iyi bir sürü öğrenci gördüm. Hepsi de şimdiden hedefine odaklanmış bir şekilde çalışıyordu. Böylece şansımı artıracak son taktik de kendiliğinden ortaya çıkmış oldu. Yapmam gereken tek şey aynı sınava girecek bu zeki rakiplerimin hazırlanmasını engellemekti ve bir yıl boyunca etütleri sabote etme stratejisini uygulamaya başladım. Her etütte eğlenceyi ön plana aldım. O yıl Boğaziçi Elektronik bölümüne bizim sınıftan başka kimse giremediğine göre planımda başarılı olmuştum.

Dersane reklamları

Lise ikinci sınıftaydık. İstanbul dersaneleri okula gelip seneye üniversiteye hazırlıkta neden kendilerini seçmemiz gerektiğini anlatmışlardı. “Hayatımızı belirleyecek sınav.” “En başarılı dersaneler.” “Sınavı kazanma garantisi.” Giderken de bize bir sürü broşür bıraktılar.

O akşam etütte boş boş oturup ne yapsak diye düşünürken biri elindeki broşürü katladı. Sonra uçları uzun kenara doğru bir kere daha katladı. Birkaç katlama sonra işin sonunun nereye varacağını anladık ve biz de katlamaya başladık. Birkaç dakika sonra sınıfta çok değişik uçak modelleri uçmaya başlamıştı. Sonra uçakları yarıştıralım dedik ama sınıflar standard bir Fen Liselinin katladığı uçaklar için çok küçüktü.

Pencereyi açtık okulun arka tarafına doğru uçakların süzülmesini seyretmeye başladık. Dersaneler o kadar çok broşür getirmişti ki hava karardıktan sonra nereye gittiğini görmememize rağmen hala uçak uçuruyorduk.

Anlaşılan okul idaresi neler olup bittiğini farketmiş ve okulun arkasındaki bütün uçakları bize karanlıkta toplattı. Sabaha kadar bekleseler ne olurdu ki? Fen Lisesi’nde mantık aramayı çoktan bırakmıştık zaten ama asıl mantıksızlık dersanelerdeydi. Üniversite sınavı gibi bir dertleri olmayan ergen çocuklara neden o kadar çok broşür veriyorsunuz ki?

Kütüphane

Hayatım boyunca sık sık gittiğim bir ibadethane varsa o da kütüphanedir. Her dönemde de değişik dinleriyle, ayrı mezhepleriyle ilgilendim. Öyle de dönek bir dindarım.

İlkokuldayken Gölcük halk kütüphanesi Atatürk heykelinin hemen arkasındaki bir binanın ikinci ya da üçüncü katındaydı. O kütüphanede adını yanlış hatırlamıyorsam Yaman Çocuk diye bir dergiyle tanışmıştım. Koca koca ciltleri vardı. O ciltlerde en sevdiğim dizilerse Hulk idi. Hani şu yeşil canavar. Bir de tabii ki 1001 gece masalları. Ona da başlamıştım. İlk cildini bitirememiştim ama bayılmıştım. Biri bitmeden diğerine başlanan masallar. Sanırım o basımda erotik kısımlar çıkarılmıştı ya da ben onları anlayacak yaşta değildim. O zaman bu masalları bir gün okumaya karar vermiştim ve yıllar sonra bir gün Türkiye’ye tatil için geldiğimde sekiz cilt halinde yeniden basıldığını öğrendiğimde hepsini almıştım.

Ortaokul sırasında okulun kütüphanesine sadece iki kere gitmiştim sanıyorum. O da son sınıfta bir bilgi yarışmasına hazırlanmamız için öğretmen tarafından gönderilmemiz sonucunda. Kütüphanede sadece Özer’le satranç oynadığımı hatırlıyorum ve bilgi yarışmasında yan sınıf bizi ezip geçmişti.

Lisede de okulun kütüphanesine birkaç defa gittim sadece ama o seferlerde inanılmaz kitaplar buldum. Bir tanesi son sınıfta aldığımız sentetik (analitik değilse sentetik olmalı diye o ismi vermiştik sanırım) geometri dersi konularının anlatıldığı ingilizce bir kitaptı. O kitaba öyle hayran kalmıştım ki daha sonra kitabı tamamen fotokopi çektirdim ve Almanya’ya getirdim. Şu sıralar onu okumasam da o kitabın yakınlarda olduğunu bilmek bana hep iyi gelmiştir. Diğer harika kitap da bir biyoloji kitabıydı. Biyoloji lise boyunca hep en uzak olduğum bilim dersiydi. Eğer sıralarsam Kimya, Matematik, Geometri, Fizik ve Biyoloji derdim. O kitabı üniversite sınavına hazırlanırken hormonlar konusuna çalışmak için almıştım. İngilizce bir kitaptı ve daha ilk sayfalarda kitap beni büyüledi. İnsan vücudunun bu kadar mantıklı olduğunu bilmiyordum, biyolojinin bu kadar güzel anlatılabileceğini de. Hatta oradan öğrendiğim üç kuruşluk hormon bilgisiyle doktor kuzenimle bu konuları konuşmaya başlamıştım. Sınav için işe yaramadı ama biyolojiyle barıştım. Kitabı iki yıl daha önce bulsaydım belki de şimdi doktor … Ha yok, ben kan görmeye dayanamadığım için doktor olmak istememiştim.

Üniversite kütüphanesi benim için Kabe gibiydi. Derslerden çok oraya gitmişimdir. Yunan, Roma ve Kuzey mitolojilerinde üç kere hatim indirdim. Hatta kimya laboratuvar asistanı elimdeki mitoloji kitabına sulanıp, kitabı uzatmamı engellemekle tehdit ettiğinde kitabı bitirene kadar kütüphaneye getirmedim. 1971 – 1972 yıllarının meşhur satranç dergilerini hayranlıkla okudum. Bir tanesi “Fisher did it!” başlığıyla çıkmıştı ve adaylar turnuvasında rakibini 6-0 yenmişti. Bir başkası da “Fischer did it again!” başlığını taşıyordu, yine 6-0 kazanmıştı. Yapay sinir ağlarıyla ilgili makaleleri hayranlıkla okurken acaba neocognitronları programlamak için nasıl bilgisayarlar kullandıklarını merak ettim.

Yazın Gölcük’te kaldığım zamanlarda gündüzler futbol oynamak için çok sıcak olduğundan pek bir şey yapamazdık. Bir kere gezerken, gezmek de denemez ona ya, giderken demek daha doğru olur heralde, parkı geçtikten sonra kurumuş dereden sonra mı önce mi hatırlamıyorum ama, bir kütüphane gördüm. Halk kütüphanesi yıllar sonra oraya taşınmıştı. İçeri girdim, oturdum ve raftan bir roman alıp okumaya başladım. Pearl Buck’ın bir kitabıydı, adını bilmiyorum artık ama Çin’de geçen bir romandı. Daha sonra orada birkaç Pearl Buck romanı daha okudum. Hepsi Çin’de geçiyordu. Kitapları okurken arada ödevlerini yapmaya çalışan çocuklara yardım ediyordum ama kütüphanedeki görevli dışındaki tek yetişkin olmam onları da rahatsız ediyordu heralde ki biraz çekiniyorlardı.

Almanya’da da halk kütüphanelerine gittim. Sanatla ilgili kitapları okudum, denedim ve beceremedim ama yine denedim.

Kütüphaneler şimdi internet çağına ayak uydurmaya çalışıyor. Ben de yaşım nedeniyle daha az gidiyorum kütüphanelere, ibadetlerimi daha çok evden yapıyorum. Genesis kütüphanesi ya da Gutenberg projesi çoğunlukla işimi görüyor. Geçenlerde artık çok yer kapladıları için garajdaki ve bodrumdaki kitaplarımın bir kısmını bağışlamak için şehir kütüphanesine sormaya gitmiştim. Dışarıdaki kutuya koyun, isteyenler alsınlar, bizim yerimiz yok diye cevap vermişlerdi. O zaman kızmış ve geri dönmüştüm ama şimdi bu kitaplar burada duracağına okumak isteyen birilerine gitseler daha iyi olacak diye düşünüyorum.

Basit bir ispat

Fen Lisesi ikinci sınıfın ilk edebiyat dersinde Yasemin hoca bu yıl kendimizi nasıl hissettiğimizi sormuştu. Ben de ayağa kalkıp, sıranın arkasına yaslanarak “İlk seneyi atlattım, artık bana bir şey olmaz heralde” gibi bir cevap vermiştim. Yatılı okula uyum sağlamıştım, dersleri sorunsuz geçmiştim. Bütün beklentileri karşılamıştım. Kendi beklentilerimi. Merak ettiğim bir şey vardı ama, acaba burada aldığım öğretim diğer okullardan gerçekten farklı mıydı? Matematik ya da Fen olimpiyatlarına gidebilen arkadaşlar kadar yetenekli değildim. Bilimsel projeler yapabileceğimi de sanmıyordum. Öyle ortalama bir öğrenciydim. Ayrıca bu sorunun cevabını da kolay yoldan, kısa sürede öğrenmek istiyordum.

Bir akşam etüdünde herkes ertesi günkü derslere hazırlık yaparken, Kürşat, Özgür ve ben artık nasıl sıkıldıysak bir ispat yapalım dedik. Derslerde sürekli ispatlar öğreniyorduk ama kendi başımıza bir şey ispatlamayı hiç denememiştik ve bunu yapabilip yapamayacağımızı da bilmiyorduk. Seçeceğimiz problem daha önce görmediğimiz bir şey olmalıydı. Yanlış hatırlamıyorsam aynı düzlemde N adet doğrunun o düzlemi en fazla kaç parçaya ayırabileceğinin formülünü bulmaya karar verdik.

Hep beraber çözüm yolları arıyorduk. Biri bir yol önerince diğerleri eksik kaldığını düşündükleri yerleri sorguluyordu. Ancak herkes ikna olduktan sonra bir sonraki adıma geçiyorduk. İlk etüt bittiğinde henüz cevabı bulamamıştık ama heyecandan ertesi günkü dersleri, ödevleri unutmuştuk bile. İkinci etütte ispatımıza aynı yöntemle devam ettik. Hiçbir şeyi atlamadığımıza inanıyorduk. Sonunda aradığımız formülü bulduk. İspatı doğru mu yaptık bilmiyorduk ama bizi kendi kurallarımıza göre ikna eden bir eser yaratmıştık.

O gün anladım ki o derslerde düşündüğümden daha fazla şey öğrenmiştim ve artık bana gerçekten bir şey olamazdı.

Bu üçlü, okul boyunca bir daha ispat yapmadı, gerek de kalmamıştı zaten.

Kayseri Fen gezisi

Lise ikinci sınıftaydım. Fen Lisesi turnuvası için Kayseri Fen’e trenle gidiyorduk. Evet, bu tren de Ankara’dan geçti ama bu o Ankara treni değil. Ankara treninde olan Ankara treninde kalır. Tam hatırlamıyorum ama heralde Haydarpaşa’dan binmişizdir trene. Normal bir yolculuk oluyordu. Daha İstanbul’dan çıkmadan trende bir söylenti çıktı. Karşı istikametten gelen bir trenden biri bizimkilerin üzerine tükürmüş. O zamanlarda trenler hareket ederken camları açılabilir, kafalar o camlardan çıkarılabilirdi. Hatta kapılar bile açılabilirdi. Neyse ki kafalar tokuşmamış.

Yol boyunca başka neler oldu pek hatırlamıyorum. Zaten o turnuvaya gitmeyi pek istemiyordum. Ne kadar uğraştıysam da Akif hocayı vazgeçiremedim ve satranç takımı olarak ben de kafileye katılmak zorunda kaldım. Ankara’dan sonra yolun çok daha uzun sürdüğünü hatırlıyorum. Sanki Erciyes’in etrafında bir tur attık gibi gelmişti bana. Akşama doğru Kayseri Fen’e vardık. Bizi arka tarafta bir yatakhaneye götürdüler. Tuvalet kağıtlarının olmadığını hatırlıyorum. Yatakhanede yapılacak bir şey olmadığından aşağıya indik. Yanımıza da içecek bir şeyler aldık ama şişeleri açmak için bir şey almamışız. Şimdi bir sene sonra bu insanların üniversite sınavında derece yapacağına kim inanır ki? (Spoiler: Hiçbirimiz yapamadık). Heralde Kayseri’de bize tribüşon filan dağıtacaklarını hayal etmiştik. Peki bu durumda ne yaptık? Fen Liseli zehir gibi çocukların bu sorunu kolayca hallettiğini düşünebilirsiniz. Tabii ki haklısınız. Şişelerin ağızlarını taşla kırdık. Bu yazıyı okuyanlara küçük bir uyarı yapayım. Böyle bir şeyi sakın yapmayın. Evde de yapmayın, yalnızken de yapmayın, Fen Liseli arkadaşlarınızla da yapmayın. Şansa kimse cam parçaları içmedi de bir de doktor filan aramak zorunda kalmadık. Hep derim, Allah kimseyi susuzlukla sınamasın.

Ertesi gün spor karşılaşmaları başladı. Satranç maçları öğleden önce başlıyordu ve benim ilk rakibim yanlış hatırlamıyorsam Gaziantep Fen’dendi. O sırada diğer dallarda da maçlar oluyordu. İlk maçımı çok zorlanmadan kazandım. Maç bittikten sonra bizimkileri aramaya çıktım ve o sırada Akif hocanın da beni aradığını gördüm. Öğle yemeğini kaçırdığım için bana harçlık verdi ve otobüsle peribacalarını görmeye gideceğimizi, hazırlanmamı söyledi. Otobüsle eğlenceli bir yolculuktan sonra peribacalarını gezdik. Hatırladığım şey, o kumlu zemin için hiç uygun ayakkabılarımın olmadığıydı. Heralde kimsenin uygun ayakkabısı yoktu ama benimkiler çok kötüydü. Hafif eğimli yerlere bile çıkamadım. Bazıları o bacalara içeriden tırmanmayı düşündü ama ya sıkışıp kalırsak diye vazgeçtiler.

Akşama doğru da müsabakalar oldu. İlk akşam sanırım kızların maçı vardı ve orada şeftali ağaçları şeklinde bir tezahürat denemesi de yaptık. Güzelim tezahürat maçı kazanmamıza yetmedi. Akşam yemeğinden sonra fen lisesi turnuvalarının asıl amacı olan kaynaşma çalışmalarına başladık. Yani müzik. İlk gece ve gündüz neler yaptıysak artık, insanlar bizden çekiniyor gibiydi. Biz yine de çalıp söyledik. Zaten bizim felsefemiz daha çok turnuva bahane, müzik şahane idi.

Ya o akşam ya da ertesi sabah bize bir uyarı geldi. Okul yönetimi, bizimki değil, giyim kuşamımızdan rahatsız mı olmuştu ne, daha ciddi giyinmemizi istiyordu. Detaylarını pek bilmiyorum, benim öyle şeylerden haberim olmazdı zaten. Neyse işte, bu bizi çok kızdırmıştı ve kahvaltıya hep beraber şortlarla gitmeye karar verdik. Neden bilmem ama benim bile yanımda şort vardı. Dediğimizi de yaptık.

İkinci gün rakibim Kayseri Fen şampiyonuydu. Açılışta bir piyon kaybetmiştim. Bu dezavantajla saatlerce mücadele ettim. Artık gözetmen hoca da gitmişti, sadece ikimiz kalmıştık. Nasıl olduysa oyunu iyice karışık bir hale getirip taktiklerle kazanmayı başardım. Sanırım yedi saat filan oynadık o gün. Tabii ki öğlen yemeğini yine kaçırdığımdan Akif hocadan yine harçlık aldım. Bu turnuva benim için karlı olmaya başlamıştı. O günkü diğer müsabakalarımızı kaybettikten sonra akşam yine çemberimizi oluşturduk ve çalıp söyledik. Bu sefer diğer liseler de katıldı bize.

Son gün finali Ankara Fenliyle oynayacaktım. Oyunlarını çok çabuk kazanmıştı ve yaptığı açılış hakkında hiçbir bilgim yoktu. Erken gidip biraz o açılışa çalışayım dedim. O sırada Kayseri Fen’in hocası geldi ve dünkü maçı sordu. Ben de kazandığımı söyledim. Adam çok şaşırmıştı. Öğrencisinin üstün olduğunu ve o pozisyonda nasıl kaybettiğini anlamadığını söyledi. Tahtayı kurduk ve pozisyonu analiz etmeye başladık. Bir yerde şimdi şu hamleyi oynasa ne olurdu diye sordu. O hamleden sonra bir vezir bir de kale feda ederek mat ettim. Sonra o pozisyona geri aldık ve başka bir hamle denedi. Bu sefer de iki kale feda ederek mat ettim. Pozisyon çok açıktı ve biz o pozisyona gelene kadar saatlerce oynamıştık ve yorgunduk. Sonra başka bir hamle yaptı ve bu sefer kazandı. Gödün mü kazanç durumuymuş dedi. Ben de evet yüzde otuz üç olasılıkla dedim.

Sonra Ankara Fen Lisesi şampiyonuyla maça başladık. Her zamanki açılışını yaptı. Bu açılışa hala bir cevap bulamamıştım. Daha üçüncü hamlede filan garip bir hamle yaptı. Neden bu kadar zayıf bir hamle yaptığına anlam veremedim. Bunun üzerine tempo ile saldırıya geçtim ve daha beşinci hamlede vezirini kaybetti. Açılışın hakkını vermemişti ama artık rahatlamıştım. Kazanmam garantiydi artık. Bir sene sonra meşhur Ankara treniyle Ankara Fen’e gittiğimzde orada Bora ile maç yapmıştım ve o berabere bitmişti. Asıl Bora’yı göndermeleri gerekiyordu Kayseri’ye. Böylece turnuvayı kazanmış oldum ama heralde oyun kalitesi açısından Kayserilinin hakkıydı bence, şansım yaver gitmişti.

Son gün maçlarımızı da kaybettikten sonra ödül töreni yapıldı. Herkes okulunun eşofmanlarıyla filan törene gelmişken, ben kazak artı kumaş pantolon ile dikildim öyle. Ya tabii ki benim de eşofmanım vardı yanımda ama düşündüm ki, bana iki beden büyük olan eşofmanla maymun gibi gözükeceğime kazakla maymun gibi gözükeyim. Sonradan gördüğümüz üzere hediyelik eşya satılan yerlerden aldıkları birincilik kupasını aldım ve dönüş yolculuğuna çıktık.

Otobüsle Kayseri merkeze indik. Orada topluca yemek yiyelim dedik. Bütün kafile bir restorana girdik. Yedik içtik. Bu arada hesabın ne kadar geleceğini filan da hesaplıyoruz. Tam kalkalım artık diye düşünürken garson tatlı da ister misiniz diye sordu. Hesaba yetecek kadar paramız var mı yok mu bilmeden evet dedik. Tatlıları da yedik. Sonra hesabı vermek için kalktık kasaya doğru ilerledik. Bir de baktık ki kasanın önünde tanımadığımız epey bir insan hesap ödeme kuyruğunda. Bunun üzerine kuyruğa girmeden dışarı çıktık. Dışarı çıktık ama içimizde bir kuşku, bir korku var. Heralde hesabı Arif hocaya takacaklar diye düşünüyoruz. Birazdan başka bir grupla Arif hoca belirdi. Hocam bir sorun çıktı mı diye sorduk. Yoo, ne sorun çıkacaktı ki diye sordu. Arif hocayla rahat konuşabilirdik, ona durumu anlattık. Ha, rahat olun, ben de bir kola soktum dedi. Gülmeye başladık. En son Akif hoca çıktı. Ona da sorun var mı diye sorduk, o da hiç sorun çıkmadı dedi ama fıkraların Kayseri’sinde esnafa komple hesap sokmak bana hala pek gerçekçi gelmiyor. Heralde Akif hoca pisliğimizi arkamızdan temizlemiştir.

Sonra oradan otobüse bindik ve İstanbul’a geri döndük. Ertesi gün, otobüste uyuyamadığım için yorgunluktan derslerin bir kısmına katılmadığımı hatırlıyorum. Kayseri’de kazandığım kupayı okula vermedim. Gölcük’te evde duruyordu. 17 Ağustos 1999’a kadar.

Matematikte aklıma takılan bir şey

Bir şeyi uygulamakla anlamak arasında epey bir fark vardır. Benim için matematikte de bu hep böyle oldu. En basitinden çarpma işlemini neden öyle yaptığımı üniversite yıllarında anladım. Anlamak için üzerinde düşünmek de gerekiyor tabii. Birçok şeyi bu kadar geç anlamamın nedeni bunların üzerine düşünmüyor olmam. Uygulama işe yaradığı sürece nedenini sormaya ihtiyaç duymuyorum.

Aklıma takılan bu soru da uygulamada hiç sorun çıkartmadı ama biraz düşününce bazı şeyleri pek anlamadığım hissini uyandırdı. Olay lisede sınavlarda sık sık karşımıza çıkan çemberlerin kesişimi problemleri. Daha da açık anlatmam gerekirse, verilen iki çemberin kesiştiği noktaları bulma problemi. Çözümü çok kolay. İki çemberin denklemleri alınır, bu denklemler birbirlerine eşitlenir ve bu eşitliği sağlayan noktalar da çemberin kesiştiği noktalardır deriz. Yöntem basit ama uygulamada bir sorun var. Aklıma takılan kısım da hep bu oldu. Bu problemleri çözerken denklemleri eşitlediğimiz zaman çoğunlukla bir doğru denklemi bulmuşuzdur. Fakat çözdüğümüz problemlerde iki çember birbirini sıfır, bir ya da iki noktada keserdi. Doğru denklemini sonsuz tane nokta sağlar (doğru üzerindeki bütün noktalar) ama bu noktaların en fazla iki tanesi aynı anda bu iki çember üzerinde olur. O zaman bu doğruyu verilen çemberlerin biriyle kesiştirip (denklemleri eşitleyip) aradığımız noktaları buluruz. Şimdi aklıma takılan soruyu ifade edeyim: İki çember denklemini eşitlediğimizde neden bir doğru denklemi elde ediyoruz?

Önce birkaç örnek yapayım:

Örnek 1: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 2)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.

Birinci örnekteki çemberlerin kartezyen koordinat sisteminde gösterimi

Grafikte de görüldüğü gibi iki çember C ve D noktalarında kesişiyor. Peki şimdi bu noktaları lisede öğrendiğimiz gibi bulmaya çalışalım.

İki çember denklemini de eşitleyelim.

\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 2)^2 – 1\)

Şimdi bu yeni denklemi çözelim. İki taraftan da \(y^2\) terimlerini sadeleştirebiliriz.

\(x^2 – 4 = (x – 2)^2 – 1\)

Şimdi diğer terimleri açalım

\(x^2 – 4 = x^2 -4x + 4 – 1\)

\(x^2\) terimlerini sadeleştirelim ve sabit sayıları düzenleyelim.

\(– 7 = -4x\)

Bu denklemi de çözersek \(x = 7/4\) çıkar. Yani aradığımız noktalar x koordinatı 7/4 olan noktalar kümesinin elemanları ama bu noktalar bir doğru oluşturmakta. Şimdi bu doğruyu da grafiğimizde gösterelim.

İki çemberin denklemini eşitlediğimizde C ve D noktasından geçen doğrunun üzerindeki noktalar kümesini bulduk

Son olarak bu doğruyla çemberlerden birini kesiştirdiğimizde aradığımız iki noktayı bulacağız. Bunun için A çemberinde x yerine 7/4 değerini koymamız yeterli.

\(y^2 + (7/4)^2 = 4\)

\(y^2 + 49/16 = 4\)

\(y^2 = 4 – 49/16\)

\(y^2 = 15/16\)

\(\left| y \right| = \sqrt{15}/4\)

\(y = \sqrt{15}/4\) ve \(y = -\sqrt{15}/4\)

Şimdi bir de kesişmeyen çemberler örneğine bakalım. Bunun için ikinci çemberi birinci çemberden biraz daha uzağa taşıyacağım.

Örnek 2: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 4)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.

İkinci örnekteki çemberler.

Aynı yöntemle bu problemi inceleyeyim.

\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 4)^2 – 1\)

\(x^2 – 4 = (x – 4)^2 – 1\)

\(x^2 – 4 = x^2 – 8x + 16 – 1\)

\(– 4 = – 8x + 15\)

\(– 19 = – 8x\)

\(x = 19/8\)

İki çember denkleminin kesişim noktaları bu doğru üzerindeymiş

Şimdi bu doğrunun denklemini soldaki çemberle kesiştirip kesişim noktalarını bulalım.

\(y^2 + (19/8)^2 = 4\)

\(y^2 = 4 – (19/8)^2\)

\(y^2 = 4 – 361/64\)

\(y^2 = 256/64 – 361/64\)

\(y^2 = – 105/64\)

Bu denklemin de gerçel sayılarda çözümü yok. Demek ki iki çember kesişmiyormuş.

Bu çözümlerden yola çıkarak kendime yıllarca bazı şeyler sorup durdum. İtiraf edeyim bu konuları literatürde çok aratmadım ya da bu hayatımın problemidir diyip hayatımın kalanını buna adamayı düşünmedim. Akademiye girip bu alanda çalışmayı düşünmedim.

Çember denklemi o çemberin üzerindeki noktaları belirleyen matematiksel bir denklem olmalı. Yani düzlemde sırayla ya da rastgele noktalar seçersek buktaları bu denkleme koyarak o noktanın çemberin üzerinde olduğunu ya da olmadığını anlayabiliriz ve bu yöntem asla yanılmaz. İkinci bir çember denklemi daha aldığımızda yine aynı noktaları bu denkleme koyduğumuzda aynı noktaların bu çember üzerinde olup olmadığını da şüphesiz bulabiliriz. Genelde iki denklemi eşitlemekten beklentim çıkan denklemdeki noktaların başlangıçtaki iki denklemi de sağlaması olmasıdır ama en azından ikinci derece denklemlerde anlaşılan bu böyle olmuyor. Heralde genel olarak iki denklemi kabaca birbirine eşitlemek aynı anda bu iki denklemi sağlayan noktalar kümesini bulmak anlamına gelmiyor. Peki denklemleri eşitlemek ne anlama geliyor?

Belki de eşitlediğimizde bulduğumuz şeyler bu denklemleri bir başka şekilde sağlayan daha düşük dereceli matematiksel nesnelerdir. Mesela şöyle bir hayal kurayım. Varsayalım bir çember denklemi düzlemdeki bir doğru (herhangi bir tane ya da belki sonlu sayıda olabilir, şu an sadece doğaçlama yapıyorum) yardımıyla tanımlanabilsin. O zaman iki çember denklemi aldığımız zaman bunları eşitlediğimizde çıkan doğru bu iki çember denklemini de aynı anda tanımlayan (tabii ki her bir çemberin merkezine ve yarıçapına bağlı olan) doğru olabilir belki. Peki yukarıdaki örneklerde bulduğum doğru denklemlerinin anlamı neydi? Kısaca onlardan bahsedeyim.

Bu işlemleri görsel olarak geogebra ile hazırladım. Birinci örneğin linki burada. Burada Çıkan doğrunun üzerindeki herhangi bir G noktasından ve çemberlerin merkezlerinden geçen doğruları çizdiğimizde bu doğrular A çemberini H ve I noktalarında, B çemberini de J ve K noktalarında keserler. Şimdi GH ve GI doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına e, GJ ve GK doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına da i dersek, G noktasını çözüm doğrusu üzerinde kaydırdığımızda bu sayıların birbirine hep eşit olduklarını görürüz. Burada bahsettiğim çarpımlar lisede bir noktanın bir çembere olan kuvveti diye öğrendiğimiz terimdir. Yani kesişim doğrusu iki çembere de kuvvetleri eşit olan noktalar kümesiymiş.

Peki kesişmeyen iki çember için de bu kural geçerli mi? Yine geogebraya sordum (Matematiksel çıkarımı da zor değil aslında). Bu sefer örnekte bulduğum doğru üzerinde rastgele seçtiğim noktaya C dedim. Bu nokta ile A çemberinin merkezinden geçen doğrunun çemberi kestiği noktalara da D ve E dedim. Aynı şekilde B çemberi üzerindeki kesişim noktaları olarak da F ve G noktaları bulundu. Bu sefer CD ve CE doğru parçalarının uzunluklarının çarpımları, CF ve CG doğru parçalarının uzunlukları çarpımına eşit oldu. Bu da bir önceki örnekte bahsettiğim kuvvet formüllerine karşılık geliyor. Bu denemeyi de bu linkte kaydettim.

Aklıma gelen bir diğer soru da bu İki çemberin kesişmesinde ortaya çıkan doğrunun iki çemberin de ortak kuvvet doğrusu olması gözleminden çıkıyor. Bir çemberin aynı düzlemde verilen herhangi bir doğruya göre kullanışlı bir tanımı var mı? Bu tanımdan yola çıkarak kesişmeleri daha kolay anlaşılır hale getirebilir miyiz?

Bir matematikçi olmadığım için çok basit bir şeyi göremiyor olabilirim ama bu durumu anlamakta zorlanıyorum. Bir bilen bana doğru yolu gösterirse sevinirim. Bu anlayabileceğim bir şey mi yoksa her şey çenemi kapatıp hesaplamalara devam etmekten mi ibaret?

Alışveriş

Uzun zamandır buradaki internet alışverişlerinden şikayetçiydim. Mektuba sığacak gönderiler için bile neredeyse 6 avro gönderi parası veriyoruz. Hobi türü harcamalarda, toptan malzeme alınmadığı durumlarda bu masraf çok ciddi bir yük oluşturuyor. Bunun üzerine yakınlarda aradığım ürünlerin satıldığı yerlere baktım. Aslında çalıştığım şirketin olduğu şehirde bir dükkan var ama o dükkan yüksek insidans değerleri nedeniyle kapalı.

Yakındaki şehirlerde başka dükkanlar aramaya başladım. Bir tanesi Karlsruhe’de ama tren biletim oraya kadar yetmiyor. Başka birini Mutterstadt’ta buldum. Oraya nasıl giderim diye baktım. Trenle Limburgerhof’a, oradan sonra da yürüyerek yarım saat. Yeter dedim ve o adresi google hesabına kaydettim.

Dün yola çıktım. İnsidans değerlerinin 128 olmasına rağmen internet sayfasına göre dükkan açıktı. Yirmi dakikaya istasyona geldim. Ondan sonra navigasyonu açıp yolu yüklemeye çalıştım. Önce google’ın bir gün önce aynı hesapla açtığım ve kaydettiğim adresi telefonumla senkronize etmediğini gördüm. Sonra adresi gridiğimde hesapladığı rotanın başlangıç yönünü bulmakta zorlandım. Sorun genelde şöyle, bir istasyonun tren yoluna dik iki çıkışı oluyor. Çıktığımız yerde de sokak isimleri genelde yazmıyor. Bu nedenle rotanın başlangıç kısmı pek yardımcı olmuyor. Bu durumda ben ilk önce rastgele bir yönde yürüyüp haritayı anlamaya çalışıyorum ama bu sefer google oku da ters çizmişti ve kafam acayip karıştı. Bir beş dakika uğraştıktan sonra başlangıcı çözebildim. Ardından bir beş dakika sonra da beni araba trafiğine çıkardı. Araba trafiği dediğim iki köy arasındaki ana yol, yayalara yer yok. Mecburen biraz daha geri gittim ve diğer yol önerisini seçtim. Bu rota beni sağında anayol, solunda da büyük tarlalar olan bir patikaya çıkardı. Güzel bir manzara eşliğinde yürümeye başladım. Bir süre sonra Limburgerhof bitti.

https://www.instagram.com/p/CPNcK93J4_D/

Önümde en az birbuçuk km daha vardı. İki kere daha kaybolmayı başardıktan sonra sanayi bölgesi girişini gördüm ve dükkanı buldum. İyi organize edilmiş büyükçe bir yerdi. Biraz suluboya ve pastel boya aldım ve çıktım. Dönüşte de aynı yoldan istasyona gittim. Bu sefer kaybolmadan.

https://www.instagram.com/p/CPNcK93J4_D/

Belki ilerde daha sık buradan alışveriş yaparım. Her türlü markanın uygun fiyatlara satılması büyük avantaj.

Kelimeler

Öğretmen ingilizce dersinde tahtaya alt alta şu kelimeleri yazmış:

cat

dog

has

max

dim

tag

Sonra da kimseye söylemeden bu kelimelerin birini seçmiş ve seçtiği kelimenin harflerini Ayşe, Betül ve Canan’a dağıtmış. Her öğrenci sadece bir harf almış. Sonra bu üçü kendilerine verilen harflere bakmış ama sadece kendi harflerine. Ardından öğretmen sormaya başlamış.

Öğretmen: Ayşe, senin harfinin hangi kelimeden geldiğini bulabildin mi?
Ayşe: Evet, buldum.
Öğretmen: Betül, peki sen harfinin hangi kelimeden olduğunu bulabildin mi?
Betül: Hmmm, evet buldum şimdi.
Öğretmen: Canan, sen de bulabildin mi?
Canan: Biraz düşüneyim... Tamam, buldum.

Hangi öğrenciye hangi harf verilmişti?

Kopya

Sınav üçlemesinin son bölümünde öğrencilik hayatının en büyük avcı hikayeleri olan kopya çekme konusundan bahsedeceğim. Öncelikle şunu belirteyim, “Olm, kitabı açtım, birebir yazdım, öğretmenin ruhu bile duymadı” türü hikayelerin hepsi palavradır. Yani kitabı açıp birebir yazarsınız tabii ama öğretmen bunu çok net görür. İnsan gözü, beyni ortama uymayan en küçük hareketi çok kolay algılar, bunun için öğretmen olmaya gerek yok. Tabii aynı anda birden fazla kişi tarafından kopya çekiliyorsa heralde hepsini algılayamaz ama bu da sizin alacağınız bir risktir. Aman ben de nelerden bahsediyorum. Bu yazının öznesi siz değilsiniz, benim.

Kopya kariyerime orta okulda birinci sınıfta başladım. Başladım da denemez, başlatıldım. Daha doğrusu başlatıldık. Üst sınıflar din dersinde kopya çekmenin farz olduğunu söylemişlerdi. E bizde de acayip bir Allah korkusu var tabii. Mecburen çektik. Daha sonra bir çok derste kopya çektik ama tabii ki öğretmenlerin gözetimi altında. Yani sınavdaki bir soruyu sınıfta tek doğru çözen iki kişi aynı sınavdaki başka bir soruyu sınıfta yanlış çözen tek iki kişiyse öğretmen tabii ki işi anlar. Evet, bu çiftin biri bendim.

Sınav sorularını çaldığımız da oldu. Bu daha değişik bir yöntem. Teknik olarak sınav sırasında kopya çekilmediğinden yakalanma durumu da olmaz. Biz yakalandık ama. Sınav soruları bir gün önceden çalındığından bunu bir marifet gibi herkese göstermek için yeterince zamanımız olmuştu ve alt sınıflardan birileri arkadaşlarımızı ihbar etmişti. Bir dahaki sefere daha dikkatli olduk. Örneğin bu sefer çok daha az kişi işe karıştı, sorular sınavdan hemen önce çalındı ama yine yakalandık. Hoca sınavı iptal etmeye kalktı tabii, biz de yakalanan arkadaşın soruları zaten iki dakika önce elde ettiğini ve soruları zaten göremediğimizi filan söyleyip öğretmenin sınavı yapmasını istedik. Neyse ki dayanamadı ve sınavı yapmaya ikna oldu. Acayip rahatlamıştık, çünkü önümde oturan arkadaş sınavı önceki hafta çalmıştı bile ve ikimiz de sabahtan beri o sorulara çalışmakla meşguldük.

Bir biyoloji sınavında hoca çoktan seçmeli test yapacağını söyledi. Bir de konulardan biri genetik olduğundan hesap makinesi kullanmaya da izin verdi. Bunun üzerine üç arkadaş oturduk, biyoloji çalışacağımıza otuz soruyu hesap makinesinde en rahat nasıl kodlayabiliriz problemini çözdük. Bu arada o zamanlarda hesap makineleri sadece hesap yapabiliyordu ve otuz cevabı doğrudan kaydedecek bir hafızaları yoktu. Neyse ilk eleman sınavı çözdü, makineye kodladı, cevapları bana verdi. Ben de sonraki arkadaşa. Bu kadar basit. O sınavdan sırayla 6, 8 ve 4 aldık. İlk arkadaş kodlamada hata yaptı, ben de onun kodladığı cevaplardaki hatayı görüp hepsini birebir geçirmedim ama son arkadaş makinede ne yazıyorsa öyle cevaplamış. Anlaşılan kodlama problemini doğru çözememiştik.

Laboratuvarda yapılan bir sınavda arkadan gelen bir arkadaş “tabii silgimi alabilirsin” diyerek benim şaşkın bakışlarım arasında (lan ben silgi filan istemedim ki) kağıtlarımı alıp yerine dönmüştü. Önümde hiçbir kağıt kalmamıştı ve hoca bir aşağı bir yukarı volta atıyordu. Kağıtlarımı sınavın sonuna kadar bir daha göremedim. Şimdi bu öğretmenin benim panik halinde bir önüme bir arkama bakmalarımı farketmemiş olması mümkün mü? Yanımdan geçerken soru kağıdından başka hiçbir şey kalmamış sandalyemi de mi görmedi? O gün bir daha bu duruma düşmemeye yemin ettim.

Başka bir sınavda soruları hemen yapıp çözümlerimi çevredeki arkadaşlara dağıtmıştım. Arkadaşlar soruları kopyalarken benim de canım iyice sıkıldı. Ben de yeni kağıtlar çıkardım ve soruları tekrar çözdüm. Sonra kağıtları aldım ve hocaya verdim. Sınavım bittiğine göre sınıftan çıkabilirdim. İyi bir plandı aslında, bulunmadığım bir yerde kopya çekmiş olamazdım. Ayrıca arkadaşlar da bulunmayan birinden kopya çekmiş olamazdı. Tek bir sorun vardı ama. Sınıftan çıkarken arkadaşlara döndüm ve “kağıtlarımı sakın vermeyin” anlamına gelebilecek bir işaret yaptım. Umarım anlamışlardı. Üzerinde adım yazan iki sınav kağıdı hoş bir izlenim bırakmayabilirdi. Neyse ki hepsi zeki çocuklardı.

Kopya çekerken hiç mi “yakalanmadım”? Tabii ki bir çok kere yakalandım ya da yakalandığımı hissettim. Bunu hissettiğimde kağıdımı gidip verdim zaten. Öğretmen kopya çektiğimi farkettiğini hissettiriyorsa demek ki bazı sınırları aşmışım. Daha fazla terbiyesizliğe gerek yok. Şansıma disipline gönderme gibi olaylar olmadı.

Bu maceralardan yıllar sonra yüzde yüze kopya çekebildiğim, sevdiğim bir işim var. Tabii ki kopyaladığım her çözümün doğru mu, iyi mi, güzel mi olduğunu değerlendirebilmem lazım. Yirmi küsür yıllık öğrenim hayatında da bunu öğrendim sanırım.

Değişik sınavlar

Öğrenim hayatımda normal sınav kategorisine koyamayacağım sınavlar da oldu. Bu sınavlarda hep beklenmedik bir şey, yer yer çaresizlik olur. Bazen bu çaresizlikten bir şekilde çıkmanın yolları bulunur. Asıl sınav da budur zaten.

Bir haberleşme dersi sınavında yirmi tane kadar soru vardı. Kısa kısa sorular ama çoğunda istenen şeyin ne olduğunu bile anlayamamıştım. Sonraki derste hoca soruların nasıl çözüleceğini anlatmıştı. Çözümler neredeyse sorulardan daha kısaydı ama bir tanesinin çözümüne Heisenberg’in belirsizlik ilkesine göre diye başlayınca o dersi bırakmaya karar vermiştim.

Sınav sırasında hocayla değişik bir iletişimde olduğum sınavlar da benim için ilginç örneklerdir. Örneğin Hakan hocanın yaptığı sınavlar. Hakan hoca bölüme benden sonra katıldı ama benden önce profesör oldu. Ben mi? Dalga mı geçiyorsunuz, tabii ki olmadım. Sınavları hep aynı şekilde olurdu. Dört soru bir saat. Soruları dağıtır ve sınıftan çıkardı. Bir saat sonra gelir ve sınavın nasıl gittiğini sorardı. Biz de tabii ki kötü derdik. Genelde sadece iki soruyu yapabilirdik. Bunun üzerine peki biraz daha uğraşın der ve yine çıkardı. Bir saat daha uğraşırdık ama bir ilerleme olmazdı. Sonra yine gelir ve bu sefer bizi kantine kahve içmeye gönderirdi. Okulda bize yardım edebilecek kimsenin olmadığından o kadar emindi. Kantinde sırada beklerken herkesin aynı soruları yapabildiğini ve diğer sorular için de kimsenin bir fikrinin olmadığını öğrenirdik.

Çözümlerde de doğru ya da yanlış cevabı bulmaktan çok ne yaptığının farkında olmak önemliydi. Bir keresinde bir sistem tasarımı sorusunda hata oranını yüzde yetmiş hesaplayan bir çocuğu sınıfın ortasında “Bulduğun sonucun farkında mısın? Yazı tura atsan daha iyi bir sistem olurdu.” diye azarlamıştı. Bunun üzerinde bir başka sınavda bir soruyu yanlış çözdüğümden emin olduğumda ek olarak açıklama yazmıştım: “Hoca bu bulduğum sayıların doğru olamayacak kadar büyük olduğunun farkındayım, kesin bir yerde bir işlem hatası yaptım ama fonksiyonun şeklinden eminim. İşlemleri tekrar yapacak zamanım da yok böyle bırakıyorum.” O sorudan iyi bir puan almış olmalıyım, en azından sınıfın ortasında fırça yememiştim.

Bir başka sınavında basit bir integral sorusu vardı. İntegral bir çok insan için çok zor bir konu olsa da okuduğum bölüm için toplama çıkarma gibi en temel işlemlerden biriydi. Soru dediğim gibi kolaydı, tek sorun çok uzun sürüyordu. Yine dört soru vardı ve ilk saat biterken integralin daha yarısını bitirebilmiştim. Bir başka arkadaş da hocaya gidip bu integrali mathematica’da çözdürüp çözdüremeyeceğini sormuştu. Hoca da o zaman herkese izin vermem gerekir diyip kabul etmemişti. Ben de çözdüğüm kısmın altına “Hocam gördüğünüz gibi bu integrali nasıl çözeceğimi biliyorum sadece bu hızla cevabı bulmam bir saat daha sürecek, ben diğer sorulara geçiyorum” yazdım.

Bir başka sınav türü de take home dediğimiz sınavlardı. Sorular verildikten sonra bir hafta süremiz vardı. Yani beraber de yapabilirdik ama sorun şu ki soruların hepsi çok zordu. Kitapta o soruları çözecek teknikleri bir türlü bulamıyorduk. Bunun üzerine sınavı teslim süresi dolmadan birkaç gün önce bir de kütüphaneyi denemeye karar verdik. O zamanlarda google yoktu. İnternet vardı ama. Stackoverflow ya da benzeri siteler de yoktu. Kütüphanedeki bütün makaleleri araştırmaya başladık. Birimiz bilgisayarda olası makalelerin hangi ciltlerde olduğunu bulmaya çalışıyordu, bir diğerimiz raflarda alakalı ciltleri tek tek karıştırıyordu. Diğerleri de o zamana kadar bulduğumuz makaleleri çözmeye çalışıyordu. Sanırım birebir çözümlerin olduğu makaleler yoktu ama benzer şeyler bulabilmiştik. Oldukça güzel bir grup araştırması yapmış olduk ama keşke daha önce başlamış olsaydık.

Bu sınavlarla normal sınavlar arasında bazılarımız için küçük benim için büyük farklar vardı. Bence bu farklı sınavlarda hocalar sıradan olmayan şeyleri ölçmek istediklerini açıkça söylemeye çalışıyorlar. Ölçmek işin nispeten kolay kısmı ama, önemli olan öğrencilerin bu ölçülen özellikleri geliştirebilmelerine yardımcı olabilmek.