Tümevarım ve bölünebilme (4)

  1. \(3n⁵ + 5n³ +7n\) onbeşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(3\cdot {0^5} + 5\cdot {0^3} + 7 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını kontrol edelim.

\(3(n+1)^5 + 5(n+1)^3 + 7(n+1) = \)

\(3(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) + 5(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 7n + 7 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15n^4 + 45n^3 + 45n^2 + 15n + 15 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15(n^4 + 3n^3 + 3n^2 + 1n + 1) \)

İfadenin ilk kısmının onbeşe bölündüğünü varsaymıştık. İkinci kısım da onbeşin katı olduğundan tüm ifade onbeşe bölünmektedir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. \(3^{2n} + 7\) sekize bölünür.

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(3^{2\cdot 0} + 7 = 3^0 + 7 = 1 + 7 = 8\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için önermenin doğruluğunun test edelim.

\(3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n + 2} + 7 = 9\cdot 3^{2n} + 7 = \)

\(8\cdot 3^{2n} + 3^{2n} + 7 \)

İfadenin ilk terimi sekizin katıdır ve kalanının da sekize bölündüğünü varsaymıştık. Demek ki önerme doğrudur.

3. \(n^3 + 5n\) altıya bölünür

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(0^3 + 5\cdot 0 = 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)^3 + 5(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = \)

\(n^3 + 5n + 3n^2 + 3n + 6 = n^3 + 5n + 3(n^2 + n) + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6\)

\(n(n+1) \) terimindeki \(n \) ya da \(n+1 \) sayısı çifttir, çünkü ardışıl olan iki tamsayıdan biri çift olmak zorundadır. O zaman bu çarpım da çift olmalıdır. Öyleyse son ifadeyi şu şekilde yazabiliriz.

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6 = n^3 + 5n + 3\cdot{2\cdot{k}} + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 6k + 6 = n^3 + 5n + 6(k + 1) \)

En sonunda elde ettiğimiz ifadenin ilk iki teriminin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Diğer terimi de altının katı olduğuna göre bütün ifade de altıya bölünür. Böylece önermemiz ispatlandı.

4. \(n^4 – 4n^2 \) üçe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeye bakalım.

\(0^4 – 4\cdot {0^2} = 0 – 4\cdot 0 = 0 – 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayıp \(n+1 \) için doğruluğuna bakalım.

\((n+1)^4 – 4(n+1)^2 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 – 4(n^2 + 2n + 1) = \)

\(n^4 + 4n^3 + 2n^2 -4n = n^4 – 4n^2 + 6n^2 + 4n^3 – 4n = \)

\(n^4 – 4n^2 + 2n(2n^2 – 3n – 2) = n^4 – 4n^2 + 2n(2n + 1)(n – 2)\)

İfadenin ilk iki teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. \(2n(2n + 1)(n – 2) \) terimini inceleyelim şimdi. n sayısı üç değişik formdan biri olabilir. Önce \(n = 3k \) şeklinde sayılara bakalım.

\(2\cdot{3k}(2\cdot{3k} + 1)(3k -2) = 6k(6k + 1)(3k-2) \)

Bu form her zaman üçe bölünür.

İkinci form \(n = 3k + 1 \):

\(2(3k + 1)(2\cdot(3k + 1) + 1)(3k -1) = 2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = \)

\(2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = 6(3k + 1)(2k + 1)(3k -1) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Son olarak üçüncü form \(n = 3k + 2 \):

\(2(3k + 2)(2\cdot{(3k + 2)} + 1)(3k + 2 -2) = 2(3k + 2)(6k + 5)(3k) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Demek ki elde ettiğimiz ifade her durumda üçe bölünür ve önermemiz doğru.

5. \(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5\) dokuza bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(10^0 + 3\cdot{4^{0+2}} + 5 = 1 + 3\cdot{4^2} + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = \)

\(1 + 48 + 5 = 54 \)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(10^{n+1} + 3\cdot{4^{n + 1+2}} + 5 = 10\cdot{10^n} + 3\cdot{4\cdot{4^{n+2}}} + 5 = \)

\( 10\cdot{10^n} + 12\cdot{4^{n+2}} + 5 = 10^n + 9\cdot{10^n} + 3\cdot{4^{n+2}} + 9\cdot{4^{n+2}} + 5 = \)

\(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5 + 9(10^n + 4^{n+2}) \)

İfadedeki son terim dokuzun katıdır ve diğer kısım da dokuza bölündüğünü varsaydığımız ifadeye eşit. Demek ki bütün ifade dokuza bölünüyor ve önerme doğru.

Doğrusal arama

Eski bir espride değişik mesleklerin Afrika’da nasıl fil avladığı sorulur. Espriye göre bilgisayarcı aşağıdaki algoritmayı kullanır:

  1. Afrikaya gidilir
  2. En güneyde Ümit burnunda başlanır.
  3. Kuzeye doğru yavaşça ilerlerken kıta doğudan batıya doğru taranır.
  4. Doğudan batıya her taramada aşağıdaki işlemler yapılır:
1. Görülen her hayvan yakalanır.
2. Yakalanan hayvan bilinen bir fil ile karşılaştırılır.
3. Eğer yakaladığımız hayvan fil ise arama biter.

Yazılımlarda sık sık verilen bir listede belli bir elemanın olup olmadığını ararız. Bu işi için de çoğunlukla yukarıdakine benzer algoritmalar kullanırız. Listenin başından başlarız ve her adımda listenin sonuna gelip gelmediğimizi ve o anki elemanın aradığımız eleman olup olmadığını kontrol ederiz. Bu arama işleminde her adımda iki şeyi kontrol ettiğimize dikkatinizi çekmek istiyorum.

  1. Listenin sonuna geldik mi?
  2. O anki eleman aradığımız eleman mı?

Bu meseleyi ilerde tekrar ele alacağım. Şimdilik algoritmanın bu en basit halinin bir sümulasyonunu yapmak istedim. Aşağıdaki linkten simulasyonu deneyebilirsiniz. Simulasyonda aranan sayı 82 olacaktır ve listede bu sayı mevcut. Arama işleminde her adımda yapılan işlemler açıklama alanında gösteriliyor.

Simulasyon linki

Tümevarım ve bölünebilme (3)

  1. \(5^{2n} – 3^{2n} \) sekize bölünür.

Önermeyi \(n = 0 \) için test edelim.

\(5^{2\cdot 0} – 3^{2\cdot 0} = 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını araştıralım.

\(5^{2\cdot(n+1)} – 3^{2\cdot(n+1)} = 5^{2n+2} – 3^{2n+2} = \)

\(25\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} = 16\cdot 5^{2n} + 9\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} \)

\(16\cdot 5^{2n} + 9(5^{2n} – 3^{2n}) \)

İlk terim onlatının katı olduğundan sekize de bölünür. Diğer terimin de sekize bölündüğünü zaten kabul etmiştik. Demek ki önerme doğruymuş. Aslında aynı şekilde bu ifadenin onaltıya bölündüğünü de ispatlayabilirdik.

2. \(2^{3n} + 13 \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(2^{3\cdot 0} + 13 = 2^0 + 13 = 1 + 13 = 14 \)

Önerme \(n = 0 \) için doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n+3} + 13 = 8\cdot 2^{3n} + 13 = \)

\(7\cdot 2^{3n} + 2^{3n} + 13 \)

İlk terim yediye bölünür, geri kalan terimlerin de yediye bölündüğünü varsaymıştık. O zaman önermemiz doğru demektir.

3. \(a \) birden büyük bir doğal sayı ise \(a ^ {n} – 1 \) \(a – 1\)’e bölünür.

Önce önermeyi \(n = 0 \) için deneyelim.

$ a^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(a^{n+1) – 1 = a\cdot a^n – 1 = a^n – 1 + (a – 1)a^n \)

Son terim \(a – 1 \) sayısına bölünür. Soldaki terimin de \(a – 1 \) sayısına bölündüğünü kabul etmiştik. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4. \(n^7 – n \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için deneyelim.

\(0^7 – 0 = 0 – 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)^7 – (n+1) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 – n – 1 = \)

\(n^7 – n + 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) \)

İlk baştaki iki terimin yediye bölündüğünü varsaymıştık. Kalan terim de yedinin katı olduğunda bu ifade de yediye bölünüyor. Demek ki önerme doğruymuş.

5. \(3^{n+1} + 2^{3n + 1} \) beşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(3^{0 + 1} + 2^{3\cdot 0 + 1} = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi bunu \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru mu diye bakalım.

\(3^{n + 1 + 1} + 2^{3(n+1) + 1} = 3^{n+2} + 2^{3n + 4} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 8\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 3\cdot 2^{3n + 1} + 5\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3(3^{n+1} + 2^{3n + 1}) + 5\cdot 2^{3n + 1} \)

İlk terim varsayımımız nedeniyle beşe bölünüyor ve ikinci terim de beşin katı olduğundan önermemiz doğrudur.

İstenen ve sunulan

Müşteri bazen çok basit ve net bir şey ister ama kurulan sistem bu isteği yerine getiremediğinden müşteriye istediğine benzer bir şey sunulur. Bu “çözümün” düşündüğümüzden çok daha fazla yerde kullanıldığından hiç şüphem yok.

Bugün de aynısı başıma geldi. Makinelerimizde sistemi test etmek için basit bir fonksiyon mevcut. Üretimde bazı ürünlere bilerek kontaminasyon eklenir ve sistemin eksiksiz bu kontaminasyonları bulup üretimden atması beklenir. Bu test için otomatik bir rapor tutulur. Bu esnada bilerek kontamine edilen ürünlerin normal üretim raporunda ayrıca test ürünleri olarak gösterilmesi istenir. Ürettiğimiz makine de bu işlemi yapıyor. Kontrol birimi makineyi test moduna geçiriyor ve ayrı bir yazılım modülü bu modda üretimden geçen kontamine ürünlerin test ürünü olduğunu varsayıyor ve beklenen sayıda test ürünü kontrol edildikten sonra bu modül makineyi yeniden normal üretim moduna geçiriyor. Test modunda hattan geçen normal ürünler de normal üretilmiş ürünler gibi değerlendiriliyor.

Müşteri yukarıda anlattığım fonksiyonu aynen bu şekilde kendi makinesinde de istemiş. O makine yukarıda anlattığımdan biraz farklı ama. İçinde bir de terazi modülü var ve terazi modülü ürünlerin sonucunu kontrol biriminden elektrik sinyalleri şeklinde alıyor. Örneğin kontaminasyon varsa bir kablodan sinyal gönderiliyor, iyi ürünse başka bir kablodan. Bu kombine makineler tasarlandığında doğru düzgün iletişim tasarlayacak zaman yoktu ve kısa sürede böyle basit bir çözüm üretildi. Bunun üzerinden yıllar geçmesine rağmen bu basit çözümü düzeltecek programı yazacak zaman bir türlü bulunamadı. Sistem de çalıştığı için bu düzeltmeye de gerek yok diye düşünüldü.

Müşterinin makinesini bu fonksiyon için şöyle ayarladık. Kontrol birimi terazi birimine hangi ürünün test ürünü olup olmadığını bir başka kablo ile bildiriyor. Bu bilgilerle beraber terazi test ürünlerini ana istatistikte ayrıca sayabilecek. Yani sayabileceğini umuyoruz çünkü asıl makinede test fonksiyonunu asıl kontrol eden modül yukarıda başka bir modül diye bahsettiğim modül. Yani kontrol birimi değil. Ayrıca bu planlanan konfigurasyonda da hesapta olmayan tek modül bu fonksiyonu kontrol eden asıl modül. Daha da kötüsü bu modül testle ilgili ayrı istatistikler de tutuyor, yani sonuçta doğal olan en küçük bir hatalı kararda iki taraftaki istatistikler birbirleriyle örtüşmeyecek.

Bu sorunları şefe ve diğer programcı arkadaşlara anlatıp kendi işimin başına döndüm. Tabii ki sonucun ne olacağı bilinmesine rağmen makine bu şekilde ayarlanacak. Ne de olsa müşteri kraldır. İstediğini hemen alacaktır. Ya da aldığını sanacaktır.

Tümevarım ve bölünebilme (2)

  1. \(n^3 – 6n² + 14n\) üçe bölünür

\(n = 0\) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 6\cdot 0² + 14\cdot 0 = 0 – 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için önermeyi test edelim.

\((n+1)³ – 6(n+1)² + 14(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – 6n² – 12n – 6 + 14n + 14 \)

\(= n³ -3n² + 5n + 15 \)

Bu ifadeyi değerini değiştirmeden önermede verilen formu elde edecek şekilde dönüştürelim.

\( n³ -3n² + 5n + 15 = n³ – 3n² – 3n² + 3n² + 5n + 9n – 9n + 15 \)

\(= n³ – 6n² + 14n + 3n² – 9n + 15 = n³ -6n² + 14n + 3(n² – 3n +5)\)

İfadenin ilk kısmının üçe bölündüğünü varsaymıştık ve ikinci kısım da üçe bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. \(3^n – 3\) altıya bölünür

Önermeyi önce n = 0 için deneyelim.

\(3⁰ – 3 = 1 – 3 = -2 \)

-2 altıya bölünmez demek ki önermemiz 0 için doğru değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.

\(3¹ – 3 = 3 – 3 = 0\)

Demek ki önermemiz 1 için doğruymuş. Şimdi önermeyi birden büyük n değerleri için doğru kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

\(3 ^ {n+1} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 – 6 + 6 \)

\(= 3\cdot 3^{n} – 9 + 6 = 3(3^{n} – 3) + 6\)

İçerideki terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Bu durumda bütün ifade de altıya bölünür ve böylece önermemizin sıfırdan büyük n değerleri için doğru olduğunu göstermiş olduk.

3. \(n³ + (n+1)³ + (n+2)³\) dokuza bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

\(0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1+ 8 = 9\)

Demek ki \(n = 0 \) için önerme doğru. Şimdi \(n \) için de doğru olduğunu var sayalım ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ = (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 81 \)

\(= n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + 9(n² + 3n + 9)\)

Baştaki terim dokuza bölündüğünü varsaydığımız kısım, sondaki terim de dokuza bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4.\(7^{2n} – 2^{n}\) kırkyediye bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

\(7⁰ – 2⁰ = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi n için doğru olduğunu kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

\(7^{2(n+1)} – 2^{n+1} = 7^{2n + 2} – 2^{n+1} = 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} \)

\(= 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} – 47\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n} \)

\(= 49\cdot 7^{2n} – 49\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n}\)

Soldaki ifadenin kırkyediye bölündüğünü varsaymıştık ve sağdaki terim de kırkyediye bölünüyor. O zaman önerme doğruymuş.

5. \(5^n + 7\) dörde bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi kontrol edelim.

\(5⁰ + 7 = 1 + 7 = 8\)

\(n = 0 \) için önerme doğruymuş. O zaman \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için test edelim.

\(5^{n+1} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 + 28 – 28 = 5\cdot 5^{n} + 35 – 28 = 5\cdot (5^{n} + 7) – 28 \)

İçerideki terimin dörde bölündüğünü kabul etmiştik. 28 de dörde bölündüğünden bütün ifade de dörde bölünür. Demek ki önermemiz doğruymuş.

MuseScore

Geçenlerde aldığım rönesans blok flüt kitabındaki parçaların notalarının CD üzerindeki parçalarla tam uyuşmadığından bahsetmiştim. CD üzerindeki yorumları da notaya dökmeye çalışmaya karar verdim. Bunun için de notalarla çalışabileceğim bir program aramaya başladım.

Arayışım aslında çok kısa sürdü. MuseScore adlı program tam istediğim şeyleri yapan bedava bir program. Programı musecore.org adresinden indirdim. AppImage dosyasını da linux altında da kolayca çalıştırabildim. Bunun için chmod komutuyla programa +x özelliğini vermem yetti.

chmod +x MuseScore-3.6.2.548021370-x86_64.AppImage

Ardından programı

./MuseScore-3.6.2.548021370-x86_64.AppImage

komutuyla çalıştırdım.

Benim bilgisayarımda program arada sırada tekliyor ama bekleyince çalışmaya devam ediyor. Kullanımda hoşuma gitmeyen yerler oldu. Örneğin sonradan eklediğim ölçüleri değiştirmeyi bir türlü beceremedim. Bir süre yardım dosyası okumam gerekecek gibi ama programın parçaları çalabilmesi bu tür sorunları hemen unutturacak gibi geliyor bana.

Tümevarım ve bölünebilme

Geçen gün Ümit bana internetten bulduğu tümevarım sorularını gönderdi. Soruların ilk bölümü bazı formdaki sayıların belli sayılara bölünebildiğini ispatlama üzerineydi. Tümevarımı lisede bazı formülleri ispatlamak için kullandığımı hatırlıyorum ama bölünebilme için hiç kullanmamıştım. Bölünebilme soruları için hep, sayıyı bir çarpanı soruda istenen sayı olacak şekilde yazmaya çalışırdım. Şimdi bu soruları bir de tümevarımla çözmeye çalışayım.

  1. \(n² + n \) bir çift sayıdır.

Önce bu önermeyi \(n = 0\) için deneyelim.

\(0² + 0 = 0 + 0 = 0 \)

0 sayısı çift olduğundan önermemiz \(n = 0 \) için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için de doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)² + n + 1 = n² + 2n + 1 + n + 1 = n² + 3n + 2 = n² + n + 2n + 2 = n² + n + 2(n + 1) \)

Burada \(n² + n\) teriminin çift olduğunu varsaymıştık. Bu durumda bu çift sayıya eklenen \(2(n + 1) \) sayısı da çift olduğundan toplam da çift olacaktır. Böylece tümevarımımız bitmiş oldu.

2. \(n³ + 2n\) sayısı üçe bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)³ + 2\cdot (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 2n + 2 = n³ + 3n² + 3n + 2n + 3 = n³ + 2n + 3n² + 3n + 3 = n³ + 2n + 3(n² + n + 1)\)

\(n³ + 2n \) teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. Kalan \(3(n² + n + 1) \) terimi de üçe bölündüğünden toplamları da üçe bölünecektir. Böylece önermeyi ispatlamış olduk.

3. \(4n³ – n\) üçe bölünür

Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n – n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3(n² + n) \)

\(n³ – n\) teriminin üçe bölündüğünü kabul etmiştik. \(3(n²+n)\) terimi de üçe bölündüğünden bütün ifade üçe bölünmektedir. Böylece önermeyi ispat etmiş olduk.

4. \(n³ – n\) altıya bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0\)

\(n = 0\) için önerme doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n -n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3n(n + 1) \)

\(n³ – n\) teriminin altıya bölündüğünü kabul etmiştik. Diğer terime dikkat edelim şimdi. n ve n + 1 sayılarından biri çift olmak zorunda olduğundan bu çarpım ikiye bölünebilmeli. O zaman son toplamı şöyle yazabiliriz.

\(n³ – n + 3\cdot2\cdot m = n³ – n + 6m \)

Demek ki bu toplam da altıya bölünüyor.

5. \(2n³ + 3n² + n\) altıya bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(2\cdot{0³} + 3\cdot{0²} + 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1\) için doğruluğunu test edelim.

\(2\cdot{n+1)³ + 3\cdot(n+1)² + (n+1) = 2\cdot(n³ + 3n² + 3n + 1) + 3(n² + 2n + 1) + (n + 1) = 2n³ + 6n² + 6n + 2 + 3n² + 6n + 3 + n + 1 = 2n³ + 9n² + 13n + 6 = 2n³ + 3n² + n + (6n² + 12n + 6) = 2n³ + 3n² + n + 6(n² + 2n + 1)\)

İlk terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. İkinci terim de altıya bölündüğünden toplam da altıya bölünür.

Bu sayfada bölünmeyle ilgili diğer alıştırmaları da zamanla çözeceğim. Tümevarım bu tür sorularda gerçekten de oldukça kullanışlı bir yöntem olabiliyormuş.

Thoinot Arbeau

Geçen aydı heralde, işten eve gelirken şeytana uydum ve müzik dükkanına girdim ve soprano barok flüt için rönesans dönemi parçalardan oluşan bir kitap aldım. Kitabın ilk parçası Thoinot Arbeau’dan Pavane’dı.

Benim çaldığım düzenleme bu linktekinden bir kaç ton daha yukarıda. Parçayı öğrendikten sonra Thoinot Arbeau kimdir diye bir bakayım dedim. Gerçek adı Jehan Tabourot olan bir rahipmiş. Kullandığı isim de orijinal isminin anagramıymış ama nasıl bir anagram olduğunu açıkçası anlayamadım. 16. yüzyıl sonlarındaki danslar ile ilgili çalışmalar yapmış. Ayrıca astronomi alanında da bir çalışması (daha çok ay ve güneş hareketleri ve tarihleri değişken olan festivallerin tarihlerinin nasıl hesaplanacağı üzerine) varmış.

Rönesans müziği dinlemeyeli neredeyse otuz yıl olmuş. Üniversitede müzik tarihi dersinde bu konuyu biraz işlemiştik ve hocamız bize dinlememiz için CDler vermişti. Ne yazık ki o CDlerin adını hatırlamıyorum, çok güzel parçalar vardı içlerinde.

Servisle iletişim

Dün üç haftalık tatilimin son günüydü ve bütün günüm havaalanlarında ve tren istasyonlarında geçti. Bu sabah da doktor randevumdan sonra işe yürüyerek gittim. Kısacası tatildeki bütün dinlenmem son yirmidört saat içinde geçip gitti.

Büroya gelince bilgisayarımı açtım ve yokluğumda birikmiş işlere baktım. Bir elektronik posta kolay görünüyordu. Servisten gönderilmişti. Müşteri atılmış ürünlerin listesinin doğru çalışmadığını söylemiş ve bunu destekleyen beş tane fotoğrafı da postaya ekleyip göndermişti. Sorun çözülememiş ve benim dönmem beklenmiş.

İlk fotoğrafa bakar bakmaz ortada bir sorun olmadığını anlamıştım. Görüntü işleme birimi üründe kontaminasyon bulmuştu ama kontrol birimi de nedense ürünü atma yoluna gitmemişti, yani bu ürün gerçekten de satılmıştı. Bazen kontrol birimleri gerçekten de bilerek ya da bilmeden böyle ayarlanabiliyor. Ürün atılmadığına göre atılmış ürünler listesinde bulunmaması da çok normaldi.

Bunu servise yazdım ve kısa süre sonra bir başka posta geldi. “Bu fotoğrafları biz de böyle yorumladık ama müşteri de sistemin acemisi değil, büyük ihtimalle haklı olduğunu düşünüyoruz. Söyleyebileceğin bir şey var mı?”

Ben de tabii ki herkesin aklına gelebilecek cevabı gönderdim. “Müşteri bir iddiada bulunmuş ve bana bu iddiayla alakası olmayan bir şey göndermiş. Bu tür değerlendirmelerde nelere ihtiyacım olduğunu biliyorsunuz ve anlaşılan müşteriden onları da istememişsiniz. Şimdi ise o iddiayı değerlendirme şansım yok ama benden cevap bekliyorsunuz.”

Sonra bana okumam için bir backup gönderdiler. Log dosyalarındaki bazı yerler dikkatlerini çekmiş. Oraların normal şeyler olduğunu söyledim ama log dosyalarının neresinin ilginç olup olmadığını anlatmayı bir an aklımdan geçirmiş olsam da anlatmamaya karar verdim. Log dosyalarının kesin bir yapısı yoktu ve kafa karıştırmaktan başka bir işe yaramayacaktı.

Bu cevaptan sonra anlaşılan servis de bezdi de o zaman backup dosyalarını okumama gerek olmadığını söylediler. Böylece tatilden sonraki ilk iş günümde biraz olsun dinlenmeyi başarabildim.