Bugün şöyle bir test sorusu geçti elime.
\(p(x) \) polinomu \(x-1\)’e bölününce 7 kalıyor. Aynı polinom \(x+2\)’ye bölününce 1 kalıyor. \(p(x+4) \) polinomunun $x² + 9x + 18$ polinomuna bölümünden kalan nedir?
Sınavdan otuz yıl sonra benim problemle ilgili hatırladığım tek şey bir kalan teoremiydi ama onu da kullanmaya gerek yoktur umarım diye düşündüm. Şöyle başladım:
\(p(x) = q(x) \cdot (x-1) + 7 \)
Burada \(q(x) \) bölüm oluyor ve bunu hesaplamaya gerek olmayacaktır diye düşündüm.
İkinci veri için de şunu yazdım:
\(p(x) = t(x) \cdot (x+2) + 1 \)
Birinci denklemde \(x = 1 \) için \(p(1) = q(1) \cdot (1 – 1) + 7 = q(1) \cdot 0 + 7 = 7 \) verisini elde ederiz.
Aynı yöntemi ikinci denklem için uygularsak da \(x = -2 \) için \(p(-2) = t(-2) \cdot (-2 + 2) + 1 = t(-2) \cdot 0 + 1 = 1 \) sonucunu elde ederiz.
Bu noktada daha fazla bilgi edemeyeceğimi düşündüm ve bir sonraki adımı denemeye karar verdim. Bu verilerin o adımda bir şekilde işe yarayacağını umuyordum sadece.
\(p(x+4) = u(x)\cdot (x² + 9x + 18) + (ax + b) \)
Buradaki \(ax + b\) ifadesi bölümden kalan terim olmakta ve derecesi \(x² + 9x + 18 \) ifadesinden bir derece küçük olmalı. Bu durumda a ve b terimlerini bulmam lazım ve bunun için de iki denkleme ihtiyacım var. Şansa soruda iki denklem verilmişti. Bakalım bu denklemler işime yarayacak mı?
\(p(1) = 7\) ise son denklemde \(x \) yerine -3 koyarsak denklemi ihtiyacım olan şekle sokabilirim diye düşündüm.
\(p(-3 + 4) = u(-3) \cdot ((-3)² + 9\cdot(-3) + 18) + (a\cdot(-3) + b = 7 \)
\(p(1) = u(-3) \cdot (9 – 27 + 18) + (a\cdot(-3) + b = 7 \)
\(p(1) = u(-3) \cdot (0) + (a\cdot(-3) + b = 7 \)
\(-3a + b = 7 \)
Şansım yaver gitti. Bakalım ikinci denklem de işe yarayacak mı?
Bunun için \(x = -6 \) değerini kullanmam gerekecek.
\(p(-6 + 4) = u(-6)((-6)² + 9\cdot(-6) + 18) + (a\cdot(-6) + b) = 1 \)
\(p(-2) = u(-6)(36 -54 + 18) + (-6a + b) = 1 \)
\(p(-2) = u(-6)(0) + (-6a + b) = 1 \)
\(-6a + b = 1 \)
Bir denklem daha elde ettim. Şimdi bu iki bilinmeyeni bu denklemlerle çözebilirim.
İlk denklemden ikinci denklemi çıkarırsak:
\((-3a + 6a) + (b – b) = 7 – 1 \)
\(3a = 6 \)
\(a = 2 \) buluruz.
Bu a değerini denklemlerden birine koyarsak da b değerini buluruz.
\(-6 \cdot 2 + b = 1 \)
\(-12 + b = 1 \)
\(b = 13 \)
Demek ki bölümden kalan \(2x + 13\) ifadesiymiş.
Bu kadar işlemde matematiksel düşünme açısından yaptığım tek şey kalanların derecelerinin daha küçük olması gerektiği ve polinom bölmeyi yazıp \(p(1) \) ve \(p(-2) \) değerlerini hesaplamak oldu. Bunları polinomlarla ilgili bir teoremle de yapabilirdim. Geri kalan işlemler ise biraz da bunun test sorusu olmasının getirdiği bir iyimserlikle yapılmış işlemlerdi. Diğer taraftan soruda yapılan bu eklemeler sayesinde denklem çözümleri de kullandırılmış.
Burada kendi kendime sormaya başladım. Testlerde neyi ölçmek istiyoruz? Bilgiyi mi? Düşünmeyi mi? İyimser beklentileri mi? Ya da kişinin belli örüntüleri kolayca görüp göremediğini mi? Belki de hepsidir. Sınav test usülü olmasa da ister istemez bütün bunları ölçüyoruzdur heralde.