Hobi olarak matematik öğreniyorum. Acele etmeden. İşime yarar mı diye kaygılarım olmadan. Şu an ilgilendiğim alanı ise grup teorisi. Nedir, ne değildir diye anlatmaya kalkmayacağım. Bilgisayarıma indirdiğim kitaplardan arada bir okuyorum ve kitaptaki alıştırmaları kağıt kalemle çözmeye çalışıyorum. Hafta sonu yazmaya çalıştığım Hackenbush programı iyi gidince takılıp kaldığım probleme bir daha baktım.
\(p \) bir tek asal sayı olsun. \(U(p^n) \) grubunda derecesi 2 olan tek elemanın \(p^n – 1 \) olduğunu gösterin.
Bu soruyla uzun zamandır uğraşıyordum. Uğraşıyordumdan kastım arada bir bakıp hiçbir ilerleme kaydedemiyordum. Yapabildiğim tek şey, eğer bu grupta derecesi ikinci bir eleman daha varsa, başka bir üçüncü eleman daha olmalıdır sonucuna ulaşmak olmuştu.
\(a \) ve \(b \) dereceleri 2 olan iki değişik eleman olsun dedim. O zaman \(a \cdot a = e \) ve \(b \cdot b = e \) demektir. Bu ikisi de birbirinden farklı olduğuna göre ve ikisinin de dereceleri 2 olduğuna göre birbirlerinin tersi değillerdi. Eğer biri diğerinin tersi olsa o zaman
\(a \cdot b = e \)
\(a \cdot a \cdot b = a \cdot e = a \)
\(e \cdot b = b = a \) sonucu çıkacaktır. Ama a ve b birbirlerinden farklıydı. Demek ki çarpımları da etkisiz eleman olamazdı.
Peki çarpımlarının derecesi kaç olurdu?
\(a \cdot b \cdot a \cdot b = a^2 \cdot b^2 \) çünkü grubumuz değişmeli grup.
\(a^2 \cdot b^2 = e \cdot e = e \)
Bu çarpımın etkisiz eleman olmadığını biliyordum. Demek ki çarpımın derecesi 2 imiş. Böylece bu grupta derecesi 2 olan en az üçüncü bir elemanın olacağını gösterdim ve bir aptallık yapıp burada durdum.
Neyse daha fazla ilerleme kaydedemediğimden hafta sonu matematikçi bir arkadaşımı arayıp soruyu anlattım ve bana verebileceği bir ipucu olup olmadığını sordum.
Bana ilk dediği şeylerden biri bu grupta eleman sayısı 4 olan bir alt grup bulmuşsun oldu. Benim aklıma bunun bir altgrup olup olmadığını araştırmak gelmemişti. Sonra hemen denedim tabii.
Derecesi 2 olan üçüncü sayı \(c = a \cdot b \) olsun. Bu elemanlar çarpma altında kapalı mı diye baksam yeter diye düşündüm.
\(a \cdot c = a \cdot a \cdot b = e \cdot b = b \)
\(b \cdot c = b \cdot a \cdot b = b\cdot b \cdot a = e \cdot a = a \)
Gerçekten de kapalıydılar. Yani \(e \), \(a \), \(b\) ve \(c \) elemanları ve modulo \(p^n \)’e göre çarpma işlemi bir altgruptu.
Ondan sonra bana şunu örnek olarak \(U(9) \) grubunu verdi ve bu grubun 4 elemanlı bir altgrubu olabilir mi diye sordu. Olamaz dedim. \(U(9) \) 6 elemana sahipti ve 4, 6’yı bölmez.
Peki bunu genelleyebilir misin diye sordu. Yani \(U(p^n) \) grubunun eleman sayısı dörde bölünür mü diye sordu.
Bu noktada bana yeterince fikir verdiğini düşünüp teşekkür ettim ve iyi akşamlar diledim. Hemen elime kağıt kalemi alıp \(U(p^n) \) grubunun eleman sayısını hesaplamaya başladım. Aslında bunun förmülünü daha önce bulmuştum ama yine bir kontrol ettim. Bu grubun \(p^n – p^{n-1} \) elemanı vardı.
Bunu da çarpanlara ayırdığımda \(p^{n-1} \cdot (p – 1 )\) çıkıyordu. \(p^{n-1}\) her zaman tek sayı olduğundan dörde bölünemez ama \(p \) asal sayısı \(4k + 1\) formundaysa bu grubun eleman sayısı dördün bir katı olacaktı. Gerçekten de 13, 17, 37 gibi asal sayılar için grubun eleman sayıları 12, 16 ve 36 oluyordu. Demek ki bu şekilde bir genelleme olmuyordu ve aklıma daha başka bir şey de gelmediğinden yatıp uyudum.
Sabahleyin arkadaşımı tekrar arayıp bazı asal sayılar için grup eleman sayısının dörde bölünebildiğini söyledim. Bana ilk söylediği şey, bu durumda başka bir çelişkiye ulaşacağım oldu. Bu çelişki bir türlü aklıma gelmiyordu. Sonra dedi ki, mesela \(U(37) \) grubunun 4 elemanlı cyclic olmayan bir altgrubu olabilir mi? O an her şey yerine oturdu. Ben bulduğum dört elemanlı altgrubun cyclic olup olmadığına bakmamıştım bile. Bu altgrup tabii ki cyclic değildi ama ilk başta verilen grup (\(U(p^n)\) ) cyclic idi. Cyclic bir grubun altgrupları da cyclic olmalıydı. Uğraştığım soru birden çözülmiştü.
Arkadaşımın bu kadar basit bir soruyu aklında tutmuş olmasına mı şaşırayım, yoksa bana bunu kolayca çözdürebilmesine şaşırayım bilemedim gerçekten de. Heralde bu sorular uzmanlar için üçle beşi toplamak gibi bir şeydir. Belki de her satranç ustasının çok iyi bildiği standart bir pozisyon gibidir. Böyle süper arkadaşlarım olduğu için çok şanslıyım.
