Lojistik büyüme modeli aşağıdaki diferansiyel denklemle tanımlanıyor.
\(\frac{dx}{dt} = x \frac {r}{K}(K – x) \)
Burada \(x \) o anlık nüfusu verirken \(\frac{dx}{dt} \) terimi de bir sonraki an için nüfusun ne kadar değişeceğini belirtiyor. \(K – x \) ifadesi, nüfus \(K \) teriminden büyük olduğunda negatif , küçük olduğunda da pozitif oluyor. Yani nüfus bu terimden büyükken nüfusun değişimi negatif (azalma yonünde), küçükken de pozitif (artış yönünde) olmakta. Bu durumda bu sistemde nüfus K değerine ulaşma eğiliminde olmalı. \(\frac {r}{K} \) terimi de bu yaklaşmanın hızını kontrol ediyor.
Kendimce yaptığım bu analiz sonunda tahmin yapmam gerekirse denge noktasının \(x = K \) noktasında olduğunu söylerdim. Bunların matematiksel çıkarımını yapmadan sadece deneysel gözlemlerini yapmak istiyorum. Bunun için aşağıdaki programı nüfusun ilk değeri için \(x = K = 300\) noktasında başlattım. Beklentim sabit bir grafik elde etmek.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def h(r, K, x):
return r*(1 - x / K)
r = 0.021476
K = 300
x = K
populations = np.array([x])
for i in range(1, 1000):
x = x + x*h(r, K, x)
populations = np.append(populations, [x])
plt.plot(populations)
plt.ylabel("nüfus")
plt.xlabel("zaman")
plt.show()
Nüfus gerçekten de sabit kalıyor. Peki başlangıç nüfusunu bu değerden biraz uzaklaştırırsak ne olur?
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def h(r, K, x):
return r*(1 - x / K)
r = 0.021476
K = 300
x = K + 10
populations = np.array([x])
for i in range(1, 1000):
x = x + x*h(r, K, x)
populations = np.append(populations, [x])
plt.plot(populations)
plt.ylabel("nüfus")
plt.xlabel("zaman")
plt.show()
Bu programda nüfusu \(x = K + 10\) değerinden başlattım.
Kafamdan yaptığım analizden de beklediğim gibi nüfus gerçekten de kararlı duruma dönmeye çalışıyor. Demek ki bu sistem asimptotik kararlılığa sahip. Elbette bu çıkarımı matematiksel ispatı vermeden yapamam ama bu yazılarda daha çok sezgisel çalışmayı düşünüyorum.