Bir tartı sorusu üzerine çeşitlemeler (Çözüm)

Her gruptan farklı miktarda para seçmemiz lazım ama hileli torba sayısını bilmediğimizden bir gruptan alınan paraların sayısının diğer gruplardan alınan paraların toplamı şeklinde yazılamayacağını sağlamamız lazım. Örneğin birinci torbadan 1, ikinci torbadan da 2 para alırsak başka bir torbadan, diyelim üçüncü torbadan 1+2=3 para alamayız. Hileli torba sayısı bilinmediğinde eğer toplamda 3 gram eksiş çıkarsa birinci ve ikinci torbalar mı yoksa sadece üçüncü torba mı hileli sorusunu tek tartıyla çözemeyiz.

Bu şekilde torbalardan toplam şartını sağlayacak şekilde en küçük miktarda parayı alarak seçimimizi yapalım.

Birinci torba: 1 para

İkinci torba: 2 para

Üçüncü torba: 4 para. 3 para olmaz çünkü 1 + 2 = 3.

Dördüncü torba: 8 para. 1, 2 ve 4 para ile 1’den 7’ye kadar her toplam üretilebilir.

Beşinci torba: 16 para. 1, 2, 4 ve 8 para ile 1’den 15’e kadar her toplam üretilebilir.

Altıncı torba: 32 para. 1, 2, 4, 8 ve 16 para ile 1’den 31’e kadar her toplam üretilebilir.

Yedinci torba: 64 para. 1, 2, 4, 8, 16 ve 32 para ile 1’den 63’e kadar her toplam üretilebilir.

Sekizinci torba: 128 para. 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64 para ile 1’den 127’ye kadar her toplam üretilebilir.

Dokuzuncu torba: 256 para. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ve 128 para ile 1’den 255’ye kadar her toplam üretilebilir.

Onuncu torba: 512 para. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ve 256 para ile 1’den 511’ye kadar her toplam üretilebilir.

Dikkat edilirse her torbadan 2’nin değişik kuvvetleri kadar para alıyoruz. Toplamda da

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023 adet para ile sorunu çözebiliriz.

Her torbadan yukarıda belirtilen miktarda para alarak tartımı yaptıktan sonra okuduğumuz değeri beklenen toplamdan (\(10\cdot{1023}=10230 \)) çıkarıyoruz. Yani tartıda eğer 10128 değerini okuduysak 10230 – 10128 = 102 farkını elde ediyoruz. Bu farkı ikilik düzende yazarsak 1100110 şeklinde hangi torbaların bu toplama etki ettiğini görürüz. Sayıyı sağdan sola doğru okuyarak ikinci, üçüncü, altıncı ve yedinci torbaların hileli paralar içerdiğini görürüz.

Tabii ki çeşitlemelere devam edilebilir. Korkmayın hemen, devam etmeyeceğim. Yani en azından bu yazıda devam etmeyeceğim.

Eğer her torbadaki hile miktarı değişik ise, yani bir torbadaki paralar 1 gram eksikse, bir başka torbadaki paralar 2 gram eksikse bu hileli torbalar tek tartıda bulunabilir mi? Her torba farklı miktarlarda hileliyse tek tartıda hangi torbanın ne kadar hileli olduğu bulunabilir mi? Torbalardaki hileler nasıl olmalıdır ki tek tartıda sayısı belli olmayan hileli torbalar bulunabilsin?

Bir yanıt yazın