Paraları şu şekilde gösterelim:
A: Ağır para
N: Normal para
H: Hafif para
Tam ağırlıklarını bilmesek de şu şartı biliyoruz:
A > N > H
Elimizdeki dokuz parayı üçerli gruplara ayırıp bunları büyükten küçüğe dizecek şekilde tartalım. Üç grubu büyükten küçüğe dizebilmek için tabii ki üç tartıya ihtiyacımız olacak.
Birinci tartı: Grup 1 > Grup 2 İkinci tartı: Grup 2 > Grup 3 Burada iki tartı sonunda Grup 1 > Grup 2 > Grup 3 diyebiliriz. Birinci tartı: Grup 1 > Grup 2 İkinci tartı: Grup 3 > Grup 2 Bu durumda ise Grup 1 ve Grup 3 arasında bir sıralama yapamayız ve dolayısıyla bir üçüncü tartıma ihtiyacımız var.
Bu ilk üç tartı sırasında bir tartı eşit çıkarsa işimiz kolay, çünkü elimizde sadece bir tane N para olduğundan bu paranın o tartıda kullanılmadığını hemen anlarız. Demek ki N para tartmadığımız gruptadır. Üçlü grup için bir tartının aynı olması ancak şöyle olabilir:
1. AAH = AAH ise kalan grup NHH olacaktır. Bu durumda yine kalanları sıraya dizmeye kalkarız. N > H = H olacağından bir tartıda yine eşitlik çıkacaktır (H = H). Bu durumda o tartıda kullanmadığımız para normal olan N parasıdır. 2. AHH = AHH ise kalan grup AAN olacaktır. Yine bu grubu sıralamaya çalışırsak A = A > N bulacağız. A = A tartısını yaptığımız an diğer paranın normal olduğunu bulmuş oluruz.
İlk üç tartıda bir eşitlik bulduysak N parasını bulmak için en fazla üç tartıya daha ihtiyacımız
olduğunu bulduk. Yanı bu durumda toplam altı tartıda N parası bulunabilir.
Şimdi ilk üç tartıda eşitlik çıkmadığı durumlara bakalım. Eğer bu adımda N parasının hangi grupta olduğunu bulabildiysek kalan işlem için en fazla üç tartı gerektiğini biliyoruz. Yapacağımız tek şey, bu üçlüyü tek tek tartıp sıralamak. Eşitlik olursa diğer para N’dir, eşitlik yoksa ortadaki para.
İlk bakışta N parası sıralamadan sonra ortadaki grupta olmalı gibi geliyor. Büyük çoğunlukta da öyle olacaktır ama ne yazık ki bu şart değil. Bunu görmek için bütün olası grupları yazalım.
AAA > AHH > NHH AAA > ANH > HHH AAN > AAH > HHH AAH > ANH > AHH
Eşitlik olmayan üç tartı olasılıkları bunlar. Burada gördüğümüz şey şu: Eğer N orta gruptaysa orta grup A, N ve H paralarına sahip olmalı. Yani hepsi farklı ağırlıklarda. Diğer durumlarda N parası ya en ağır ya da en hafif grupta olacak.
Bu problemi sonraya bırakıp orta grubu sıralarsak üç değişik ihtimalle karşılaşacağız.
1. A > N > H : Eğer üç tartı dafarklıysa N bu grupta olmalı ve tabii ki ortadaki paradır. 2. A > H = H : Bir eşitlik var ve sıralamadan anlaşılacağı gibi hafif paralar eşit. Bu durumda N bir önceki adımda bulunan en hafif üçlü gruptadır ve bu da tabloya göre NHH olmalıdır. Bu grupta N parasını bir tartıda bulabiliriz. Bunu bir sonraki adımda inceleyeceğim. 3. A = A > H : Eşitlik ağır paralarda olmuşşa N tabloya göre en ağır grupta olmalı. Bu en ağır grup da AAN paralarından oluşuyor. Bu ihtimali de bir sonraki adıma bırakayım.
Şimdiye kadar toplam en fazla altı tartım yaptık ve iki durum hariç N parasını bulduk. Şimdi bu iki durumu tek tartıda nasıl çözeceğimize bakalım.
1. Bir önceki adımın ikinci ihtimalindeysek en hafif grubun NHH olduğunu biliyoruz. Bu gruptan birer para alıp tartarız. Üç ihtimal olacaktır. Eğer tartım eşitse (H = H) aradığımız para tartmadığımız paradır. Diğer iki durumda (N > H ya da H < N) ise ağır gelen para aradığımız paradır. 2. Bir önceki adımın üçüncü ihtimalindeysek en ağır grubun AAN olduğunu biliyoruz. Bu gruptan birer para alıp tartarız. Üç ihtimal olacaktır. Eğer tartım eşitse (A = A) aradığımız para tartmadığımız paradır. Diğer iki durumda (N < A ya da A > N) ise hafif gelen para aradığımız paradır.
Son adımı da tek tartıda çözdüğümüze göre toplamda yedi tartı yeterlidir. MIT Mystery Hunt 2013 etkinliğinde bu soruda ‘yedi tartıda bulun’ diye sorulmuş. Tanya Khovanova ise sayfasında altı tartının yeterli olduğunu da belirtmiş. Henüz altı tartıyla cevabı bulamadım/okumadım. Çözünce onu da yazarım artık.