Henüz bir planım olmadığı için yine sorunun daha basit bir versiyonuyla başlayayım. Diyelim ki iki tutuklu var ve alınlarına 0 ya da 1 yazılsın. İki tutukluyu da bir önceki gece 0 ve 1 diye numaralayalım. Yani oyun boyunca ikisinin de rolü belli. Şimdi ertesi gün oyun tarafından kendilerine rastgele numaralar verilecek. Bu durumda aşağıdaki tabloya göre 4 değişik durum olacak:
| Birinci tutuklunun alnındaki sayı | İkinci tutuklunun alnındaki sayı |
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |
Tutuklular sadece gördükleri sayılara göre bir karar verirse kurtulmaları için yeterli olmaz. Bunu görmek için basit bir deneme yapalım. Diyelim ki herkes gördüğü sayının tersini söylesin, yani 0 gören 1 desin, 1 gören de 0 desin. O zaman şöyle bir tablo elde ederiz:
| 1. tutuklunun alnındaki sayı | 2. tutuklunun alnındaki sayı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Görüldüğü gibi iki tutuklunun aldında aynı sayılar yazıyorken ikisi de yanlış cevap veriyor, farklı sayılar varken ikisi de doğru cevap veriyor. Peki ikisi de gördüğü sayıyı söylese durum değişir mi?
| 1. tutuklunun alnındaki sayı | 2. tutuklunun alnındaki sayı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Bu durumda da eğer alınlarındaki sayılar aynı ise ikisi de doğru cevap veriyor, farklı ise ikisi de yanlış cevap veriyor. Soruyu çözmek için aynı anda ikisinin de doğru cevap vermesine gerek yok ama, sadece biri doğru cevap verse yeterli. Bunu elde etmek için bir gece önce kendilerine verilen sayıları da kullanabilirler belki.
Bunu yapmanın bir sürü yolu var. En basitinden şöyle düşünebiliriz. İki tutuklu da farklı kurallara göre seçim yapabilir. Örneğin birinci tutuklu her zaman gördüğü sayıyı söylesin, ikinci tutuklu da gördüğü sayının tersini söylesin. Bakalım bu sefer nasıl bir tablo çıkıyor?
| 1. tutuklunun alnındaki sayı | 2. tutuklunun alnındaki sayı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Bu stratejiye göre her durumda sadece bir tutuklu doğru cevabı veriyor ama her durum için bir doğru cevap olduğundan her durumda ikisi de kurtuluyor. Demek ki bu basit versiyon için bir çözüm var. Yalnız şimdi de 10 tutuklunun olduğu versiyon için çok kompleks bir çözüm bulmamız gerektiği gibi bir sonuçla karşı karşıyayız. Peki bu çözümde biraz daha durup stratejimizi daha kolay bir hale getirebilir miyiz?
Önce daha kolaydan ne kastettiğimi anlatayım. Yani belki basit matematiksel bir ifade bulabiliriz ve daha sonra bu ifadeyi daha fazla tutuklu ile deneyerek test edebiliriz. Fakat sonunda gerçek testi bir ispat verecektir bu durumda. Yine de matematiksel bir ispattan faydalanmak için matematiksel bir ifade daha kolaylaştırıcı olacaktır.
Örneğin şöyle bir model tasarlayabiliriz. Her tutuklu gördüğü sayıdan plan yapma aşamasında kendisine verilen sayıyı çıkarabilir. Tabii ki çıkan sonuç her zaman alınlarındaki olası sayılardan biri olmayabilir. Birinci tutuklunun alnında 0 yazıyorsa ikinci tutuklu 0 – 1 işlemini yapıp -1 sonucunu bulacaktır. Demek ki bu sonucu da 0 ve 1 sayılarına dönüştürmemiz lazım. En kolay yol bu soncu modulo 2 sisteminde yazmak olabilir. Şimdi tabloyu bu şekilde tekrar yazayım.
| 1. tutuklunun alnındaki sayı | 2. tutuklunun alnındaki sayı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | \(0 – 0 \equiv {0} \mod{2}\) | \(0 – 1 \equiv {1} \mod {2}\) |
| 0 | 1 | \(1 – 0 \equiv {1} \mod {2}\) | \(0 – 1 \equiv {1} \mod {2}\) |
| 1 | 0 | \(0 – 0 \equiv {0} \mod {2}\) | \(1 – 1 \equiv {0} \mod {2}\) |
| 1 | 1 | \(1 – 0 \equiv {1} \mod {2}\) | \(1 – 1 \equiv {0} \mod {2}\) |
Bu şekilde ifade ettiğimizde de yukarıdaki çözümle aynı sonucu bulabildik. Şimdi önümüzde iki imkan var. Ya bu yöntemi diğer tutuklu sayılarıyla test edeceğiz ya da genel bir ispat arayacağız.
| 1. tutuklunun sayısı | 2. tutuklunun sayısı | 3. tutuklunun sayısı | 1.tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini | 3. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | 0 | \(0 + 0 – 0 \equiv {0} \mod {3}\) | \(0 + 0 – 1 \equiv {2} \mod {3}\) | \(0 + 0 – 2 \equiv {1} \mod {3}\) |
| 0 | 0 | 1 | \(0 + 1 – 0 \equiv {1} \mod {3}\) | \(0 + 1 – 1 \equiv {0} \mod {3}\) | \(0 + 0 – 2 \equiv {1} \mod {3}\) |
| 0 | 0 | 2 | \(0 + 2 – 0 \equiv {2} \mod {3}\) | \(0 + 2 – 1 \equiv {1} \mod {3}\) | \(0 + 0 – 2 \equiv {1} \mod {3}\) |
Bu tamamlanmamış tablodaki testten kolayca görüyoruz ki bu strateji doğru çalışmıyormuş. Peki bunun yerine nasıl bir kural koyabiliriz? Mesela her tutuklu toplamı kendine atanan sayıya eşitleyebilir. Yani birinci tutuklu tüm toplamı 0 yapmaya çalışırken, ikinci tutuklu da tüm toplamı 1 yapmaya çalışabilir. Tabii ki modulo 2’ye göre. Bunu da bir deneyelim.
| 1. tutuklunun sayısı | 2. tutuklunun sayısı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | \(0 – 0 \equiv {0} \mod {2}\) | \(1 – 0 \equiv {1} \mod {2}\) |
| 0 | 1 | \(0 – 1 \equiv {1} \mod {2}\) | \(1 – 0 \equiv {1} \mod {2}\) |
| 1 | 0 | \(0 – 0 \equiv {0} \mod {2}\) | \(1 – 1 \equiv {0} \mod {2}\) |
| 1 | 1 | \(0 – 1 \equiv {1} \mod {2}\) | \(1 – 1 \equiv {0} \mod {2}\) |
İki tutuklu için işe yaradı bu strateji. Bakalım üç tutuklu için daha iyi bir sonuç verecek mi?
| 1. tutuklunun sayısı | 2. tutuklunun sayısı | 3. tutuklunun sayısı | 1. tutuklunun tahmini | 2. tutuklunun tahmini | 3. tutuklunun tahmini |
| 0 | 0 | 0 | \(0 – (0 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 0 | 0 | 1 | \(0 – (0 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 0 | 0 | 2 | \(0 – (0 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 0 | 1 | 0 | \(0 – (1 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 0 | 1 | 1 | \(0 – (1 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 0 | 1 | 2 | \(0 – (1 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 0 | 2 | 0 | \(0 – (2 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 0 | 2 | 1 | \(0 – (2 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 0 | 2 | 2 | \(0 – (2 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (0 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (0 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 1 | 0 | 0 | \(0 – (0 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 1 | 0 | 1 | \(0 – (0 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 1 | 0 | 2 | \(0 – (0 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 1 | 1 | 0 | \(0 – (1 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 1 | 1 | 1 | \(0 – (1 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 1 | 1 | 2 | \(0 – (1 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 1 | 2 | 0 | \(0 – (2 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 1 | 2 | 1 | \(0 – (2 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 1 | 2 | 2 | \(0 – (2 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (1 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (1 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 2 | 0 | 0 | \(0 – (0 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 2 | 0 | 1 | \(0 – (0 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 2 | 0 | 2 | \(0 – (0 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 0) \equiv {0} \mod {3}\) |
| 2 | 1 | 0 | \(0 – (1 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 2 | 1 | 1 | \(0 – (1 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 2 | 1 | 2 | \(0 – (1 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 1) \equiv {2} \mod {3}\) |
| 2 | 2 | 0 | \(0 – (2 + 0) \equiv {1} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 0) \equiv {2} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 2 | 2 | 1 | \(0 – (2 + 1) \equiv {0} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 1) \equiv {1} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) |
| 2 | 2 | 2 | \(0 – (2 + 2) \equiv {2} \mod {3}\) | \(1 – (2 + 2) \equiv {0} \mod {3}\) | \(2 – (2 + 2) \equiv {1} \mod {3}\) |
Bu strateji tabloya göre üç tutuklu için de işe yaradı. Bu şekilde on tutukluya kadar gitmek mümkün olmadığından bu stratejinin çalışacağını ispatlamaya çalışmak daha kolay olabilir.
Tutukluları birden n’e kadar numaralayalım. i numaralı tutukluya strateji belirlenirken i-1 sayısı atanmış olacak. Her tutuklunun alnındaki sayıyı da \(a_{i} \) şeklinde gösterelim. Göstermek istediğimiz şey şu: Her tutuklu tüm sayıların toplamı modulo n’de kendine atanan sayı olacak şekilde bir tahmin yaparsa en az bir tutuklu kendi alnındaki sayıyı tahmin eder.
O zaman bu ifadeyi matematiksel bir şekilde ifade edelim.
Tüm sayıların toplamına t diyelim. i numaralı tutuklu kendi dışındaki sayıları göreceğinden bu sayıya da \(s_{i} \) diyelim. Yani \(t = a_{i} + s_{i} \) eşitliği geçerli. i numaralı tutuklu toplamı kendi sayısı olan i-1 sayısına eşitlemeye çalıştığına göre yapacağı tahmin de \(i – 1 – s_{i} \mod{n}\) olacaktır. \(s_{i} = t – a_{i} \) olduğundan i numaralı tutuklunun tahminini \(i – 1 – t + a_{i} \mod{n}\) şeklinde yazabiliriz. Göstermek istediğimiz şey ise bu sayının en az bir i için \(a_{i} \) sayısına, yani i numaralı tutuklunun alnındakisayıya eşit olduğunu göstermek. Bu ifadeyi de yerine koyarsak aradığımız şeyin şu olduğu ortaya çıkar:
\(i – 1 – t + a_{i} – a_{i} \equiv{0} \mod{n}\)
Bunu da sadeleştirirsek
\(i – 1 – t \equiv{0} \mod{n}\)
denklemini buluruz. Burada t toplamı sabit bir sayı ve i sayısı da 1’den n’e kadar bütün tam sayılar. Dolayısıyla \(i – 1 – t \mod{n}\) ifadesi belli i değerleri için 0’dan n-1’e kadar bütün sayılara denk olacak. Yani bu denklemin 0’a denk olduğu bir i sayısı da vardır. Hatta tek bir i sayısı vardır. Yani her durum için sadece bir tutuklu doğru cevabı verecektir.
Bu çözüm pek konstruktif olmadı, bulması biraz deneme yanılma ve şansa dayalı oldu ama en azından bu çözümün ispatını verebildim.