Technoseum (Mannheim)

Yakınlarda bulunan çok sevdiğim bir müzedir Technoseum. Sevdiğim özelliklerinden birisi sadece teknik müzel değil, aynı zamanda bilimsel bir müze olmasıdır. Yani fizik alanında bazı temel deneyler de yapılabilir burada. Deneyleri çok sevdiğimden birkaç yılda bir bu müzeye giderim.

Geçen hafta sonu müzeye Ümit’le beraber gittim. Mannheim istasyonundan yürüme 25 dakika kadar mesafede ama 6A tramvay hattı müzenin çok yakınından geçiyor. Müzeye gitme amacım bir iki deney, oyun fikri elde etmek ve birkaç film çekmekti.

Müze turu en üst kattan başlıyor. Noel öncesi olduğundan çok kalabalık değildi müze ve şansa en üst katta yine karton modelcilerin sergisi vardı.

Sergideki bir kadından bu hobi üzerine bilgiler aldım. O gün sergilenen eserleri bu forum linkinde görebilirsiniz:

https://www.kartonbau.de/forum/thema/46925-kmb-2023-im-technoseum-mannheim/

Tarım araçlarının sergilendiği koridordan sonra ilk büyük salona geldik. Burada mekanik, optik ve astronomi alanlarında eserler ve deneyler sergileniyordu. Çektiğim bazı deney filmlerinin youtube linklerini buraya koydum. Girişteki ilk deney palanga ve makaralar üzerineydi. Bu deneyde gösterilen şey makara ve palanga sistemiyle bir ağırlığı daha az kuvvet uygulayarak hareket ettirmenin mümkün olması ama tabii ki hedef çocukların bunu ölçmesi değil sezmesi. Eğer ölçmeye kalkışılırsa yapılan işin değişmediği de (çünkü yükü aynı miktarda yukarı kaldırmak için daha çok ipin daha az kuvvetle çekilmesi gerekmekte) görülecek ama bu fikir çocuklar için hiç de ilginç bir şey değil. Zaten orada yük olarak kullanılan 20 kiloluk çuvallar da çocukların ilgisini kaçırmaya en baştan yetiyor. Buna karşın bu deneyin hemen yanıbaşındaki başka bir deneyde yük olarak çocuklar kullanılabiliyor ve çocuklar bunu çok seviyor.

Bir başka mekanik deneyi de sarkaçlardı. Bu deney düzeneğinde çocuklara sarkacın periyodunun neye bağlı olduğu soruluyordu. Seçenekler de sarkacı oluşturan ağırlık ve sarkacın uzunluğu. Deney masasında bir adet kronometre olmasına rağmen bozuk olduğundan bununla geçerli bir ölçüm yapmam kolay değildi. Ölçüm yapmak çocuklar için zaten eğlenceli olmadığından kimse bu kronometrenin eksikliğini de hissetmedi. Aşağıda dört kat yavaşlatılmış videoda sarkacın periyodunun ağırlığa değil de uzunluğa bağlı olduğunu görebiliriz.

İki adet optik deney istasyonu vardı. Birinde içbükey ve dışbükey merceklerle prizma, diğerinde de küçük aynalarla kompleks aynalar sistemi yapma imkanı vardı. Merceklerle normal ışık kullanılırken, aynalarla lazer kullanıldığından ayna deneylerinin sonuçları daha net görülüyordu. Çocuklar bu istasyonlarla da pek ilgilenmediler. Belki de bu istasyonlarda çok temel ve soyut özelliklerin gözlemlenmesinden ötürü ilgi daha azdı. Işığın izlediği yolu görmek güzel ama oluşan görüntünün daha küçük mü büyük mü olacağı hakkında bir fikir üretmeye yetmeyen bir görsellikti bu. Aynı salonda tarihi mikroskoplar, teleskoplar sergilenirken merceklerin bu özelliklerinin gösterilememesi bence büyük bir eksiklikti.

Dönen cisimlerle ilgili deneyler de benim hep ilgimi çekmiştir ama çocuklar bu alanda da çok seçici. Deney eğlenceli olmalı, yani çocukça bir şaşırtıcılığı olmalı. Aşağıda dönen cisimlerle ilgili çektiğim bazı videolar var. Benim ilgimi çekenler çocukları hiç ilgilendirmedi ve benim daha anlamsız bulduklarım (anlaşılması daha zor olanlar) çocukları kendilerine mıknatıs gibi çekebildi.

Bu konudaki ilk deney merkezkaç kuvvetinin dönen bir sıvıdaki gözlemiydi. Tahmin edersiniz ki bu çocukların çok hoşuna giden bir deneydi.

Bu da deneyden çok çocukları eğlendirmek için koyulmuş bir oyuncak. Burada olan şeyi çocuklara anlatmak hem mümkün değil hem de gereksiz. Çocukları tek rahatsız eden şey bence topların deliğe düşmek için çok uzun zamana ihtiyaç duyması. Çocuklar beklemeyi sevmiyor.

Çocukların çok beğendiği bir başka deney de doğrusal hareket eden cisimlerin döner bir tabla üzerinden geçerken gösterdiği davranışlardı. Çocuklar bu olayların ne demek olduklarıyla ilgilenmiyordu, sadece eğlenceli olup olmadığına bakıyorlardı.

Bir sonraki deney de aynı kütledeki ve benzer şekildeki iki cismin aynı yolu farklı zamanlarda alabilmesi üzerineydi. Kütlenin cisimlerdeki dağılımı cisimlerin hareketlerini etkileyebiliyor ama bu hiçbir çocuğun umrunda değildi.

Çocuklardan daha çok benim ilgimi çeken deneylerden birisi de açısal momentumun korunmasıyla ilgiliydi. Deneyin ana kahramanı dönen bir tekerlek. Tek başına hiç ilginç değil ama bu tekeri dönebilen bir tablanın üzerine koyduğumuzda ilginç şeyler olmaya başlıyor. Teker dönmeye başladıktan sonra tekerin yönünü değiştirdikçe üzerinde bulunduğu tabla da dönmeye başlıyor ve tekerin dönüş yönüne göre kendi dönüş yönünü de değiştiriyor. Bence bu çocuklar için büyük bir deney, yani çocuğa göre çok büyük bir aparat. Büyük ihtimalle çocuk o mesafede neler olduğunu doğru göremiyor.

En alt katta da elektrik ve manyetizma üzerine deneyler vardı. Burada sadece elektrikle lamba yakma deneyleri çocukların dikkatini çekti. Deney düzeneklerinde lambalar üzerinde düşen voltaj ve lambalardan geçen akımlar da gösteriliyordu ama bunlar çocuklar için hiçbir anlama gelmiyordu. Benim bu katta en çok ilgimi çeken deney düzeneği ise manyetik alan çizgilerini göstermek için kullanılan bir sürü mini pusuladan meydana gelen aparattı. Yalnız bu sefer fark ettim ki bu aparat da yeterli değildi. Manyetik alan çizgileri değiştiğinde insan tek tek pusulalara konsantre olabiliyor ama büyük resim o kadar çabuk görünmüyor maalesef. Bu deneyin daha etkili olması için görsel etkinin insan beyninde daha hızlı oluşturulması gerekecek gibi.

Müzenin en altında küçük bir odada herkesten saklı bu istasyon ise benim buraya asıl gelme nedenimdi. Bu bir sis odasıydı. Belli alkol ve hava dolu bir kapta yüklü taneciklerden oluşan radyasyonu izlemek için kullanılan bir aparat. Videodaki birkaç santimetre uzunluğundaki kısa kalın izler büyük ihtimalle alfa bozunumlarına işaret. Daha uzun ve ince izler de beta ışınımları (elektron ya da pozitron) olmalı.

Bunların dışında çocukların ilgilendiği deneylerden bazı fotoğraflar da çektim. Şimdi de biraz bunlardan bahsedeyim.

Bu statik deneyinde, küçük parçaları masa üzerinde işaretli yerlere yerleştirdikten sonra masanın arka tarafını yukarı kaldırınca bir köprü kurmaya çalışılıyor. Bu köprü yıkılmazsa problem çözülmüş oluyor.

Bu deneyde nehrin iki kenarını birleştiren bir köprü yapılmakta. Deneyin yanında bunun çözümünün matematiksel açıklaması da verilmiş ama çocuklar bununla hiç ilgilenmediler ve doğrudan deneysel bir çözüm arayışına girdiler.

Yine nehir üzerinde başka bir köprü kurma deneyi.

Basit elektrik deneyleri de çok ziyaretçi çekti.

Müzede sadece fizik deneyleri yoktu tabii ki ama bu yazı epey uzun olduğundan kalan kısmı başka yazılarda anlatmayı düşünüyorum.

Martingale (Olasılık deneyi)

Bu oyunda kumarbaz yazı tura oynamakta. Bilemediği zaman ortaya bir önceki turda koyduğu paranın iki katını koymakta. Böylece daha önceki turlarda kaybettiği parayı da kazanıp kara geçecek. Eninde sonunda kazanacağından kesin kazançlı bir sistem gibi görünüyor.

Bu deneyde problemi matematiksel analiz etmeyeceğim. Sadece programla oyunu oynayıp sonuçları sayacağım. Matematiksel analizleri ders kitaplarında ya da internette bulmak mümkündür.

experiment <- function() {
  number_of_experiments <- 1000;
  #counters <- c(constants_H = 0, constants_T = 0, gambler = 0, gambler_with_offset_1 = 0, gambler_with_offset_2 = 0,
  #              gambler_with_offset_3 = 0, random = 0);
  #scores <- c(constants_H = 0, constants_T = 0, gambler = 0, gambler_with_offset_1 = 0, gambler_with_offset_2 = 0,
  #            gambler_with_offset_3 = 0, random = 0);

  counters <- vector(length = number_of_experiments);
  for(i in 1:number_of_experiments) {

    number_of_trials <- 1;
    coin <- c('T', 'H')
    toss <- sample(coin, size = 1);
    while(toss != 'T') {
      number_of_trials <- number_of_trials + 1;
      toss <- sample(coin, size = 1);
    }
    counters[i] = number_of_trials;

  }
  print(sum(counters));
  print(max(counters));
}

Yukarıdaki R programıyla bu oyunu kısmen denemeye çalıştım. Kumarbaz her oyunda yazı gelene kadar oynuyor. Yani paranın her tura geldiğinde önceki turda koyduğu paranın iki katını koyuyor. Yazı geldiğinde kazanıyor. Bin kere oynandığında yazı gelene kadar kaç kere yazı tura atıldığını bir diziye koydum ve sonunda toplam yazı tura atışını ve arka arkaya en fazla kaç kere tura geldiğini ekrana yazdırdım. Sonuçlar şuna benzer çıktı.

Yazı gelene kadar gereken ortalama para atışı: 2
Yazı gelene kadar gereken maksimum para atışı: 11 

Bu sistemde ortalama para atışının çok düşük olması bu stratejiyi çok cazip yapsa da maksimum para atışı durumlarında kumarbaz başlangıçta koyduğu baranın en az bin katını oynamak zorunda kalacak ve bu bazen pek de mümkün olmayabilir. Özellikle bahisler için üst sınır koyulan yerlerde bu yöntem hiç işe yaramayabilir.

Monte Carlo yanılgısı (Kumarbaz yanılgısı)

Üniversitede elektronik okumak istiyordum, çünkü aklıma gelen her şey için elektronik devre yapabileceğimi hayal ediyordum. İlk yıllarda bölümün düşündüğüm gibi olmadığını anlayınca bir boşluğa düşmüş oldum. Ne yapabilirim diye düşünürken dördüncü sınıfta aldığım bir dersten sonra istediğim devrelerin çoğunu yazılımla yapabileceğimi farkettim. O andan itibaren tamamen yazılıma kaydım.

Zaman geçtikçe deneyler de ilgimi çekmeye başladı. İlginç bir şekilde okulda deneylere yatkındım ama tembeldim. Deney yapmayı okul hayatım bittikten sonra daha çok sevmeye başladım. Kimya, elektronik deneyleri için bodrumda laboratuvar bile kurdum.

Çok daha sonraları deneylere bilgisayarı da ekledim. Genelde veri toplama ve işleme için kullandım. Son zamanlarda simülasyonlar ve olasılık deneyleri için de programlar yazmaya başladım.

Bugün kumarbaz yanılgısını denemek istedim. Simülasyonda bir kumarbazımız var. Bu kumarbaz yazı tura oyunu oynuyor. Parayı attıktan sonra tahminde bulunuyor ve eski tahminleri de not alıyor. Merak ettiğim şey şuydu: Eğer kumarbaz kararını eski sonuçlara göre verirse rastgele bir karara göre nasıl bir ortalama tutturabilir? Daha iyi mi daha kötü mü?

Bunun için çeşitli stratejileri karşılaştırdım:

  1. Kumarbaz daha önce gelen sonuçları not alır ve eğer daha fazla tura gelmişse yazı, daha fazla yazı gelmişse tura der. Eğer eşit sayıda yazı ve tura gelmişse rastgele karar verir. Bunun da değişik türleri olabilir. Örneğin toplamlar arasındaki fark belli bir sayıdan büyükse bu şekilde davranır, fark küçükse rastgele cevap verebilir.
  2. Kumarbaz her yazı tura atışı için aynı cevabı verir. Hep yazı ya da hep tura.
  3. Kumarbaz her yazı tura atışı için rastgele bir cevap verir (Örneğin başka bir parayla yazı tura atar ve onun sonucunu söyler).

Çok daha farklı stratejiler de bulunabilir elbette ama hedeflerim sadece basit durumları denemek ve kolayca deney tasarlayabileceğim bir sistem kurmak olduğundan burada bıraktım. Şimdi kısaca deneyden ve sonuçlarından bahsedeyim.

Deney programını R dilinde yazdım. Her deney adımında 10000 yazı tura atıldı ve stratejiler doğru tahmin sayılarına göre birbirleriyle karşılaştırıldı. Kazanan strateji o tur için bir puan aldı, diğerleri ise sıfır. Eşitlik durumunda eşit skor alan stratejiler birer puan aldı. 1000 deney sonucunda her stratejinin puanı listelendi.

convert <- function(v) {
  if(v == 'T') {
    1
  } else {
    -1
  }
}

call <- function(v, offset) {
  if(v < -offset) {
    'T'
  } else if(v > offset) {
    'H'
  } else {
    if(sample(c(1, -1), size=1) == 1) {
      'T'
    } else {
      'H'
    }
  }
}

filter_max <- function(l) {
  which(sapply(l, function(x) l[1] %in% x));
}

experiment <- function() {
  number_of_experiments <- 1000;
  constants_H <- "constants_H";
  constants_T <- "constants_T";
  gambler <- "gambler";
  gambler_with_offset_1 <- "gambler_with_offset_1";
  gambler_with_offset_2 <- "gambler_with_offset_2";
  gambler_with_offset_3 <- "gambler_with_offset_3";
  random <- "random";
  counter_gambler <- 0;
  counter_random <- 0;
  counter_constant <- 0;
  counters <- c(constants_H = 0, constants_T = 0, gambler = 0, gambler_with_offset_1 = 0, gambler_with_offset_2 = 0,
                gambler_with_offset_3 = 0, random = 0);
  scores <- c(constants_H = 0, constants_T = 0, gambler = 0, gambler_with_offset_1 = 0, gambler_with_offset_2 = 0,
              gambler_with_offset_3 = 0, random = 0);
  for(i in 1:number_of_experiments) {
    number_of_trials <- 10000;
    coin <- c('T', 'H')
    coins <- sample(coin, size = number_of_trials, replace = TRUE);
    converted_coins = lapply(coins, convert);
    sums = cumsum(converted_coins);

    gambler_guesses = lapply(sums, call, offset = 0);
    gambler_guesses_1 = lapply(sums, call, offset = 1);
    gambler_guesses_2 = lapply(sums, call, offset = 2);
    gambler_guesses_3 = lapply(sums, call, offset = 3);
    random_guesses <- sample(coin, size = number_of_trials, replace = TRUE);
    constant_guesses_H <-sample(c('H'), size = number_of_trials, replace = TRUE)
    constant_guesses_T <-sample(c('T'), size = number_of_trials, replace = TRUE)

    scores[constants_T] = sum(constant_guesses_T == coins);
    scores[constants_H] = sum(constant_guesses_H == coins);
    scores[gambler] = sum(gambler_guesses == coins);
    scores[random] = sum(random_guesses == coins);
    scores[gambler_with_offset_1] = sum(gambler_guesses_1 == coins);
    scores[gambler_with_offset_2] = sum(gambler_guesses_2 == coins);
    scores[gambler_with_offset_3] = sum(gambler_guesses_3 == coins);
    sorted <- scores[order(unlist(scores), decreasing = TRUE)];
    maximum_values <- filter_max(sorted);
    for(x in maximum_values) {
      counters[names(maximum_values[x])] = counters[names(maximum_values[x])] + 1;
    }
  }
  print(counters);
}


Programın son hali bu ama ilk denememde sadece kumarbazın en basit stratejisiyle (daha fazla tura gelmişse yazı, daha fazla yazı gelmişse tura demek) rastgele karar verme stratejisini karşılaştırmıştım. Onun sonuçları ilk bakışta bir sürpriz olmuştu.

1000 deney sonucunda
Kumarbaz = 85
Rastgele = 916

Toplam 1000 deney yaptım ve kazanma toplamları 1000’den fazla olduğuna göre bir deneyde ikisi de eşit skor tutturmuş olmalı. Kumarbaz yanılgısı durumu bildiğim bir olaydı ama durumun ciddiyetinin bu derece olduğunu beklemiyordum. Bu arada küçük bir not da ekleyeyim, bu kavramı biliyordum dedim ama bunun hesaplarını daha önce hiç yapmadım. Bu deneylerin amacı da hesap yapmak değil sadece bu konu hakkında basitçe fikir sahibi olmaktı.

Sonra deneye bir de kumarbazın her zaman yazı dediği stratejiyi ekleyeyim dedim. Beklentim bu stratejini en az rastgele karar verme kadar iyi olması yönündeydi.

1000 deney sonucunda
Kumarbaz = 0
Rastgele = 504
Hep yazı= 502

Üç stratejinin yarıştığı durumda rastgele karar stratejisi kendisine gerçek bir rakip bulmuş gibiydi. Bu ortamda kumarbazın basit stratejisinin artık bir şansı yok gibi görünüyordu.

Sonra programda da yaptığım gibi bütün stratejilerin aynı anda yarıştığı bir deneme yaptım. Bu da sonuçları:

1000 deney sonucunda
Kumarbaz türevleri = 0
Rastgele = 271
Hep yazı = 385
Hep tura = 351

Görüldüğü gibi hep yazı ve hep tura oyunu eşit derecede domine etmeye başladılar. İkisinin de tek başına yaklaşık yüzde elli doğru tahminde bulunacağını beklemek normal bir durum. Diğer stratejiler bundan daha iyi skorlar elde edemeyecektir. Peki kumarbazın stratejisine yardım edilebilir mi? Eğer kumarbazın verdiği kararları biraz daha rastgeleleştirirsek daha iyi sonuçlar almasını beklemek çok da yanlış olmaz. Eğer hep rastgele karar verirse rastgele stratejiye yaklaşacaktır. O zaman rastgele karar verdiği aralığı (toplamlar arasındaki fark) büyüttüm ve bir iyileşme gördüm ama beklediğim hızda bir iyileşme olmadı bu.

1000 deney sonucunda
Kumarbaz (toplamlar arasındaki fark 50 ise rastgele) = 99
Rastgele = 223
Hep yazı = 351
Hep tura = 339

Bu kadar basit bir problem üzerine bu kadar çok deney tasarlanabilmesi hoşuma gitti. Bence deneyler de teoriler kadar önemli bir alan, bence deneyin sonucu teorinin sonucundan daha etkileyici ve şaşırtıcı.

Karton deyip geçmemeli

Şu sıralar grup teorisi üzerine bir matematik kitabı okuyorum. Daha en başlardayım. İlk örnekler geometrik şekillerin simetrileri ile ilgili. Yani kısaca, bir geometrik şekli bozmadan onu nasıl dönüştürebiliriz ki aynı başlangıçtaki pozisyonu alsın? Evet biliyorum, anlatmayı beceremedim. Şöyle bir örnekle tekrar deneyeyim.

Mesela elimizde bir kare var. Bu kareyi merkezi etrafında doksan derece döndürürsek yine aynı pozisyondaki bir kare elde ederiz, çünkü köşeler yine köşelerin üzerine gelir. Evet, her bir köşe bir sonrakinin üzerine gelir ama bu bizi rahatsız etmesin. Bu harekete döndürme diyelim. Peki bundan başka hangi simetrilerimiz var?

Bir kare köşegenleri çevresinde de simetrik gözükür değil mi? Yani köşegen üzerindeki köşeleri sabit tutup diğer iki köşeyi yer değiştirirsek yine bütün köşeler üstüste gelir. Bu harekete de çevirmek diyelim, yani şekli o köşegen etrafında çevirmek. Buna benzer iki simetri eksenimiz daha var ama. Onlar da karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrular oluyor. Karemizi bu eksenler etrafında çevirdiğimizde yine aynı kareyi elde ediyoruz.

O zaman bu iki temel işlemi yukarıdaki gibi genelce kullanabiliriz artık. Döndürme şekli bir nokta etrafında belli bir derece döndürme olsun. Çevirme de bu şekli bir doğru etrafında köşeler yine üstüste gelecek şekilde döndürmek olsun. Evet, hala aynı kelimeleri değişik şeylerde kullandığımın farkındayım ama artık nokta etrafında döndürmeye kısaca döndürme, doğru etrafında döndürmeye de çevirme diyeceğim.

Dün kitapta birkaç tane soruyla karşılaştım:

Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Geometrik şeyleri kafamda canlandırmayı pek beceremem. Kağıt kalemle de aklıma hemen bir şey gelmedi. Sonra zaten canım sıkkın, bari evde bir yerlere tıkıştırdığım malzemeleri kullanayım dedim. Kartonlardan düzgün çokgenler kesmeye başladım. Sonra bu kestiğim şekillerin köşelerini fotoğraftaki gibi numaralandırmaya başladığımda birden soruların çözümü kucağıma düştü.

Eşkenar üçgen, kare, eşkenar beşgen ve eşkenar altıgen

Fotoğrafta da görüldüğü gibi kartonların A yüzünde köşeleri saat yönünün tersinde artacak şekilde işaretlerim. Kartonun diğer yüzüne B dedim ve aynı köşeleri aynı sayılarla işaretledim. Bu durumda B yüzünde köşelerin numaraları saat yönünde artmakta.

Şimdi herhangi bir kartonu alalım ve döndürme işlemine bakalım. Örneğin B yüzü yukarıda olan eşkenar üçgen şeklini alalım. Eşkenar üçgende her bir döndürme altmış derecedir. Bu şekli hangi yönde altmış derece döndürürsek döndürelim köşe numaraları saat yönünde artıyor olacak. Aynı özellik diğer şekillerde de korunur sadece döndürme açısı farklı olacak. Karede doksan derece, eşkenar beşgende yüzsekiz derece ve düzgün altıgende de yüzyirmi derece döndürmek gerekecek.

Bir eksen etrafında çevirme işleminde ise kartonların yüzleri değişeceğinden köşelerin dizilimi de değişecek, yani çevirmeden önce saat yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünün tersinde artacaklar. Aynı şekilde çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünde artacaklar.

Bu bilgiler eşliğinde kitaptakı sorulara bakıncakitaptaki soruları çok kolay çözebildim ve de nedenini de anladım.

Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Varsayalım çevirmeden önce A yüzü yukarıda olsun. Demek ki çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artmaktaymış. Bir kere çevirdikten sonra köşeler saat yönünde artıyor olacak ve bir daha çevirince yine A yüzü yukarı gelecek ve köşe numaraları eskisi gibi saat yönünün tersi yönünde artıyor olacak. Köşelerin hangi konuma geldiklerinin bir önemi yok, bildiğimiz şey bu son şekil her durumda köşeler birbirlerine göre aynı dizilimi koruyacaklar. Sadece köşelerin ilk konuma göre bulundukları yerler farklı olabilir ama dizilimleri aynı olacak ve bu dizilim de başlangıçtaki konumdan bir döndürmeyle elde edilebilir.

Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Döndürme işlemleri köşe numaralarının artış yönlerini değiştirmemekte. Şekil de ayrıca deforme olmadığından her köşenin komşu köşeleri de aynı kalır. Dolayısıyla bir köşe döndürme yönünde başlangıçtan ne kadar uzaklaşmışsa diğer bütün köşeler de aynı yönde o kadar uzaklaşmış olur. Bu da toplamda başka bir döndürmeye eşdeğerdir.

Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Bu işlemlerde sadece bir çevirme olduğuna göre köşelerin numaralarının artış yönü tersine dönecek. Bu da ancak çevirme işlemi ile sağlanabilir. Peki bu iki işlem sonucunda oluşan her dizilim için bir çevirme var mı? Yukarıda da gördüğümüz gibi döndürme ve çevirme işlemleri köşelerin birbirlerine göre konumlarını hiç değiştirmiyor, yani şekilde bir deformasyon olmuyor. Köşelerin birbirlerine göre konumlarında bir değişiklik olmuyorsa toplamda köşe sayısı kadar olası dizilim vardır. Düzgün çokgenlerde de köşe sayısı kadar çevirme için simetri ekseni vardır. Her eksen farklı bir dizilim yaratıyorsa sorunumuz çözülmüş olur. Örneğin 1 numaralı köşeyi alalım ve sırayla bu çevirmelerin bu köşeyi farklı köşelere gönderdiğini görelim. Elimde kartonlar varken bunu görmek benim için daha da kolay. Eğer seçilen bir köşeyi herhangi bir köşeye gönderebiliyorsam, sıralamalar da korunduğuna göre her dizilim için bir çevirmek bulabiliriz demektir.

Üçgenin açıortayları (Geogebra)

Bu animasyonda geogebrada bir ABC üçgeni tanımladım ve her köşedeki iç açıortayları çizdirdim. Bu açıortaylar bir D noktasında kesiştiler. Üçgenin köşelerini hareket ettirip yeni üçgenler oluşturduğumda da açılar ve açıortayla değişse de her seferinde üçü de aynı noktada kesişmeye devam etti. İki doğrunun bir noktada kesişmesi çok normal ama belli bir özellikteki üç doğrunun her zaman aynı noktada kesişmesi bence ilginç bir durum. Bu noktanın başka bir özelliği var mı acaba?

Animasyon

Thales (Geogebra)

Çocuklar Thales teoremini öğrenirken bana nasıl oluyor diye sormuşlardı. Ben de lisede öğrendiğim gibi paralel doğrular, üçgenler beklerken birden karşıma çember çıkarmışlardı. Meğer Thales teoremi dedikleri bir çember üzerinde çizilen bir üçgenin bir kenarı çemberin bir çapıysa o üçgen diküçgendir teoremiymiş. Tabii ki ben bununla aynı anlama gelen bir çemberinin üzerinde çemberin bir çapını gören açı dikaçıdır teoremi biliyordum ama bunu Thales adıyla hatırlamıyordum.

Bu sefer de geogebrada bu teoremin animasyonunu yapmaya çalıştım. Kaydırma bileşeniyle çember üzerindeki C noktası kaydırılabiliyor ve her pozisyonda C açısının değeri ölçülüyor. Bu açının her zaman 90 derece olması teoremin de söylediği şeyin gözlemi oluyor.

Açıortay (Geogebra)

Bu animasyonda açıortaylarla oynamaya karar verdim. Yani verilen bir EAF açısını iki eşit açıya bölen AD doğrusunu çizdirdim. Daha sonra bu açıortay üzerinde bir D noktası aldım ve bu noktadan açının kolları üzerine düşen dikey DF ve DE doğrularını çizdirdim. Ardından geogebra’ya DE ve DF doğru parçalarının uzunluğunu ölçtürdüm. Ardından da bu D noktasını bir kaydırma bileşeniyle hareket ettirdim. Her yeni D noktası için geogebra DE ve DF uzunluklarını ölçüyor ve bu uzunluklar hep birbirine eşit oluyor. Bu deneyin hedefi de bunu göstermekti.

Bunu geometrik olarak görmek de kolay. ADE ve ADF diküçgenleri birbirine eşit olduklarından bu diker doğru parçalarının da uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.

Komşu bütünler açılar

Noel tatilinde Geogebra ile oynamaya devam ettim. Bir şeyi öğrenirken görsel ya da deneysel yaklaşım benim sıkça kullandığım bir yöntemdir. Bana uygun olması başkasına da uygun olacak demek değil ama. Bazı insanlar soyut kavramlarla çok rahat çalışırken de deneyler de çok başarısız olabiliyor. Bu yazıdaki animasyonda geometrideki çok temel bir konuyu görsel bir hale getirip bu görselliğin gerçekten işe yarayıp yaramadığına da bu deneyle bir bakmak istiyorum.

Bu basit animasyonda bütünler açılara bakacağım. Aslında geometrik bir konuyu görsel hale getirmek ne kadar gerekli ya da avantaj sağlar sorusu da sorulabilir öncelikle. Geometri zaten oldukça görsel bir alan değil mi? Elbette öyle ama geogebra ile çok kısa sürede çok fazla deney yapmak mümkün. Bu deneylerde belki dikkatimizi çekecek sonuçlar ya da davranışlar görebiliriz.

Animasyonda açı isimli kaydırma bileşenini kaydırdığımızda doğru C noktası etrafında o açı kadar döndürülüyor ve C noktası etrafında \(\alpha \) ve \(\beta \) açıları oluşuyor. Bu açıların büyüklükleri geogebra tarafından “ölçülüyor”. Aslında hesaplanıyor tabii ki ama bu animasyonda geogebranın rolü bu deneyde bizim iletki ile yapacağımız ölçüm işini yapmak olacak. Bu sayede deneyler hızlanacak.

Animasyona bir de \(\delta = \alpha + \beta \) hesaplamasini ekledim. Bu da bu deneyde aslında dikkatimizi çekmesi gereken özellik. Açı değerini değiştirdikçe bu toplamın değişmediğini görmemiz lazım. Bu özellik ayrıca bütünler açı kavramının da kendisi oluyor.

“Eğer birbirinin bütünleri olan iki açı komşu ise (yani köşeleri ve bir kolları ortak) ortak olmayan kolları bir doğrudur” (wikipedia)

Buraya kadar her şey normal gözüküyor ama ufak bir iki nokta daha var. Örneğin geogebra’nın bu açıları ölçmesine güvenebilir miyiz? Tabii ki yukarıda da dediğim gibi geogebra bu açıları ölçmüyor, hesaplıyor. Öğrenme aşamasındaki bir kişi için bu yeterince güvenilir olacak mı acaba? Peki aynı şekilde bu deneyleri kağıt, kalem ve iletkiyle yapsaydık bu sefer iletkiye güvenecek miydik? O da çok duyarlı ölçümler yapamıyor. Zaten çizdiğimiz doğrular da matematikteki doğru tanımına uyan nesneler değil.

Aslında bu soruyu soyut bir şekilde işlemek büyük ihtimalle çok daha basit bir öğrenme yöntemi ama yine de herkes aynı şekilde aynı kolaylıkla öğrenecek diye bir şart yok. Belki de bu durumda deneysel ve güven tabanlı öğrenmeyi yeğleyecek insanlar vardır. Geogebra bu tür insanlar için oldukça iyi bir araç.

Alev renkleri

Evet sonunda bu deneyi yapmayı başardım. Deneyin amacı değişik elementlerin oldukça sıcak derecelerde değişik renkler çıkarması. Yüksek sıcaklık elde etmek için piyasada satılan basit bunsen ocaklarından bir tane aldım. Ondan sonra elementleri ve bu elementleri ocağın ateşinde tutabilecek malzemelere baktım.

Ateşte tutmak için en çok kullanılan malzemeler platin ya da magnezyum oksit çubuklar. Platin çubuklar çok daha pahalı olduğu için magnezyum oksit çubuk çözümüne yöneldim. Bu çubukların bazı özellikleri sağlıyor tabii ki. Örneğin bunsen ocağının eriştiği sıcaklıkta erimemeleri lazım. Kendileri o sıcaklıkta değişik bir alev rengi üretip deneyi etkilememeleri lazım ve de elimizi yakmadan bunları tutabilmemiz lazım. Neyse ki magnezyum oksit çubuklar bütün bu özellikleri sağladı.

Sıradaki sorun ise kullanacağım elementlerdi. Bu elementlerin bazıları saf halinde satılmıyor burada. Bu durumda bu elementlerin tuzlarını almam gerekti. Tuzları içinde de en avantajlı olanlar klorürlerdi. Karbonatlar ve sülfatlarla pek başarılı olamamıştım.

Aşağıda şimdiye kadar yaptığım lityum klorür ve potasyum klorür deneylerini görebilirsiniz. Renklerin ne kadar farklı olduğu açıkça görünüyor. Havayi fişeklere değişik renkleri veren yöntem de orada kullanılan elementlerin ya da tuzların bu özelliği.

Lityum
Potasyum

Umarım bu seriye başka elementlerle devam etmenin yolunu da bulurum.

Egzotermik reaksiyon

Egzotermik tepkimelerde çevreye enerji verilir. Bu deneyde çevreye verilen enerjiyi yine Arduino’ya bağlı bir termometre (DS 18B20 sensörüyle) ile gözlemeye çalıştım. Bu basit deneyde 50 ml kadar suya epey toz deterjan ekledim. Aşağıda sıcaklığın değişim grafiğini görüyorsunuz.

Toz deterjanın suda çözünmesi tepkimesinin zamana karşı sıcaklık grafiği

Sıcaklığın hızlı yükselmeye başladığı noktada deterjanı suya döktüm. Sıcaklık iki dakikada yaklaşık 4 derece yükseldi. Ondan sonra yükselme devam ettiyse de yükselişin hızı azaldı.