Evet, bu yazıda ortaokuldan beri bildiğimiz bir doğru denklemi üzerine bir şeyler anlatacağım. \(a\cdot x + b \cdot y = c \) Hayır, bulduğum yeni bir şey yok. Sadece bu hafta içinde bu doğru ile benim aramda geçen şeylerden bahsedeceğim.
Bütün okul hayatım boyunca matematik hep merkeze yakın bir yerde oldu. Matematikçi olmadım ama mühendis oldum. Bu doğru denklemiyle ortaokuldan beri haşır neşirim. Peki bu doğruyla ilgili neler biliyordum?
Ortaokuldan beri bunun bir doğru denklemi olduğunu biliyorum. Hatta biraz uğraşırsam, yani beş on saniye içinde bu doğrunun eğimi ile x ile y koordinatlarını kestiği noktaları kafadan bile hesaplayabileceğimi biliyorum.
Hadi bu iddialarımı bir deneyeyim.
x’li terimi eşitliğin öbür tarafına atıp iki tarafı b’ye bölersem
\(a \cdot x + b \cdot y = c \)
\(b \cdot y = c – a \cdot x \)
\(y = \frac{c}{b} – \frac{a}{b} \cdot x \)
O zaman da eğim x teriminin katsayısı olan \(– \frac {a}{b} \) demektir. Pozitif a ve b katsayıları için eğim negatifmiş. Yani doğru sol üst taraftan sağ alt tarafa doğru gidiyormuş. Eğimle ilgili hemen kafadan hesaplayabildiğim ve hatırladığım şeyler bu kadar.
Peki bu doğru x ve y koordinatlarını nerede keser? Bunu da kafadan çözmek çok kolay. x eksenini kestiği yeri bulmak için y yerine 0 değerini koyup x değerini bulurum.
\(a \cdot x + b \cdot 0= c \)
\(a \cdot x = c \)
\(x = \frac {c}{a} \)
y eksenini kestiği yer için de x yerine 0 koyup denklemi y için çözerim.
\(a\cdot 0 + b \cdot y = c\)
\(b \cdot y = c \)
\(y = \frac{c}{b} \)
Bu kadar basit. Hatta yine a, b ve c katsayılarının pozitif olduğunu varsayarsak eksenlerin kesildiği noktaların da pozitif olduğunu görürüz ve bu da doğru üzerindeki bir noktanın y ekseninin pozitif tarafında, diğer başka bir noktanın da x ekseninin pozitif tarafında olduğunu söyler ve bu şekilde de doğrunun sol üstten sağ alta doğru gittiğini görebiliriz. Bu da eğimin negatif olduğunu söyler.
Sanırım bu haftaya kadar bu doğrunun sadece bu özellikleriyle ilgilendim. Aslında bu doğrunun daha başka bir özelliği de yoktur heralde, çünkü bu bilgilerle diğer her şey çıkarılabilir. Benim bahsetmek istediğim bu doğrunun benim için başka hiçbir şey çağrıştırmamasıydı. Bütün özelliklerini kolayca hesaplayabildiğim basit bir matematiksel nesne. Bu kadar.
Bu hafta kendi kendime okuduğum bir ekonomi kitabında bütçe ve bu bütçeye göre iki ürün arasından nasıl seçimler yapılabileceği anlatılıyordu. Tabii ki ürünlerin birbirinin yerine geçip geçemediği filan gibi durumlar da seçimde önemli ama en basit durum olarak bir kişinin belli bir bütçeyi bu ürünlere nasıl dağıtabileceği genel olarak ifade edilebilir.
Örneğin ürünlerin birinin birim fiyatına \(p_x\) diyelim. Bu üründen x adet alırsak bunun için toplam \(p_x \cdot x \) harcamış oluruz. Aynı şekilde diğer ürünün birim fiyatına \(p_y \) dersek, bu üründen y miktarda alırsak bunun için de toplam \(p_y \cdot y \) harcamış oluruz. Eğer tüm bütçemiz b ise ve bu bütçeyi bu şekilde iki ürüne dağıtırsak ürünler için yaptığımız harcamaların toplamı b olacaktır. Bunu bir denklem şeklinde yazarsak da
\(p_x \cdot x + p_y \cdot y = b \) denklemini elde ederiz. Biraz dikkatli baktığımızda bu denklemin yazının başında bahsettiğim denklemle aynı olduğunu görebiliriz. denklemdeki bütün katsayılar da yukarıda varsaydığım gibi pozitif, yani eğimler ve eksenlerle kesişim noktaları da aynı yukarıdaki analizdeki gibi kolayca görülebilir.
Buraya kadar yeni bir şey yoktu. Kitaptaki benim için ilginç işlemler tabii ki fiyatlar ve bütçedeki değişikliklerle başladı. bir ürünün fiyatı artarsa bu doğru nasıl değişir? Bütçe azalırsa doğru nasıl hareket eder? Bu soruları tabii ki cebirle bulmak zor değil ama kafamda oluşmuş bir sezginin olmadığını farkettim. Belki bütçe için bir şey diyebilirdim ama o da biraz düşündükten sonra. Denklemdeki bütçe terimi olan b büyürse yeni doğrunun eğimi de değişmeyecektir. Çünkü eğim sadece diğer iki sabite bağlı. Bu durumda doğru sadece paralel olarak kaydırılacak ama ne tarafa? Bütçe arttığına göre iki üründen de daha fazla alınabilecek, o zaman sağa ve yukarıya doğru paralel kayacak. Evet, görüldüğü gibi mantıkla bunları bulmak kolay ama bende bu his henüz otomatikleşmemiş. Peki x ürününün fiyatı azalırsa doğru ne tür bir hareket yapar sorusuna bakalım. x ürününü fiyatı azalırsa o üründen daha çok alınabilir, yani miktarı artar. Bu da doğrunun x eksenini kesen noktasının sağa doğru hareket etmesi demek. Peki bu sırada doğrunun y eksenini kesen noktasının hareketi nasıl olur? Yazının ilk başında yaptığım analize bir göz atarsak ve bu analizi aynen bütçe doğrusuna uygularsak, bu noktanın sadece bütçeye ve y ürününün fiyatına bağlı olduğunu görürüz. O zaman o nokta hiç hareket etmeyecek. Yani doğrumuz y eksenini kesen nokta etrafında saat yönünün tersi yönünde dönecek. Matematikle bu sonuçları hala kolayca bulabiliyordum ama hayatım boyunca bu doğruya bu soruları sormadığımdan cevaplar ilk başta biraz yabancı geliyordu.
Bu fikirlerle ya da sorularla daha kolay oynayabilmek için bu denklemi geogebra’da yazdım ve parametreleri kaydırarak değişimi anında görsel bir şekle çevirdim. Bu yöntem kağıt kalemle bu işi defalarca yapmaktan daha iyi mi değil mi bilmiyorum. Belki kişiden kişiye göre de değişiyordur ama merak edenler için linki buraya koyuyorum.