Basit sayılar (Çözüm)

Soru

Ben soruyu çarpma işlemini tersten yaparak çözmeye çalıştım. Yani 14 ile bir sayıyı çarparak bir basit sayı bulmayı denedim. Şimdiden bu yöntemin bu bilmece için en iyi yöntem olmadığını söyleyeyim. Çok daha hoş bir çözümü yazının sonunda vereceğim.

xxxxxxxx

14

x__________

basit sayı

Basit sayı sıfır ya da bir rakamlarından oluştuğuna göre birler basamağı bir ya da sıfır olabilir ama aradığımız sayı 14’e kalansız bölündüğünden birler basamağı 0 olmalı, çünkü 14’e kalansız bölünen bir sayı çift olmalı. Bu durumda çarpma işleminde kullandığım sayının birler basamağı 0 ya da 5 olabilir. 0 ihtimali aradığım sayıyı sadece bir basamak büyüteceğinden (10 kat yani) bu ihtimali eleyip 5 ile başladım.

xxxxxxx5

14

x__________

………0  (onlar basamağı için elde var 2)

Şimdi çarpma işlemindeki sayının onlar basamağı öyle bir rakam olmalı ki 4x + 5 + 2 ya 0 ya da 1 sonucunu vermeli. 4x + 5, 1 ve 4 basamaklarıyla bu sayıyı çarpmaktan geliyor, 2 de elde vardı. 4x + 7 sayısı her zaman çift olduğundan bu sonucun birler basamağı 1 olacak şekilde bir x sayısı aradım. Sonuç olarak x ya 1 (4x+ 7 = 11) ya da 6 (4x + 7 = 31) olabiliyor.

Hangisini seçeceğimi bilmediğimden 1 ile devam ettim.

xxxxxx15

14

x__________

10  (Elde var 1)

Sırada yüzler basamağı var. Bu sefer 4x + 1 + 1 işleminin birler basamağı 0 ya da 1 olmalı. 4x + 2 çift sayı olduğundan sonuç 0 olmalı. Bunun çözümü olarak x değeri ya 2 (4x + 2 = 10) ya da 7 (4x + 2 = 30) oluyor.

7 rakamını seçince

xxxxx715

14

x__________

10010

gibi bir sonuca ulaşılıyor. Burada işleme daha devam etmeye gerek yok, çünkü elde ettiğimiz sayı bir basit sayı ve işleme devam etmek bu sayıyı sadece büyütecektir. Tabii ki bu adıma gelene kadar iki kere iki ihtimalden birini seçtim, yani diğer seçimler başka sayılar üretecekti. Bu garip çözüm yolu daha da uzamasın diye sadece diğer yolların daha büyük sayılar ürettiğini söyleyeceğim ve işlemleri yapmayacağım. Merak edenler diğer seçimleri deneyebilir.

Ben bu çarpma işlemleriyle boğuşurken kuzenim oldukça güzel bir çözüm yolu kullandı. Yediye bölünme kurallarından yola çıkarak şöyle bir sayı dizisi kullandı.

… 5  4  6  2  3  1

Bu sayı dizisi sağdan başlayarak kullanılıyor ve aradığımız sayının 7’ye bölünüp bölünmediğini belirlemek içinkullanılıyor. Elimizdeki sayının basamaklarını bu dizinin basamaklarıyla çarpıp topluyoruz ve sonuç 7’nin bir katıysa sayımız 7’ye bölünüyordur. 14’e kalansız bölünmek demek hem 7’ye hem de 2’ye bölünmek demek olduğundan problemimiz için de kullanılabilir. Ayrıca elimizdeki sayı sadece 0 ve 1 rakamlarından ibaret olduğundan çarpma işlemine de gerek yok, sadece toplama yeterli olacaktır.

Bu dizinin üretilmesi de kolay. Sağdan 1 ile başlıyoruz. Bir sonraki (sola doğru) basamak onlar basamağı olduğundan 10 sayısının 7 ile bölümünden kalanı (3) alıyoruz. Bir sonraki basamak yüzler basamağı, bunun için de 100 sayısının 7 ile bölümünden kalanı (2) alıyoruz. Bu şekilde sola doğru gittikçe 1000, 10000, 100000 şeklinde basamak değerlerini artırıp hep 7 ile bölümden kalanı dizimize ekliyoruz.

Şimdi yukarıdaki diziyi kullanalım. Birler basamağı 14’e bölünme nedeniyle sıfır olmalı, çünkü sayımız çift. Bundan başka bütün basamaklarımız ya sıfır ya bir olduğundan sağdan başlayıp toplamı 7 eden en kısa alt diziyi bulmamız lazım. Dizimizin ilk elemanı birler basamağına ve bunun değeri olan 0’a karşılık geldiğinden ikinci basamağı alalım. Bu basamak 1 olsun. Sonra diğer basamakları toplayarak bu sayının ne zaman 7’ye bölündüğüne bakalım. Dizinin topladığımız elemanları aradığımız sayıda basamakları 1 olan sayılar. Atladığımız elemanlar 0 değerlerine karşılık geliyor.

[table id=11 /]

Bu tabloyu oluştururken birinci sütunda dizinin bir alt kümesini topladım. Yanındaki sütuna bu alt kümenin karşılık geldiği basit sayıyı yazdım ve son sütuna da alt dizi toplamının 7’ye bölünüp bölünmediğini yazdım. Son sütun aynı zamanda orta sütundaki basit sayının 7’ye bölünüp bölünmediğini de söylemekte. Bu durumda 7’ye bölünen en küçük sayıyı bu tablodan seçmek çok kolay: 10010.

Bölünme kuralının anlaşılması ilk anda biraz zor olsa da diğer çarpma yönteminden çok daha kolay ve hızlı olduğu açıktır.

Son olarak bir başka yöntem olarak verilen kurala uygun basit sayıları üretip bunları 7’ye bölmeyi de deneyebiliriz.

 

Bir yanıt yazın