Çocuklar birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemleri öğreniyorlar. Daha doğrusu tekrar ediyorlar. Ne de olsa geçen yılın konusuydu. Örnek olarak
\(3\cdot{x} + 5 = 11 \)
eşitliğine bakalım. Hangi \(x\) değerlerinin bu eşitliği sağladığını bulmaya çalışıyoruz. Bu denklemlerin nasıl çözüldüğünden bahsetmeyeceğim ama. Bu seferki sorunumuz farklıydı. Sınavlarda denklemi çözün ve sonucu kontrol edin şeklinde sorular soruluyordu artık. Bu soru türünü seviyorum. Tabii ki çocuklar kontrol için zaman harcamak zorunda olduklarından bu adımı hiç sevmiyorlar. Gerçek hayattaki, projelerdeki hesapların bu kadar kısa olmadığını, bir hatayı ne kadar geç fark ederlerse onu düzeltmenin o kadar masraflı olacağı gibi tecrübeleri bu yaştaki çocuklara anlatma çabalarım da bir sonuç vermeyince kolaya kaçtım ve sonucu kontrol etmezseniz hoca puan kırar diye kestirip attım.
Çocuklar tabii ki biraz konunun yeni olmasından biraz da tembellikten bu kontrolü nasıl yapacaklarını sordular. “Çok kolay, bulduğunuz sonucu \(x\) değişkeninin yerine koyacaksınız ve eşitlik sağlanıyor mu diye bakacaksınız” dedim. Ve durdum. Bu kadar kolay değildi tabii. “Neyse sırayla gidelim bari” diye düşündüm. Soruların çoğu yukarıdaki örnekteki gibi tek çözümlü olacağından önce bu yöntemi ele aldık.
\(3\cdot{x} + 5 = 11 \)
Bu eşitliği çözersek \(S=\left\{ {2}\right\} \) çözüm kümesini buluruz. Bu kümenin tek elemanı 2 sayısıdır. Şimdi bu çözümü yerine koyduğumuzda eşitlik sağlanıyorsa doğru yapmışızdır.
\(3\cdot{2} + 5 = 6 + 5 = 11 \)
Demek ki çözümümüz doğruymuş.
Bu kontrolü çocuklar anladı ama benim içime sinmedi aslında. Büyük resme uymuyordu ama bir yerde kesmem gerekiyordu. Çocuklar bu denklemlerin bir çözümünün olduğunu varsayıyordu ve bu nedenle bu yöntem çok yeterli ve mantıklı geliyordu. Ben de bu aşamada kafamdaki asıl sorunlara girmekten kaçamayacağımı düşünüp devam ettim.
“Bu denklemlerin çözüm kümesinde bazen birden fazla eleman olur. Doğruyu söylemek gerekirse böyle durumda sonsuz tane çözüm vardır. Hatta bütün sayılar bu eşitliği sağlar.”
Tabii ki bunu nasıl anlayacaklarını sordular. “Eğlence (!) başlıyor” dedim.
“Örneğin şu denklemi alalım.”
\(3\cdot{x} + 5 =3\cdot{x} + 5 \)
“Çözün bakalım bu denklemi.”
Bir süre sonra \(0=0 \) sonucuna ulaştılar. Bu sonucun ne demek olduğunu sorduğumda da her türlü cevabı aldım.
“Çözüm 0’dır”
“Çözüm yoktur”
“Soru yanlış”
“Bütün sayılar çözümdür”
Bu karmaşayı duyunca önce sorumu daha farklı sormaya çalıştım. “Bu sonuç doğru mu yanlış mı?”. Tabii ki doğru dediler. “Peki son eşitlikte değişken nerede?”. Cevap tabii ki “yok” oldu. “Yani bu eşitlik değişken ne olursa olsun doğru”. Bu mantık yürütmeden çözüm kümesinin bütün sayılardan oluşmasına geçiş kolay olmadı. Belki yardımı olur diye denklemi çözerken son adım olarak aşağıdaki sonucu gösterdim.
\(x=x \)
Bir değişken her zaman kendine eşit olacağından çözüm kümesinin bütün sayıları içereceğini görmelerini umuyordum ama yine olmadı. Belki zamanla oturur diyerek bunu kural olarak anlattım ve asıl soruna geldim. Peki bu çözüm nasıl kontrol edilir?
Bütün sayıların eşitliği sağladığını bulduğumuza göre herhangi birini alıp denklemde yerine koyabiliriz. Peki hangisini almalı? Önemli bir soru, çünkü çocuklara anlatması da kolay olmalı. “Hangisini alırsan al” diyebilirdim ama ya çocuk 234893176 sayısını almaya kalkarsa? “En iyisi 0 sayısını al” dedim tabii ki.
Peki tek bir sayı almak yeterli mi? Ya denklemin tek bir çözümü vardı ve biz tesadüfen o çözümü denediysek? Bu nedenle çocuklara bu tür bir çözüm çıktığında iki değişik sayı ile denemelerini söyledim. Mesela 0 ve 1 ile. Eğer iki sayı ile de eşitlik sağlanıyorsa bu eşitlik her sayı ile sağlanacaktır.
Bu aşamayı da geçtim diyerek bir sonraki olasılığa geldim. Eğer denklemimizin hiçbir çözümü yoksa ne yapacağız? Daha da önemlisi denklemin hiçbir çözümünün olmadığını çocuklar nasıl anlayacak? Tabii ki çözerken yanlış bir sonuca, bir çelişkiye ulaşarak anlayacaklar. Bunun için de örnekler verdim:
\(1=2 \)
“Bu doğru mu yanlış mı?” diye sorduğumda neyse ki yanlıştır dediler. “İşte bu durumda bu denklemin çözümü yoktur” dedim. Sonuçta bulduğumuz şey yanlış bir ifade ve değişkenden de bağımsız. Demek ki değişkenin değeri ne olursa olsun bu eşitlik doğru olamaz. Tabii ki çocuklar bu ifadelere karşı da direnç gösterdi. Başka örnekler de vermek zorunda kaldım, çünkü çözüm sırasında çocuğun hangi sonuca ulaşacağını kestirmek kolay iş değil. Ayrıca ne kadar çok şey görürse o kadar iyi ve daha az sürpriz olur diye düşündüm.
\(x=x + 1 \)
“Bu da yanlış bir ifade. Bir sayı kendisinden daha büyük bir sayıya eşit olamaz”. Bunu da anladılar.
\(x=2\cdot{x} \)
“Bu ifade yanlış değil ama. Bunun çözümü vardır ve 0’dır. Bu tür şeylere dikkat edin”
Bu örnekleri verirken bir sonraki sorunun cevabını da düşünmeye çalışıyordum. Eğer denklemi çözerken sonuç olarak yanlış bir ifadeye ulaşırsak, yani denklemin çözümünün olmadığına inanıyorsak, bu sonucu nasıl kontrol ederiz? Hiçbir sayının bu denklemi sağlamadığını göstermek kolay bir iş değil. Sonsuz tane sayı denemek öğretici olabilir ama mantıklı bir hareket olmayacaktır. Peki kaç tane deneme gerekecek? İyice yorulduğumdan ve bunun iyi bir çözümünü bulamadığımdan “bir tane sayı deneseniz yeter” dedim. “En azından soruda istenen şeyi yapmış olursunuz, işe yaramasa da.”
Tam masadan kalkmak üzereydim ki çocuklardan günün sorusu geldi. Peki ya kontrolde yanlış bir sonuç çıkarsa? Yani eşitliği sağlaması beklenen sayı eşitliği sağlamadıysa, ya da eşitliğin sağlanmayacağını düşündüğümüz sayı birden eşitliği sağladıysa ne yapacağız? Kontrolü yeniden mi yapmak lazım?
Bu durumda hata ya çözümdedir ya da kontroldedir (ya da ikisinde birden). Hangi aşamada hata yapılmış olma ihtimali daha yüksekse, o işlem yeniden yapılmalıdır. Buna kendilerinin karar vermelerini söyledim. Ben genelde önce kontrolü tekrar yaparım, çünkü kontrolün bana yanlış yaptın demesine ilk anda pek inanmam. Psikolojik bir durum heralde. İkinci kez aynı sürprizle karşılaşırsam çözümümü tekrarlarım. Bunları çocuklara anlattım, umarım onlar da zamanla kendilerine uygun bir yöntemi benimserler.
Çocuklarla ders bitti sonra ama düşünmeler bitmedi tabii ki. Mesela, eğer denklemin tek çözümü var şeklinde bir sonuç bulduysak kontrolde sadece bu sayıyı kullanmak yeterli midir?
Kontrol kolayca yapılabiliyorsa bir başka sayı daha kontrol etmek iyi olabilir. Böylece bazı ihtimalleri yakalayabiliriz. Çözümü yanlış yaptıysak ve çözüm kümesi bütün sayıları içeriyorsa bu fazladan kontrolle bir terslik olduğunu bulabiliriz.
Tabii yukarıda çeşitli durumlarda önerdiğim fazladan kontroller, kontrolün kolay ve güvenilir yapıldığı durumlarda işe yarayacaktır. Eğer kontrol de zor bir işlemse (yani hata ihtimali yüksek ya da masraflı ise) fazladan adım sadece başarı şansını azaltacaktır.