Doğrudan karşılıklılık

Evrimsel oyun teorisi kitabında bir sonraki konu karşılıklılık konusuydu. Cevap aranan soru anladığım kadarıyla şöyleydi: Oyun teorisi karşımızdakine ihanet etmemiz gerekir derken, toplum için daha iyi çözümler olan kooperasyon stratejilerine gerçek hayatta hangi mekanizmalarla erişebiliyoruz?

Martin Nowak bu soruya cevap veren beş adet mekanizma bulmuş. Kitap bu konuya kısaca değindiğinden bu konuyu Christine Taylor ve Martin Nowak’ın “Transforming the dilemma” başlıklı makalesinden öğrenmeye karar verdim.

Makalede ilk mekanizma olarak doğrudan karşılıklılık mekanizmasından bahsediliyor. Toplumlarda ikilemlere dayalı oyunlar oynanırken sonsuz büyüklükte bir toplumda herkesin rastgele kişilerle oyunlar oynadığını varsaymıştık. Gerçek hayatta ise bu oyunlar değişik şekilde oynanıyor. Örneğin bu mekanizmada olduğu gibi aynı kişiler aynı oyunu birbirleriyle defalarca oynayabiliyor. Bu durumda ikisi de diğer oyuncunun daha önce hangi stratejileri kullandığını biliyor ve kendi stratejilerini buna göre güncelleyebiliyor.

Bu mekanizmada iki oyuncu arasındaki karşılaşmadan sonra \(\omega \) olasılıkla tekrar karşılaşma oluyor. Bu durumda iki oyuncu arasında ortalama karşılaşma sayısı da \(\frac{1}{1 – \omega} \) formülüyle hesaplanabilir. İki oyuncunun karşılaşma kuralları şöyle:

İki oyuncu da işbirlikçiyse o zaman ikisi de işbirlikçi kalır. İhanet stratejisini seçen her zaman ihanet stratejisini uygular. İşbirlikçi ihanet stratejisi kullanan oyuncuyla karşılaştığında ikinci karşılaşmadan itibaren ihanet stratejisi kullanmaya başlar.

Bu durumda payoff matrisi aşağıdaki şekle dönüşür:

\(M = \begin{bmatrix} \frac {R}{1-\omega}&&S+\frac{\omega \cdot P}{1 – \omega}\\T+\frac{\omega \cdot P}{1 – \omega}&&\frac{P}{1-\omega} \end{bmatrix} \)

Aşağıdaki programla \(\omega \) değişkeninin etkisini denemeye çalıştım. Aslında bu değişkenle matrisin elemanları ve dolayısıyla elemanlar arasındaki ilişkiler değişeceğinden bu ikilemin başka bir oyun tipine dönüşmesini beklemek çok normal. Aslında bunu daha iyi görmek için oyuncuların karşılaşmalarını tek tek simüle edip aynı sonuca yaklaştığını göstermek lazım ama bu denemeleri ilerideki yazılarda yapmak istiyorum. Makalede bu dönüşüm için bir eşitsizlik veriliyor:

\(\omega > \frac{T-R}{T-P} \)

Eğer eşitsizlik sağlanmıyorsa ihanet eden strateji her durumda popülasyonu domine ediyor. Eğer eşitsizlik sağlanıyorsa işbirlikçi strateji de evrimsel açıdan kararlı bir durum olabiliyor. \(\omega \) değeri büyüdükçe, yani oyuncular arasındaki karşılaşma sayısı arttıkça işbirlikçi strateji de daha dominant olmaya başlıyor. Bu sonuçları denemek için aşağıdaki python programını kullandım:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

strategies = np.array([[1, 0], [0, 1]])

R = 5
S = 1
T = 7
P = 3
omega = 0.60
prisoner_dilemma_payoff = np.array([[R/(1-omega), S + (omega*P)/(1 - omega)], [T + (omega*P)/(1-omega), P/(1-omega)]])

number_of_iterations = 100

payoff = prisoner_dilemma_payoff

increment = 0.01
steady_states = np.array([[0, 0]])


for s1 in np.arange(0, 1.0, increment):
    s2 = 1 - s1
    species = np.array([s1, s2])

    for i in range(0, number_of_iterations):

        difference = (strategies.dot(payoff).dot(species) - species.dot(payoff).dot(species))*species
        species = species + difference
        species = np.clip(species, 0, 1)
        
    steady_states = np.append(steady_states, np.array([[s1, species[0]]]), axis = 0)

plt.plot(steady_states[:, 0], steady_states[:, 1])
plt.ylabel("1. türün sondaki oranı")
plt.xlabel("1. türün başlangıçtaki oranı")
plt.show()

\(\omega = 0.6 \) değeri için aşağıdaki sonucu aldım

Programdaki R, S, T ve P değerlerini eşitsizlikte yerlerine koyduğumda

\(\omega > \frac{7 – 5}{7 – 3} = \frac {2}{4} = 0.5 \)

eşitsizliğini buluyoruz. Bu eşitsizliği sınıra yakın bir yerde denemek istedim.

\(\omega = 0.51\) değeri için şu grafiği elde ettim.

Eşitsizliğin söylediğinin aksine hiçbir durumda işbirlikçi stratejisi kararlı olamadı. Belki de programda küçük bir hata yapmışımdır. Bunu da incelemem lazım.

Eğer \(\omega \) değeri bire yaklaşırsa oyuncular arasında karşılaşma sayısı da artar. Bu durumda grafiğin nasıl olduğuna da bakmak istedim.

Gerçekten de hemen hemen her başlangıç durumu için işbirlikçi strateji kararlı bir strateji oldu.