Geçen hafta salı akşamı eve geldiğimde Ümit matematik ödeviyle beni bekliyordu. Soruda istenen şey verilen kesirli sayıları sayı doğrusu üzerinde bulmaktı. Sayı doğrusu üzerinde 0 ile 1 arasının 10 eşit bölmeye ayrılmasını da istiyordu ama bu sadece bulunan noktanın konumunu daha iyi görebilmek içindi, çünkü verilen kesirler genelde onluk düzende sonlu basamakla gösterilebilen sayılar değildi. Verilen kesirli sayılardan ilki \(\frac{2}{3} \) idi.
Ondalık sayılarla bölme işlemi çok avantajlı gözükmedi ilk anda. Ümit’in bu sayıları derste görüp görmediğini anlamak bile zordu. Ders kitabını biraz karıştırmaya başladım. Kesirler ve sayı doğrularıyla ilgili bulabildiğim tek şey bir geometrik şekil oldu. Bu şekilde gösterilir diyordu ama hiçbir açıklama yoktu. O zaman kitapta önerilen geometrik çözümü öğretmeye karar verdim.
Örneğin \(\frac{2}{3} \) kesirli sayısı için önce sayı doğrusu çiziliyor. 0 ve 1 sayılarının pozisyonları işaretleniyor. Ardından sayı doğrusunda 0 noktasından sayı doğrusuna dik olacak şekilde başka bir sayı doğrusu çiziliyor. Bu doğru üzerinde de 0’dan verilen kesrin paydasına kadar bütün tamsayılar işaretleniyor. Sonra bu ikinci sayı doğrusundaki payda noktasıyla orijinal sayı doğrusundaki 1 noktalarını birleştiren doğru parçası çiziliyor. Sonra da ikinci sayı doğrusu üzerinde kesrin payından biraz önce çizdiğimiz doğru parçasına paralel bir doğru çiziyoruz. Bu son doğrunun ilk sayı doğrusunu kestiği P noktası aradığımız noktadır. Kitapta bahsedilmeyen tek nokta bu ikinci doğrunun birinci doğru parçasına paralel olmasıydı. Tabii ki Ümit’e bunun neden paralel olması gerektiğini anlatamayacaktım ama en azından cetvel ile bunun basit bir yolunu göstermeliydim.
İlk çizdiğimiz sayı doğrusundaki 1 sayısına karşılık gelen C noktasından aşağıya doğru ikinci sayı doğrusundaki 3 ve 2 sayılarının oluşturduğu \(\overline{AB} \) doğru parçasının uzunluğu kadar inelim ve bulduğumuz noktaya D noktası diyelim. Böylece \(\lvert{AB}\rvert=\lvert{CD}\rvert \) ve \(\overline{AB}\parallel{\overline{CD}} \) durumlarını elde ederiz. B ve D noktalarını birleştirdiğimizde bir paralelkenar çizmiş olacağız ve böylece \(\overline{BD}\parallel{\overline{AC}} \) şeklinde istediğimiz çizimi de elde ederiz.
\(\overline{BD} \) doğru parçasının ilk sayı doğrusunu kestiği P noktası aradığımız noktadır.
Bu çözüm tabii ki basit kesirler için işe yarar, yani kesrin payı paydasından küçükse. Eğer elimizde bileşik ya da tam sayılı kesir varsa yönteme bir adım daha eklememiz lazım. Önce kesri tam sayılı kesre dönüştürelim. Örneğin \(\frac{5}{3} \) kesrini ele alalım. Bu bileşik kesri tam sayılı kesir halinde yazarsak \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \) kesrini elde ederiz. Bu çözüm için çizdiğimiz ikinci sayı doğrusunu kesrin tamsayı kısmı kadar sağa kaydırmamız gerekecek. Ondan sonraki bütün çizimler aynı kalacak. Şimdi bu kesrin çözümü olan çizimi görelim.