Geçenlerde yine hobi olarak sayılar teorisine başlayayım dedim. Genel olarak matematik öğrenmeyi seviyorum ama tembelliğim nedeniyle hiçbir alanında çok ilerlediğimi söyleyemem. Neyse işte, önce basit olduğunu düşündüğüm bir kitap seçtim. Kitabın hoşuma giden yönü biraz deneye dayalı olmasıydı. Yani kitabın daha en başında da zor sorular vardı ama bunları ispatlamak yerine sadece bu şartı sağlayan birkaç örnek bulmamı istiyordu.
İlk konulardan biri Pisagor üçlüleriydi. Yani
\(a^2 + b^2 = c^2 \)
eşitliğini sağlayan tamsayılar. Soru da öyle c sayıları bulun ki yukarıdaki şekilde yazılan iki değişik a, b sayı çiftleri olsun. Tabii ki genel yöntemi sormuyordu. Örnek olarak 65 sayısını vermişti ve bu özellikteki bir sonraki c sayısını bulun diyordu.
\(33^2 + 56^2 = 65^2 \)
\(16^2 + 63^2 = 65^2 \)
İlk önce iki tam karenin toplamı olarak iki değişik şekilde yazılabilecek tamsayıları aramaya başladım. Bunları bulursam sorumu çözebilecektim. Ama belki de sadece sayıları deneyerek soruyu çözsem daha kolay olurdu. Neyse bu yeni soru üzerinde çalışırken bir sürü, benim için ileri derece teorem buldum ama onları anlamadan kullanmak istemedim. Bir tane de basit olduğunu düşündüğüm bir makaleye rastladım. O makaleyi okumaya başladım.
Başlarda aradığımız şeyi şöyle yazalım diyordu:
\(N = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \)
Evet, bu sorduğum sorunun cebirsel yazılışıydı. İki değişik sayı çiftinin karelerinin toplamı aynı sayıya eşit olacak. Ardından bu eşitlikten aşağıdaki özellikleri kolaylıkla görebiliriz diye şu üç önermeyi verdi:
- a ve b çift sayılar ise c ve d de çift sayılardır.
- a ve b tek sayılar ise c ve d de tek sayılardır.
- a ve b bir tek ve bir çift sayı ise c ve d’nin de biri tek diğeri çifttir.
Burada kafam biraz karıştı. İlk şıkka baktım. a ve b sayıları çift ise N toplamı çift olur. Burada bir sorun yok. Dolayısı ile c ve d sayılarının karelerinin toplamı da çift olmalı ama c ve d sayıları tek sayı ise de toplamları çift olur. Önerme ise bunların tek sayı olamayacağını söylüyordu.
Örneğin \(N = 9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90 \) eşitliğine göre ise şüphem o kadar da yersiz değildi. Bunu önermeyi nasıl kanıtlayacağımı düşünürken makalede verilen ipucunu gördüm. Sayıları ve toplamları modulo 4’e göre yazın!
Demek ki çift sayıların hepsi aynı şekilde çift sayılar değilmiş diye düşünüp bu şekilde bir büyüteç ile sayılara daha yakından bakmaya başladım.
\(a = 2k \) ve \(b = 2l\) olacak şekilde çift sayılar olsun. O zaman
\(a^2 + b^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4l^2 \equiv {0} (mod 4) \) çünkü 4’ün katı her sayı 4’e de tam bölünür.
Demek ki çift sayıların karelerinin toplamı her zaman 4’e bölünüyor. Peki tek sayıların karelerinin toplamı?
\(a = 2k + 1\) ve \(b = 2l+1\)
\(a^2 + b^2 = (2k)^2 + 4k + 1 + (2l)^2 + 4l + 1 = 4k^2 +4k + 1 + 4l^2 + 4l + 1 \equiv {2} (mod 4) \).
İki tek sayının karelerinin toplamı da 4’e bölündüğünde her zaman 2 kalanını veriyormuş. Demek ki önerme gerçekten de doğruymuş.
Bir ortaokul öğrencisinin çok kolay görebileceği şeyi belki ilk kez belki de yıllar sonra yine gördüm. Hatırlamıyorum. Hatırladığım şey, modulo işleminin bana daha önce bu çağrışımı yaptırmamış olmasıydı. Bu minicik sürprizler olduğu sürece bendeki öğrenme aşkı da bitmez.