Geçen gün Ümit bana internetten bulduğu tümevarım sorularını gönderdi. Soruların ilk bölümü bazı formdaki sayıların belli sayılara bölünebildiğini ispatlama üzerineydi. Tümevarımı lisede bazı formülleri ispatlamak için kullandığımı hatırlıyorum ama bölünebilme için hiç kullanmamıştım. Bölünebilme soruları için hep, sayıyı bir çarpanı soruda istenen sayı olacak şekilde yazmaya çalışırdım. Şimdi bu soruları bir de tümevarımla çözmeye çalışayım.
- \(n² + n \) bir çift sayıdır.
Önce bu önermeyi \(n = 0\) için deneyelim.
\(0² + 0 = 0 + 0 = 0 \)
0 sayısı çift olduğundan önermemiz \(n = 0 \) için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için de doğru olup olmadığına bakalım.
\((n+1)² + n + 1 = n² + 2n + 1 + n + 1 = n² + 3n + 2 = n² + n + 2n + 2 = n² + n + 2(n + 1) \)
Burada \(n² + n\) teriminin çift olduğunu varsaymıştık. Bu durumda bu çift sayıya eklenen \(2(n + 1) \) sayısı da çift olduğundan toplam da çift olacaktır. Böylece tümevarımımız bitmiş oldu.
2. \(n³ + 2n\) sayısı üçe bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(0³ + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)
Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\((n+1)³ + 2\cdot (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 2n + 2 = n³ + 3n² + 3n + 2n + 3 = n³ + 2n + 3n² + 3n + 3 = n³ + 2n + 3(n² + n + 1)\)
\(n³ + 2n \) teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. Kalan \(3(n² + n + 1) \) terimi de üçe bölündüğünden toplamları da üçe bölünecektir. Böylece önermeyi ispatlamış olduk.
3. \(4n³ – n\) üçe bölünür
Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0 \)
Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n – n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3(n² + n) \)
\(n³ – n\) teriminin üçe bölündüğünü kabul etmiştik. \(3(n²+n)\) terimi de üçe bölündüğünden bütün ifade üçe bölünmektedir. Böylece önermeyi ispat etmiş olduk.
4. \(n³ – n\) altıya bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0\)
\(n = 0\) için önerme doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.
\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n -n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3n(n + 1) \)
\(n³ – n\) teriminin altıya bölündüğünü kabul etmiştik. Diğer terime dikkat edelim şimdi. n ve n + 1 sayılarından biri çift olmak zorunda olduğundan bu çarpım ikiye bölünebilmeli. O zaman son toplamı şöyle yazabiliriz.
\(n³ – n + 3\cdot2\cdot m = n³ – n + 6m \)
Demek ki bu toplam da altıya bölünüyor.
5. \(2n³ + 3n² + n\) altıya bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(2\cdot{0³} + 3\cdot{0²} + 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)
Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1\) için doğruluğunu test edelim.
\(2\cdot{n+1)³ + 3\cdot(n+1)² + (n+1) = 2\cdot(n³ + 3n² + 3n + 1) + 3(n² + 2n + 1) + (n + 1) = 2n³ + 6n² + 6n + 2 + 3n² + 6n + 3 + n + 1 = 2n³ + 9n² + 13n + 6 = 2n³ + 3n² + n + (6n² + 12n + 6) = 2n³ + 3n² + n + 6(n² + 2n + 1)\)
İlk terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. İkinci terim de altıya bölündüğünden toplam da altıya bölünür.
Bu sayfada bölünmeyle ilgili diğer alıştırmaları da zamanla çözeceğim. Tümevarım bu tür sorularda gerçekten de oldukça kullanışlı bir yöntem olabiliyormuş.