- \(n^3 – 6n² + 14n\) üçe bölünür
\(n = 0\) için önermeyi deneyelim.
\(0³ – 6\cdot 0² + 14\cdot 0 = 0 – 0 + 0 = 0\)
Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için önermeyi test edelim.
\((n+1)³ – 6(n+1)² + 14(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – 6n² – 12n – 6 + 14n + 14 \)
\(= n³ -3n² + 5n + 15 \)
Bu ifadeyi değerini değiştirmeden önermede verilen formu elde edecek şekilde dönüştürelim.
\( n³ -3n² + 5n + 15 = n³ – 3n² – 3n² + 3n² + 5n + 9n – 9n + 15 \)
\(= n³ – 6n² + 14n + 3n² – 9n + 15 = n³ -6n² + 14n + 3(n² – 3n +5)\)
İfadenin ilk kısmının üçe bölündüğünü varsaymıştık ve ikinci kısım da üçe bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.
2. \(3^n – 3\) altıya bölünür
Önermeyi önce n = 0 için deneyelim.
\(3⁰ – 3 = 1 – 3 = -2 \)
-2 altıya bölünmez demek ki önermemiz 0 için doğru değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.
\(3¹ – 3 = 3 – 3 = 0\)
Demek ki önermemiz 1 için doğruymuş. Şimdi önermeyi birden büyük n değerleri için doğru kabul edelim ve n + 1 için test edelim.
\(3 ^ {n+1} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 – 6 + 6 \)
\(= 3\cdot 3^{n} – 9 + 6 = 3(3^{n} – 3) + 6\)
İçerideki terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Bu durumda bütün ifade de altıya bölünür ve böylece önermemizin sıfırdan büyük n değerleri için doğru olduğunu göstermiş olduk.
3. \(n³ + (n+1)³ + (n+2)³\) dokuza bölünür.
n = 0 için önermeyi deneyelim.
\(0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1+ 8 = 9\)
Demek ki \(n = 0 \) için önerme doğru. Şimdi \(n \) için de doğru olduğunu var sayalım ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.
\((n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ = (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 81 \)
\(= n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + 9(n² + 3n + 9)\)
Baştaki terim dokuza bölündüğünü varsaydığımız kısım, sondaki terim de dokuza bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.
4.\(7^{2n} – 2^{n}\) kırkyediye bölünür.
n = 0 için önermeyi deneyelim.
\(7⁰ – 2⁰ = 1 – 1 = 0\)
Önerme 0 için doğru. Şimdi n için doğru olduğunu kabul edelim ve n + 1 için test edelim.
\(7^{2(n+1)} – 2^{n+1} = 7^{2n + 2} – 2^{n+1} = 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} \)
\(= 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} – 47\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n} \)
\(= 49\cdot 7^{2n} – 49\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n}\)
Soldaki ifadenin kırkyediye bölündüğünü varsaymıştık ve sağdaki terim de kırkyediye bölünüyor. O zaman önerme doğruymuş.
5. \(5^n + 7\) dörde bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi kontrol edelim.
\(5⁰ + 7 = 1 + 7 = 8\)
\(n = 0 \) için önerme doğruymuş. O zaman \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için test edelim.
\(5^{n+1} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 + 28 – 28 = 5\cdot 5^{n} + 35 – 28 = 5\cdot (5^{n} + 7) – 28 \)
İçerideki terimin dörde bölündüğünü kabul etmiştik. 28 de dörde bölündüğünden bütün ifade de dörde bölünür. Demek ki önermemiz doğruymuş.