- \(5^{2n} – 3^{2n} \) sekize bölünür.
Önermeyi \(n = 0 \) için test edelim.
\(5^{2\cdot 0} – 3^{2\cdot 0} = 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0\)
Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını araştıralım.
\(5^{2\cdot(n+1)} – 3^{2\cdot(n+1)} = 5^{2n+2} – 3^{2n+2} = \)
\(25\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} = 16\cdot 5^{2n} + 9\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} \)
\(16\cdot 5^{2n} + 9(5^{2n} – 3^{2n}) \)
İlk terim onlatının katı olduğundan sekize de bölünür. Diğer terimin de sekize bölündüğünü zaten kabul etmiştik. Demek ki önerme doğruymuş. Aslında aynı şekilde bu ifadenin onaltıya bölündüğünü de ispatlayabilirdik.
2. \(2^{3n} + 13 \) yediye bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(2^{3\cdot 0} + 13 = 2^0 + 13 = 1 + 13 = 14 \)
Önerme \(n = 0 \) için doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\(2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n+3} + 13 = 8\cdot 2^{3n} + 13 = \)
\(7\cdot 2^{3n} + 2^{3n} + 13 \)
İlk terim yediye bölünür, geri kalan terimlerin de yediye bölündüğünü varsaymıştık. O zaman önermemiz doğru demektir.
3. \(a \) birden büyük bir doğal sayı ise \(a ^ {n} – 1 \) \(a – 1\)’e bölünür.
Önce önermeyi \(n = 0 \) için deneyelim.
$ a^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $
Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\(a^{n+1) – 1 = a\cdot a^n – 1 = a^n – 1 + (a – 1)a^n \)
Son terim \(a – 1 \) sayısına bölünür. Soldaki terimin de \(a – 1 \) sayısına bölündüğünü kabul etmiştik. Demek ki önermemiz doğruymuş.
4. \(n^7 – n \) yediye bölünür.
\(n = 0 \) için deneyelim.
\(0^7 – 0 = 0 – 0 = 0 \)
Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.
\((n+1)^7 – (n+1) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 – n – 1 = \)
\(n^7 – n + 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) \)
İlk baştaki iki terimin yediye bölündüğünü varsaymıştık. Kalan terim de yedinin katı olduğunda bu ifade de yediye bölünüyor. Demek ki önerme doğruymuş.
5. \(3^{n+1} + 2^{3n + 1} \) beşe bölünür.
Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(3^{0 + 1} + 2^{3\cdot 0 + 1} = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 \)
Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi bunu \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru mu diye bakalım.
\(3^{n + 1 + 1} + 2^{3(n+1) + 1} = 3^{n+2} + 2^{3n + 4} = \)
\(3\cdot 3^{n + 1} + 8\cdot 2^{3n + 1} = \)
\(3\cdot 3^{n + 1} + 3\cdot 2^{3n + 1} + 5\cdot 2^{3n + 1} = \)
\(3(3^{n+1} + 2^{3n + 1}) + 5\cdot 2^{3n + 1} \)
İlk terim varsayımımız nedeniyle beşe bölünüyor ve ikinci terim de beşin katı olduğundan önermemiz doğrudur.