Tümevarım ve bölünebilme (4)

  1. \(3n⁵ + 5n³ +7n\) onbeşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(3\cdot {0^5} + 5\cdot {0^3} + 7 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını kontrol edelim.

\(3(n+1)^5 + 5(n+1)^3 + 7(n+1) = \)

\(3(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) + 5(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 7n + 7 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15n^4 + 45n^3 + 45n^2 + 15n + 15 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15(n^4 + 3n^3 + 3n^2 + 1n + 1) \)

İfadenin ilk kısmının onbeşe bölündüğünü varsaymıştık. İkinci kısım da onbeşin katı olduğundan tüm ifade onbeşe bölünmektedir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. \(3^{2n} + 7\) sekize bölünür.

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(3^{2\cdot 0} + 7 = 3^0 + 7 = 1 + 7 = 8\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için önermenin doğruluğunun test edelim.

\(3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n + 2} + 7 = 9\cdot 3^{2n} + 7 = \)

\(8\cdot 3^{2n} + 3^{2n} + 7 \)

İfadenin ilk terimi sekizin katıdır ve kalanının da sekize bölündüğünü varsaymıştık. Demek ki önerme doğrudur.

3. \(n^3 + 5n\) altıya bölünür

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(0^3 + 5\cdot 0 = 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)^3 + 5(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = \)

\(n^3 + 5n + 3n^2 + 3n + 6 = n^3 + 5n + 3(n^2 + n) + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6\)

\(n(n+1) \) terimindeki \(n \) ya da \(n+1 \) sayısı çifttir, çünkü ardışıl olan iki tamsayıdan biri çift olmak zorundadır. O zaman bu çarpım da çift olmalıdır. Öyleyse son ifadeyi şu şekilde yazabiliriz.

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6 = n^3 + 5n + 3\cdot{2\cdot{k}} + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 6k + 6 = n^3 + 5n + 6(k + 1) \)

En sonunda elde ettiğimiz ifadenin ilk iki teriminin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Diğer terimi de altının katı olduğuna göre bütün ifade de altıya bölünür. Böylece önermemiz ispatlandı.

4. \(n^4 – 4n^2 \) üçe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeye bakalım.

\(0^4 – 4\cdot {0^2} = 0 – 4\cdot 0 = 0 – 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayıp \(n+1 \) için doğruluğuna bakalım.

\((n+1)^4 – 4(n+1)^2 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 – 4(n^2 + 2n + 1) = \)

\(n^4 + 4n^3 + 2n^2 -4n = n^4 – 4n^2 + 6n^2 + 4n^3 – 4n = \)

\(n^4 – 4n^2 + 2n(2n^2 – 3n – 2) = n^4 – 4n^2 + 2n(2n + 1)(n – 2)\)

İfadenin ilk iki teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. \(2n(2n + 1)(n – 2) \) terimini inceleyelim şimdi. n sayısı üç değişik formdan biri olabilir. Önce \(n = 3k \) şeklinde sayılara bakalım.

\(2\cdot{3k}(2\cdot{3k} + 1)(3k -2) = 6k(6k + 1)(3k-2) \)

Bu form her zaman üçe bölünür.

İkinci form \(n = 3k + 1 \):

\(2(3k + 1)(2\cdot(3k + 1) + 1)(3k -1) = 2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = \)

\(2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = 6(3k + 1)(2k + 1)(3k -1) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Son olarak üçüncü form \(n = 3k + 2 \):

\(2(3k + 2)(2\cdot{(3k + 2)} + 1)(3k + 2 -2) = 2(3k + 2)(6k + 5)(3k) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Demek ki elde ettiğimiz ifade her durumda üçe bölünür ve önermemiz doğru.

5. \(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5\) dokuza bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(10^0 + 3\cdot{4^{0+2}} + 5 = 1 + 3\cdot{4^2} + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = \)

\(1 + 48 + 5 = 54 \)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(10^{n+1} + 3\cdot{4^{n + 1+2}} + 5 = 10\cdot{10^n} + 3\cdot{4\cdot{4^{n+2}}} + 5 = \)

\( 10\cdot{10^n} + 12\cdot{4^{n+2}} + 5 = 10^n + 9\cdot{10^n} + 3\cdot{4^{n+2}} + 9\cdot{4^{n+2}} + 5 = \)

\(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5 + 9(10^n + 4^{n+2}) \)

İfadedeki son terim dokuzun katıdır ve diğer kısım da dokuza bölündüğünü varsaydığımız ifadeye eşit. Demek ki bütün ifade dokuza bölünüyor ve önerme doğru.

Bir yanıt yazın