Etiket: asal çarpanlar

Serkan’a matematik dersinde yardım etmem gerekiyordu ve konu bir tam sayının bütün pozitif bölenlerini bulmaktı. Tabii ki 5. sınıfta aranan sayılar bu kadar karışık tanımlanmıyor henüz. Aradıkları şeye kısaca bölenler kümesi (Teilermenge) deniyor.

Örnek: 24 sayısının bölenler kümesi {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Serkan’la ilk çalışmaya başladığımızda bölenler kümesinin bazı elemanları hep eksik kalıyordu. Serkan kafasına göre bir sırayla sayıları kafasında tek tek deniyordu ve tabii ki hangi sayıları denediğini unutuyordu. Ödevlerini kontrol ederken hep eksikler olduğunu söylediğimde de sinirleniyordu.

Bunun üzerine ilk iş olarak çözüm kümesinde kaç tane bölen olması gerektiğini hesaplayabileceği bir yöntem gösterdim. Bunun için sayıyı önce asal çarpanlarına ayırmak gerekiyor. Şansa asal sayıları derste işlemişlerdi. Bunun için verilen sayıyı 1 sayısına ulaşana kadar asal sayılara bölmek yeterli.

Örnek: \(\begin{tabular}{r|r}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{tabular} \)

Sol sütundaki sayılar bölme işlemlerinin sonuçlarını, sağ sütundaki sayılar da soldaki sayıyı böldüğümüz asal sayıları gösteriyor. Sol sütunda 1 sayısına ulaştığımızda sağ sütun bize bu başta verilen sayıyı oluşturan asal sayıları verir. Bu işlemlerin sırasının sonuç açısından önemi yoktur ama en küçük asaldan en büyüğe doğru yapmak daha kolay olacaktır. Tabii ki Serkan da bölme işlemlerini (yani asal sayı seçimlerini) ilk başta karışık bir sırayla yapıyordu.

Sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımıza göre verilen sayıyı artık bu asal sayıların çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1 \)

Sayıyı asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazabilmek bir sonraki adım için kolaylık sağlayacaktır ve Serkanlar kuvvetleri daha önce görmüştü. Eğer kuvvetler derste daha önce işlenmemişse daha başka yöntemler denenebilir. Örneğin Ümit bu konuyu daha önce öğrenmediğinden sayıyı kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazmak yerine bir önceki adımda durmayı düşünüyorum. Belki Serkan’da da yeterli olabilirdi bu teknik ama aynı anda kuvvetleri de tekrar etmesini istiyordum. Yani şu kadarı da yeterli olabilir:

\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \)

\(2\rightarrow 3 \)

\(3\rightarrow 1 \)

Asal sayıları sıraladıktan sonra her gruptaki elemanları saymak gerekecek. Yapılan işlem kuvvetlerle aynı olmasına rağmen kuvvet kavramını öğrenmeye gerek olmayacak.

Sayıyı oluştururken her asal sayıdan kaç tane kullandığımızı bulduktan sonra bu kuvvetlerin değerini bir artırıp birbirleriyle çarparsak o sayının kaç tane pozitif böleninin olduğunu buluruz. 24 için bu işlemi yapalım.

\((3+1) \cdot (1+1) = 8 \)

Kuvvetleri neden birer artırdığımızı Serkan’a anlatmadım ve kendisi de bunu merak etmedi. Bu işlemi kullanmaya başladıktan sonra biraz daha rahatlayacağımı düşünüyordum, çünkü artık kaç tane bölen bulması gerektiğini bilecekti. Yöntemi kullanmaya da başladı ama kısa süre sonra bir sonraki probleme geldik. Kaç tane bölenin eksik olduğunu biliyordu ama hangilerinin eksik olduğunu bulamıyordu.

Bu problemi çözmenin yolu da asal sayıları birbirleriyle sistemli bir şekilde çarpmak. Önce ona bütün asal çarpanları birbirleriyle çarpmasını söyledim ama bunu pek beceremedi, kendi başına da bir sistem bulamadı. Bunun üzerine yine bir teknik arayışına girdim. Kuvvetleri de bildiğinden şöyle bir notasyon denedim (24 için):

\(( 2^0 \hfill 2^1 \hfill 2^2 \hfill 2^3) (3^0 \hfill 3^1) = (1 \hfill 2 \hfill 4 \hfill 8)(1 \hfill 3) \)

Yani her bir asal sayı için bir parantez ve her parantezin içine sayıdaki o asal sayının kuvvetlerini sadece arada biraz boşluk bırakarak yazmak. Boşluktan daha iyi bir operatör bulamadım, ne kadar az yeni şeyle tanışırsa o kadar iyi diye düşündüm. Eğer sayıların kuvvetleri henüz öğrenilmemişse bu sayılar doğrudan çarpılabilir ve ilk olarak da 1 sayısı eklenir. Yukarıda bölenlerin sayısındaki artı bir işlemi de bu 1 sayısı yüzünden gelmekte. Bu parantezler hazırlandıktan sonra soldan başlayarak her sayı diğer parantezdeki sayılarla çarpılacak. Çıkan sonuçlar yeni bir parantez içine yazılacak. Dikkat edilecek şey, iki parantez çarpılırken işlem tek parantez ile sonuçlanmalı.

\((1\hfill{2}\hfill{4}\hfill{8})(1\hfill{3}) = ({1 \cdot 1} \hfill {1 \cdot 3} \hfill {2 \cdot 1} \hfill {2 \cdot 3} \hfill {4 \cdot 1} \hfill {4 \cdot 3} \hfill {8 \cdot 1} \hfill {8 \cdot 3}) \)

\(=(1\hfill{3}\hfill{2}\hfill{6}\hfill{4}\hfill{12}\hfill{8}\hfill{24}) \)

Her parantezdeki asal sayılar ve kuvvetleri farklı olduğundan çarpımlar sonucu elde edilen sayılar da farklı olacaktır. Bu adımlar parantez çiftleri arasında tek parantez kalana kadar sürdürüldüğünde elde ettiğimiz sayılar verilen sayının pozitif tam sayılar kümesini oluşturur.

Serkan bu yönteme de çabuk alıştı ya da ben alıştığını sandım. Bir gün soruyu bir sayı vererek değil de asal çarpanları vererek sordum. Serkan bu soruyu hiç yapamadı. İlk başta çok saçma gelen bu durumu anlamam uzun sürmedi. Serkan adımları tek tek yapabilmesine rağmen bölenleri hala deneme yanılma ile buluyordu ve asal çarpanlarına ayrılmış olmanın ne anlama geldiğini bilmiyordu. Bunu bilemeyince orijinal sayıyı bulamıyordu ve deneme yanılma yöntemine geçemiyordu. Heralde kendisine sunduğum teknikler onu ikna etmeyi becerememişti ve bu yüzden kendi yöntemine dönüş yapmıştı. Bunun üzerine ikna çalışmalarına başladım. Daha çok örnekle sistemin kendiliğinden çalıştığını göstermeye çalıştım. Bu sırada tabii ki sayılar ve asal çarpanları arasındaki ilişkiyi de biraz daha kurcaladık. Bunun ne anlama geldiğine değinmedik ama, sadece asal çarpanlardan asıl sayıyı tekrar elde ettik ve verilen bir sayıdan asal çarpanları bulduk. Bir süre sonra Serkan bölenler kümesini hemen hemen eksiksiz bulabiliyordu. Hala bulabilir mi bilmiyorum ama kısa bir antrenmanla bu teknikleri yeniden hatırlayacağına inanıyorum. Şimdi sıradaki sorun bu konuyu Ümit’e öğretmek. Ümitler derste asal sayıları yeni öğrendiği için kuvvetlerin kullanılmadığı tekniği denedik ve Ümit’in performansı şimdiden oldukça ümit verici gözüküyor.