Bu soruyu yapmanın en doğrudan ama zahmetli yolu tabii ki sayıları tek tek denemek olacaktır. Tembel olduğum için bu yolu seçmeyeceğim. Uzun kaybolmalardan sonra klasik tablo yöntemiyle bulduğum çözüm şöyle:
[table id=19 /]
Bu tablo 1. ifadeden sonra ortaya çıkan durum. Her ifade tablodaki bazı seçeneklere eleyecektir. Bu elemeyi yaparken sadece kalan satırlardaki bazi olasılıkların kaç kere olduğuna bakacağız. Eğer tek ihtimal kaldıysa ve oyuncu sayıları bilmiyorum diyorsa bu ihtimal olamaz demektir, çünkü bilemiyorsa o varsayım için birden fazla olasılık var demektir.
Ali’nin ilk ifadesi ile sadece bir kere bulunan toplamların olduğu hücreleri silebiliriz. Bunun için üçüncü ve beşinci sütunlara bakıyoruz. 8, 9, 10 ve 15 toplamları tabloda sadece birer kez bulunduğundan bu toplamların olduğu hücreleri silebiliriz. Eğer toplam bunlardan biri olsaydı Ali sayıları hemen bulacaktı.
[table id=23 /]
Ayşe’nin bilmiyorum cevabı da tek seçenek kalmış kare toplamları satırlarını silecektir. Bunlar da karelerin toplamı 65 ve 125 olan durumlardır. Eğer Ayşe’nin sayısı bunlardan biri olsaydı Ayşe tabii ki bu turda sayıları bulabilecekti.
[table id=24 /]
Ali bu sefer sadece toplamın 11 olduğu durumda sayıları bilebilecekti, çünkü sadece bir kere bulunan tek sayı o. Sayıları bilemediğine göre bu ihtimali de sileceğiz.
[table id=25 /]
Ayşe bu sefer de bilemediğine göre tek ihtimali kalan 85 satırını da silelim.
[table id=26 /]
Ali’nin cevabı 13 toplamının da olamayacağını gösteriyor. Bu ihtimali de silersek son pozisyona ulaşmış oluruz.
[table id=27 /]
Bu pozisyonda Ayşe’nin bilebilmesi için karelerin toplamının 145 olması gerekiyor ve bunun için de kalan tek ihtimal sayıların 8 ve 9 olması. Tabii ki tablomuzun normalde sonsuz tane satırdan oluşması nedeniyle bu cevabın tek olup olmadığına da bakmamız lazım. Belki bu mantıkla tabloda göremediğimiz daha alt satırların birinde de tek bir ihtimalli bir satır olabilir.
Bu çözümün tek olduğunu göstermek için tablodaki her toplam sayısının (üçüncü ve beşinci sütun) tabloda en az iki kere bulunduğunu göstermemiz yeterli. Burada küçük bir uyarı da yapayım. Tabloda her satırda sadece iki ihtimal varmış gibi gösterdim ama bazı toplamlar tabii ki iki kare toplamı olarak çok daha fazla değişik şekilde yazılabilir. Örneğin 325 toplamı üç değişik şekilde yazılabilir.
Aşağıdaki ispatın ana fikrini Mathematics Magazine Mayıs 1983 sayısından aldım.
Şu özdeşliği ele alalım:
\((a+2b)^2+(2a-b)^2=(a-2b)^2+(2a+b)^2 \)
\(b\in{\{1, 2, 3\}} \)
Eşitliğin solundaki sayıların toplamı
\((a+2b)+(2a-b)=3a+b \) değerini verir. Yani bütün sayıları bu şekilde gösterebiliriz. Yani a sayısı altıdan büyük seçildikçe yukarıdaki eşitliğe göre her zaman iki değişik şekilde aynı kare toplamını veren sayılar bulunabilir. Bizim aradığımız ise aynı toplamın farklı kare toplamlarında kullanılması. Bunu da göstermek kolay. Eşitliğin sağ tarafındaki sayılar da \((a-2b)+(2a+b)=3a-b \) toplamını verir. Bu da bütün sayıları üretmek için kullanılabilir.Yapacağımız işlem ana hatlarıyla şöyle: Önce herhangi bir sayıyı eşitliğin sol tarafından ürettiğimiz toplam gibi yazacağız. Bu şekildeki bir sayı için en az iki partisyonun aynı kare toplamını verdiğini özdeşlikten biliyoruz. Sonra aynı toplamı veren eşitliğin sağından ürettiğimiz toplam ifadesini kullanarak farklı bir partisyonun da aynı özellikte kare toplamları ürettiğini göreceğiz. Böylece tablomuzda yazılı olmayan satırlarda mevcut olan her toplamın tabloda en az iki kere bulunduğunu göstereceğiz.
22’den büyük sayılar için aşağıdaki işlemleri yapabiliriz. Önce neden 22? Yukarıda b için bazı ön şartlar belirledik, yani b sayısı 1, 2 ya da üç olabilir ve özdeşlikteki terimlerden biri a-2b. Bu sayıların pozitif olabilmesi için a-2b sayısının sıfırdan büyük olması lazım. b sayısı da en fazla 3 olduğundan a – 6 sıfırdan büyük olmalı. Yani a altıdan büyük olmalı, en az 7 olabilir. 3a+b sayısı da bu durumda en az 22 olur.
b sayısı için yöntemi iki parçaya ayıracağım.
1) b = 1 ya da b = 2
3a+b şeklinde (yani 3a+1 ya da 3a+2) şeklinde yazılabilen bir toplamı alalım. Bu sayıyı a+2b ve 2a-b şeklinde iki sayıya ayırabiliriz ve yukarıda bu sayıların karelerinin toplamı için aynı kare toplamını veren ve bu sayılardan farklı bir başka sayı çifti olduğunu gördük. Şimdi aynı toplamı veren 3(a+1) – (3-b) teriminden yol çıkalım. Dikkat edersek bu terim yukarıda kullandığımız özdeşliğin sağ tarafındaki sayılardan elde edilmiş bir toplam formunda ( (a-2b) + (2a+b) = 3a-b ). b, 1 ya da 2 olduğundan 3-b de 1 ya da iki olur. Buradan da a+1 – 2(3-b) =a+2b-5 ve 2(a+1) + (3-b) =2a-b+5 sayılarını buluruz. Bu sayıların karelerini topladığımızda da en az iki değişik şekilde iki kare toplamı olarak yazılabilen bir sayı buluruz. Belki bir örnek ile görmek daha kolay olur.
Örnek: Sayımız 22 olsun. 22 = 3a+b ise a = 7, b = 1. İlk çiftimizi a+2b=9 ve 2a-b=13 şeklinde hesaplayalım. Bu sayıların karelerinin toplamı 81+169=250. Aynı zamanda 250 = 225 + 25 olduğundan bu partisyon istediğimiz şartı sağlıyor. İkinci partisyonu da şöyle buluyoruz. a+2b-5=4 ve 2a-b+5=18 sayılarını hesaplıyoruz. Karelerinin toplamı 16+324=340. 340 = 144 + 196 olduğundan şartımız yeniden sağlanmış oluyor.
Burada dikkat etmemiz gereken şey bu yöntemle olası bütün partisyonları bulmuyoruz. İspatımız için iki tane bulmamız yettiğinden sadece ikisini buluyoruz.
2) b = 3
Bu sefer 3a +3 şeklinde yazılan bir toplam alıyoruz, yani üçe bölünebilen bir toplam. İlk partisyonumuzu yukarıdaki gibi a + 6 ve 2a – 3 şeklinde hesaplıyoruz. Özdeşlikten istediğimiz özellikte kareler toplamını bulabileceğimizi biliyoruz. Şimdi diğer partisyon için 3(a+2)-3 teriminden yol çıkıp (a+2)-6=a-4 ve 2(a+2)+3=2a+7 sayılarını bulalım. Bu sayıları da özdeşliğin sağ tarafındaki terimleri kullanarak bulduk. Toplamlar yine 3a+3 ve özdeşliğe göre bu kare toplamını veren en az bir tane daha tam kare çifti var.
Örnek: 24 sayısını alalım. 3a+3 olduğuna göre a =7, b = 3. İlk partisyon için sayılarımız a+2b=7+6=13 ve 2a-b=14-3=11. Karelerin toplamı = 169 + 121 = 290 290 = 1 + 289 da diğer bir kareler toplamı. İkinci partisyon için sayılarımız da: a-4 = 3 ve 2a+7=21 olur. Karelerin toplamı 9 + 441 = 450. 450 = 225 + 225 de başka bir kareler toplamıdır.
Böylece tablonun alt taraflarında olabilecek bir toplamın en az iki kere daha tabloda bulunacağını göstermiş olduk. Yani yukarıda bulduğumuz 8 ve 9 sayıları bu konuşmadan yola çıkarak bulunabilecek tek çözümdür.
Unutmadan toplam 22’den küçükse yukarıdaki özdeşliğe gerek yok ama bunlar için de elimizdeki tabloya bakıp o sayıların da en az iki kere son tabloda olduğunu sayarak görebiliriz.
Bu soruyu çözmeye başlarken yine ifadeleri cebirsel olarak yazabilir miyim diye deneme yapmıştım. İlk iki ifadeden sonra ortalık çok karıştığından bunu bıraktım ve tablo yöntemine döndüm. Tablo yöntemi son ispat dışında oldukça kolaydı. İspatı da çözüm doğru mu diye ararken şans eseri buldum. Cebirsel çözümle uğraşırken başka bir iki şspat daha yaptım, bunları da burada vereyim de o kadar yanlış yolda gezintilerim boşa gitmesin.
Toplamları aynı olan ikili partisyonların kareleri toplamları farklıdır:
\(a+b=e+f \) ve a,b,e,f birbirlerinden farklı tamsayılar olsun.
\(f=a+b-e \)
varsayalım ki,
\(K=a^{2} + b^{2}=e^{2} + f^{2} \)
\(a^{2} + b^{2}=e^{2}+(a+b-e)^2 \)
\(a^{2} + b^{2}=e^{2}+a^2 + b^2+e^2+2ab-2be-2ae \)
\(0=2e^{2}+2ab-2be-2ae=2(e^2+ab-be-ae) \)
\(0=(e^2+ab-be-ae)=b(a-e)-e(a-e)=(a-e)(b-e) \)
\(a=e \lor {b=e} \)
Fakat bu sonuç ilk baştaki varsayımımıza aykırı. Demek ki karelerinin toplamları da
farklı olmalı.
Kareleri toplamları aynı olan sayı çiftlerinin toplamları farklıdır:
\(a^2+b^2 = c^2+d^2 \) varsayalım \(a+b=c+d \) olsun \((a+b)^2 = (c+d)^2 \) \(a^2 + 2ab + b^2=c^2+2cd+d^2 \) \(2ab=2cd \) \(ab=cd \) c varsayımımıza göre hem a hem de b sayılarından farklı. c için şöyle yazalım \(c=a-x \) buradan da \(d=b+x \) çıkar. Şimdi kaldığımız yerden devam edersek: \(ab=(a-x)(b+x) \) \(ab=ab+ax-bx-x^2 \) \(0=ax-bx-x^2=x(a-b-x) \) Bu durumda ya x=0'dır, yani c = a ya da \(a-b-x=0 \) \(x=a-b \) yani c = b.