Tümevarım ve bölünebilme (5)

  1. \(4^n + 15n – 1\) dokuza bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(4^0 + 15\cdot{0} – 1 = 1 + 0 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(4^{n+1} + 15(n + 1) – 1 = 4\cdot {4^n} + 15n + 15 – 1 = \)

\(4^n + 15n – 1 + 3\cdot{4^n} + 15 \)

İlk üç terimin dokuza bölündüğünü varsaymıştık. Son iki terimi incelememiz gerek.

\(3\cdot{4^n} + 15 = 3\cdot(3+1)^n + 15 = \)

\( 3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3} + 1) + 15 = \)

\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 3 + 15 = \)

\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 18 = \)

İlk terimin içi pozitif \(n \) değerleri için her zaman üçün kuvvetlerinin toplamı olacağından üçe bölünür. Bu durumda bütün terim de dokuza bölünür. 18 de dokuza bölündüğünden toplam da dokuza bölünür.

Böylece bütün ifade dokuza bölünür ve önermemiz doğruymuş.

2. \(5^{2n} + 24n – 1 \) kırksekize bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 = 5^0 + 0 – 1 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. O zaman şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru oluğ olmadığına bakalım.

\(5^{2(n+1)} + 24(n+1) – 1 = 5^{2n + 2} + 24n + 24 – 1 = \)

\(25\cdot{5^{2n}} + 24n + 24 – 1 = 5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24\cdot{5^{2n}} + 24 = \)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(5^{2n} + 1) = \)

Son terimin içi her zaman çift sayıdır. Bunu görmek için beşin bütün kuvvetlerinin 5 rakamı ile bittiğini gözlememiz yeterli. Yani terimin içindeki sayı her zaman 6 rakamıyla bitecektir ve bu da terimin çift sayı olduğunu gösterir. O zaman son terimi çift sayı formunda yazalım ve ifadeye tekrar bakalım.

\(5^{2n} + 1 = 2k\)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(2k) = \)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 48k \)

İlk üç terimin kırksekize bölündüğünü varsaymıştık ve son terim de kırksekize bölünüyor. O zaman toplamları da kırksekize bölünür ve böylece önermemiz ispat edilmiş oldu.

3. \(11^{n + 1} + 12^{2n-1}\) yüzotuzüçe bölünür.

Önce önermeyi \( n = 0 \) için deneyelim.

\(11^{0 + 1} + 12^{2\cdot{0} – 1} = 11^{1} + 12^{-1} \)

0 için önerme geçerli değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.

\(11^{1 + 1}+ 12^{2\cdot{1} – 1} = 11² + 12^{2\cdot{1} – 1} = \)

\(121 + 12^1 = 121 + 12 = 133 \)

Önerme demek 1 için doğruymuş. O zaman önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için test edelim.

\(11^{ n + 1 + 1} + 12^{2(n+1) – 1} = 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} = \)

\(11\cdot{11^{n+1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} = \)

\(11\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} + 133\cdot{11^{n + 1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)

\(144\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)

\(144(11^{n + 1} + 12^{2n-1}) – 133\cdot{11^{n + 1}} \)

Birinci terimin içi varsayımımızca 133’e bölünüyor. İkinci terim de 133’ün katı. Demek ki bütün ifade de 133’e bölünür. O zaman önermemiz sıfırdan büyük bütün doğal sayılar için doğrudur.

5. a bir doğal sayı olmak üzere \((2a – 1)^n – 1\) çifttir.

Önce n = 0 için önermeyi test edelim.

\((2a-1)^0 – 1 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((2a-1)^{n+1} – 1 = (2a-1)(2a – 1)^n – 1 = (2a – 1)^n – 1 + (2a-2)(2a – 1)^n = \)

\((2a – 1)^n – 1 + 2(a-1)(2a – 1)^n \)

İlk iki terimin çift olduğunu varsaymıştık zaten, son terim ise ikinin bir katı olduğundan o da çifttir. İki çift sayının toplamı da çifttir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

Tümevarım ve bölünebilme (3)

  1. \(5^{2n} – 3^{2n} \) sekize bölünür.

Önermeyi \(n = 0 \) için test edelim.

\(5^{2\cdot 0} – 3^{2\cdot 0} = 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını araştıralım.

\(5^{2\cdot(n+1)} – 3^{2\cdot(n+1)} = 5^{2n+2} – 3^{2n+2} = \)

\(25\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} = 16\cdot 5^{2n} + 9\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} \)

\(16\cdot 5^{2n} + 9(5^{2n} – 3^{2n}) \)

İlk terim onlatının katı olduğundan sekize de bölünür. Diğer terimin de sekize bölündüğünü zaten kabul etmiştik. Demek ki önerme doğruymuş. Aslında aynı şekilde bu ifadenin onaltıya bölündüğünü de ispatlayabilirdik.

2. \(2^{3n} + 13 \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(2^{3\cdot 0} + 13 = 2^0 + 13 = 1 + 13 = 14 \)

Önerme \(n = 0 \) için doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n+3} + 13 = 8\cdot 2^{3n} + 13 = \)

\(7\cdot 2^{3n} + 2^{3n} + 13 \)

İlk terim yediye bölünür, geri kalan terimlerin de yediye bölündüğünü varsaymıştık. O zaman önermemiz doğru demektir.

3. \(a \) birden büyük bir doğal sayı ise \(a ^ {n} – 1 \) \(a – 1\)’e bölünür.

Önce önermeyi \(n = 0 \) için deneyelim.

$ a^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(a^{n+1) – 1 = a\cdot a^n – 1 = a^n – 1 + (a – 1)a^n \)

Son terim \(a – 1 \) sayısına bölünür. Soldaki terimin de \(a – 1 \) sayısına bölündüğünü kabul etmiştik. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4. \(n^7 – n \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için deneyelim.

\(0^7 – 0 = 0 – 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)^7 – (n+1) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 – n – 1 = \)

\(n^7 – n + 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) \)

İlk baştaki iki terimin yediye bölündüğünü varsaymıştık. Kalan terim de yedinin katı olduğunda bu ifade de yediye bölünüyor. Demek ki önerme doğruymuş.

5. \(3^{n+1} + 2^{3n + 1} \) beşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(3^{0 + 1} + 2^{3\cdot 0 + 1} = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi bunu \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru mu diye bakalım.

\(3^{n + 1 + 1} + 2^{3(n+1) + 1} = 3^{n+2} + 2^{3n + 4} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 8\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 3\cdot 2^{3n + 1} + 5\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3(3^{n+1} + 2^{3n + 1}) + 5\cdot 2^{3n + 1} \)

İlk terim varsayımımız nedeniyle beşe bölünüyor ve ikinci terim de beşin katı olduğundan önermemiz doğrudur.