Arada kendi kendime matematik çalıştığım oluyor. İlgimi çeken alanlardan biri de grup teorisi. Bu yazıda bu sorunun nasıl çözüldüğünü anlatmaktan çok kafamı karıştıran noktalarıyla ilgileneceğim. Bu karışıklıkların çoğu yanlış anladığım ya da eksik olan matematik temelimden kaynaklanıyor olabilir.
Soru şöyle: \(G \) grubu için şu özellik verilmiş olsun. Gruptaki her \(x,y,z\) elemanları için \(xy = zx\) ise \(y = z\) geçerlidir. Grubun değişmeli olduğunu ispatlayın.
İlk başta aklıma şöyle bir hareket geldi.
Değişmeli bir grup olması için her \(x \) ve \(y \) için \(xy = yx \) olması gerekiyor. Sorudaki ifadeyi kullanınca da bu sonuca hemen ulaşıyorum: \(xy = zx = yx \) demek ki değişmeli bir gruptur.
Peki bu ispat kendimi ikna ediyor muydu? Değişmeli grup olduğunu göstermek için her \(x \) ve \(y \) elemanları için \(x\cdot y = y \cdot x \) olduğunu göstermem lazım. Verilen özellik ise bana ilk bakışta bu şartı sağlayan bir z sayısının varlığını şart koşmuyor. O zaman soruya başka türlü yaklaşayım dedim.
\(x \cdot y \cdot x^{-1} = z \) diyelim. \(x \) ve \(y \) sayıları grup içinden herhangi iki eleman olsun. O zaman \(x^{-1} \) elemanı da grup içinde olmak zorundadır. Bu durumda grubun çarpma işlemine göre kapalı olmasından \(z \) elemanı da aynı grubun bir elemanıdır.
\(x \cdot y \cdot x^{-1} = z \)
\(x \cdot y \cdot x^{-1} \cdot x= z \cdot x \)
\(x \cdot y \cdot e = z \cdot x \)
\(x \cdot y = z \cdot x \)
Bu şekilde her durumda bu eşitliği sağlayacak bir z elemanının olacağını buldum. Her ne kadar bu fikir kafamda henüz tam oturmasa da bu sırada bir şey atladığımı sanmıyorum. Bu adımlar sırasında anladığım kadarıyla sadece bir ifadeyi hafifçe değiştirmiş oldum. Şimdi onu biraz toparlamaya çalışayım. Sorudaki özellikte herhangi x, y ve z elemanları için eşitlik doğruysa y ve z elemanları birbirine eşittir diyordu. Benim ulaştığım noktada ise bu özellikteki eşitliğin rastgele x ve y için hangi z elemanı için doğru olduğu da bulunuyor. Diğer bütün elemanlar için böyle bir eşitlik olamayacak ama bu da sorun değil çünkü varsayım kısmı yanlış ise bir şey kaybetmiş olmuyoruz.
Ulaştığım bu ara adımdan sonra y ve z elemanlarını eşitlediğim zaman yazının başında yaptığım gibi değişmeli grup özelliği hemen ortaya çıkmakta.