Bir şeyi uygulamakla anlamak arasında epey bir fark vardır. Benim için matematikte de bu hep böyle oldu. En basitinden çarpma işlemini neden öyle yaptığımı üniversite yıllarında anladım. Anlamak için üzerinde düşünmek de gerekiyor tabii. Birçok şeyi bu kadar geç anlamamın nedeni bunların üzerine düşünmüyor olmam. Uygulama işe yaradığı sürece nedenini sormaya ihtiyaç duymuyorum.
Aklıma takılan bu soru da uygulamada hiç sorun çıkartmadı ama biraz düşününce bazı şeyleri pek anlamadığım hissini uyandırdı. Olay lisede sınavlarda sık sık karşımıza çıkan çemberlerin kesişimi problemleri. Daha da açık anlatmam gerekirse, verilen iki çemberin kesiştiği noktaları bulma problemi. Çözümü çok kolay. İki çemberin denklemleri alınır, bu denklemler birbirlerine eşitlenir ve bu eşitliği sağlayan noktalar da çemberin kesiştiği noktalardır deriz. Yöntem basit ama uygulamada bir sorun var. Aklıma takılan kısım da hep bu oldu. Bu problemleri çözerken denklemleri eşitlediğimiz zaman çoğunlukla bir doğru denklemi bulmuşuzdur. Fakat çözdüğümüz problemlerde iki çember birbirini sıfır, bir ya da iki noktada keserdi. Doğru denklemini sonsuz tane nokta sağlar (doğru üzerindeki bütün noktalar) ama bu noktaların en fazla iki tanesi aynı anda bu iki çember üzerinde olur. O zaman bu doğruyu verilen çemberlerin biriyle kesiştirip (denklemleri eşitleyip) aradığımız noktaları buluruz. Şimdi aklıma takılan soruyu ifade edeyim: İki çember denklemini eşitlediğimizde neden bir doğru denklemi elde ediyoruz?
Önce birkaç örnek yapayım:
Örnek 1: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 2)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.
Grafikte de görüldüğü gibi iki çember C ve D noktalarında kesişiyor. Peki şimdi bu noktaları lisede öğrendiğimiz gibi bulmaya çalışalım.
İki çember denklemini de eşitleyelim.
\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 2)^2 – 1\)
Şimdi bu yeni denklemi çözelim. İki taraftan da \(y^2\) terimlerini sadeleştirebiliriz.
\(x^2 – 4 = (x – 2)^2 – 1\)
Şimdi diğer terimleri açalım
\(x^2 – 4 = x^2 -4x + 4 – 1\)
\(x^2\) terimlerini sadeleştirelim ve sabit sayıları düzenleyelim.
\(– 7 = -4x\)
Bu denklemi de çözersek \(x = 7/4\) çıkar. Yani aradığımız noktalar x koordinatı 7/4 olan noktalar kümesinin elemanları ama bu noktalar bir doğru oluşturmakta. Şimdi bu doğruyu da grafiğimizde gösterelim.
Son olarak bu doğruyla çemberlerden birini kesiştirdiğimizde aradığımız iki noktayı bulacağız. Bunun için A çemberinde x yerine 7/4 değerini koymamız yeterli.
\(y^2 + (7/4)^2 = 4\)
\(y^2 + 49/16 = 4\)
\(y^2 = 4 – 49/16\)
\(y^2 = 15/16\)
\(\left| y \right| = \sqrt{15}/4\)
\(y = \sqrt{15}/4\) ve \(y = -\sqrt{15}/4\)
Şimdi bir de kesişmeyen çemberler örneğine bakalım. Bunun için ikinci çemberi birinci çemberden biraz daha uzağa taşıyacağım.
Örnek 2: Çemberlerimiz \(y^2 + x^2 = 4\) ve \(y^2 + (x – 4)^2 = 1\) olsun. Bu iki çemberin kesiştiği noktaları bulalım.
Aynı yöntemle bu problemi inceleyeyim.
\(y^2 + x^2 – 4 = y^2 + (x – 4)^2 – 1\)
\(x^2 – 4 = (x – 4)^2 – 1\)
\(x^2 – 4 = x^2 – 8x + 16 – 1\)
\(– 4 = – 8x + 15\)
\(– 19 = – 8x\)
\(x = 19/8\)
Şimdi bu doğrunun denklemini soldaki çemberle kesiştirip kesişim noktalarını bulalım.
\(y^2 + (19/8)^2 = 4\)
\(y^2 = 4 – (19/8)^2\)
\(y^2 = 4 – 361/64\)
\(y^2 = 256/64 – 361/64\)
\(y^2 = – 105/64\)
Bu denklemin de gerçel sayılarda çözümü yok. Demek ki iki çember kesişmiyormuş.
Bu çözümlerden yola çıkarak kendime yıllarca bazı şeyler sorup durdum. İtiraf edeyim bu konuları literatürde çok aratmadım ya da bu hayatımın problemidir diyip hayatımın kalanını buna adamayı düşünmedim. Akademiye girip bu alanda çalışmayı düşünmedim.
Çember denklemi o çemberin üzerindeki noktaları belirleyen matematiksel bir denklem olmalı. Yani düzlemde sırayla ya da rastgele noktalar seçersek buktaları bu denkleme koyarak o noktanın çemberin üzerinde olduğunu ya da olmadığını anlayabiliriz ve bu yöntem asla yanılmaz. İkinci bir çember denklemi daha aldığımızda yine aynı noktaları bu denkleme koyduğumuzda aynı noktaların bu çember üzerinde olup olmadığını da şüphesiz bulabiliriz. Genelde iki denklemi eşitlemekten beklentim çıkan denklemdeki noktaların başlangıçtaki iki denklemi de sağlaması olmasıdır ama en azından ikinci derece denklemlerde anlaşılan bu böyle olmuyor. Heralde genel olarak iki denklemi kabaca birbirine eşitlemek aynı anda bu iki denklemi sağlayan noktalar kümesini bulmak anlamına gelmiyor. Peki denklemleri eşitlemek ne anlama geliyor?
Belki de eşitlediğimizde bulduğumuz şeyler bu denklemleri bir başka şekilde sağlayan daha düşük dereceli matematiksel nesnelerdir. Mesela şöyle bir hayal kurayım. Varsayalım bir çember denklemi düzlemdeki bir doğru (herhangi bir tane ya da belki sonlu sayıda olabilir, şu an sadece doğaçlama yapıyorum) yardımıyla tanımlanabilsin. O zaman iki çember denklemi aldığımız zaman bunları eşitlediğimizde çıkan doğru bu iki çember denklemini de aynı anda tanımlayan (tabii ki her bir çemberin merkezine ve yarıçapına bağlı olan) doğru olabilir belki. Peki yukarıdaki örneklerde bulduğum doğru denklemlerinin anlamı neydi? Kısaca onlardan bahsedeyim.
Bu işlemleri görsel olarak geogebra ile hazırladım. Birinci örneğin linki burada. Burada Çıkan doğrunun üzerindeki herhangi bir G noktasından ve çemberlerin merkezlerinden geçen doğruları çizdiğimizde bu doğrular A çemberini H ve I noktalarında, B çemberini de J ve K noktalarında keserler. Şimdi GH ve GI doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına e, GJ ve GK doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına da i dersek, G noktasını çözüm doğrusu üzerinde kaydırdığımızda bu sayıların birbirine hep eşit olduklarını görürüz. Burada bahsettiğim çarpımlar lisede bir noktanın bir çembere olan kuvveti diye öğrendiğimiz terimdir. Yani kesişim doğrusu iki çembere de kuvvetleri eşit olan noktalar kümesiymiş.
Peki kesişmeyen iki çember için de bu kural geçerli mi? Yine geogebraya sordum (Matematiksel çıkarımı da zor değil aslında). Bu sefer örnekte bulduğum doğru üzerinde rastgele seçtiğim noktaya C dedim. Bu nokta ile A çemberinin merkezinden geçen doğrunun çemberi kestiği noktalara da D ve E dedim. Aynı şekilde B çemberi üzerindeki kesişim noktaları olarak da F ve G noktaları bulundu. Bu sefer CD ve CE doğru parçalarının uzunluklarının çarpımları, CF ve CG doğru parçalarının uzunlukları çarpımına eşit oldu. Bu da bir önceki örnekte bahsettiğim kuvvet formüllerine karşılık geliyor. Bu denemeyi de bu linkte kaydettim.
Aklıma gelen bir diğer soru da bu İki çemberin kesişmesinde ortaya çıkan doğrunun iki çemberin de ortak kuvvet doğrusu olması gözleminden çıkıyor. Bir çemberin aynı düzlemde verilen herhangi bir doğruya göre kullanışlı bir tanımı var mı? Bu tanımdan yola çıkarak kesişmeleri daha kolay anlaşılır hale getirebilir miyiz?
Bir matematikçi olmadığım için çok basit bir şeyi göremiyor olabilirim ama bu durumu anlamakta zorlanıyorum. Bir bilen bana doğru yolu gösterirse sevinirim. Bu anlayabileceğim bir şey mi yoksa her şey çenemi kapatıp hesaplamalara devam etmekten mi ibaret?