Bu yazı serisinde bazı denklemlerin ne anlama geldiğine çeşitli açılardan bakmayı düşünüyorum. Bilim iddia edildiği kadar karmaşık değildir belki de.
Hadi o zaman aşağıdaki denklemle başlayalım.
\({n \choose k} = {n \choose {n-k}}\)
Evet bu denklem kombinatorik alanından geliyor. Bu gösterim \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt küme sayısını ifade eder. Bu eşitliği lisede öğrenir ve binom açılımlarında sıklıkla kullanırız. Bu denkliği cebir ile göstermek kolaydır ve bunu yazının sonunda yapacağım. Bu yazıdaki asıl amacım ise bu eşitliğin ne demek olduğu üzerinde düşünmek.
Eşitliğin sol tarafı yukarıda da dediğim gibi \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor. Sağ tarafı da yine bu \(n \) elemanlı kümenin \(n-k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor.
\(n \) elemankı kümemizden her \(k \) elemanlı küme seçtiğimizde geriye seçmediğimiz (ya da dolaylı olarak seçtiğimiz) \(n-k \) eleman kalacaktır ve bu elemanlar da bir küme oluşturacaktır. Yani her \(k \) elemanlı bir altküme için yine \(n-k \) elemanlı bir altküme var. \(k \) elemanlı herhangi iki küme birbirinden farklı ise, yani ortak olmayan en az bir elemanları varsa o zaman bu altkümeler tarafından elde edilen \(n-k \) elemanlı altkümeler de birbirlerinden farklıdır. Bunu şöyle görebiliriz. Bu \(k \) elemanlı altkümelere \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) diyelim. Bunların dolaylı olarak oluşturduğu \(n-k \) elemanlı altkümelere de \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) diyelim. Şimdi \(a \) elemanı \(A_{1} \) altkümesinin bir elemanı olsun ama \(A_{2} \) altkümesinde bulunmasın. O zaman bu \(a \) elemanı \(B_{2} \) altkümesinde bulunacaktır ama \(B_{1} \) altkümesinde olmayacaktır. Bu nedenle \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de farklı olacaktır. Bu şekilde farklı her \(k \) elemanlı altküme için yine farklı bir \(n-k \) elemanlı bir altküme bulacağız. Demek ki \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı kadar olacak.
Yukarıdaki şekilde üst tarafta büyük kümenin (toplam 8 elemanı var) 5 elemanlı bir \(A_{1}\) altkümesini seçtim. Bu kümede bir \(a \) elemanı var ve diğer önemsiz elemanları sadece noktalarla gösterdim. Bu \(a \) elemanı 8 elemanlı kümede bir tane olabileceğinden \(B_{1} \) kümesinde \(a \) elemanı yoktur. Şeklin altında da bu 8 elemanlı kümeden başka bir 5 elemanlı bir altküme seçtim ama bu altkümede \(a \) elemanı bulunmamakta. O zaman bu eleman seçmediğim \(B_{2} \) altkümesinde olmak zorunda. \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) altkümeleri birbirlerinden farklı olacak şekilde seçilmişlerdi. Bu seçimler sonucunda elde ettiğimiz \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de birbirlerinden farklıdır, çünkü birinde (\(B_{2}\)) \(a \) elemanı varken diğerinde bu eleman yoktur.
Bu altküme seçiminin tersten de çalıştığını görebiliriz, yani \(n-k \) elemanlı bir altküme seçtiğimizde otomatik olarak kalan \(k \) elemanlı altkümeyi de seçmiş oluruz. O zaman bir önceki paragraftaki bütün çıkarımları \(k \) ile \(n-k \) değerlerinin yerlerini değiştirerek aynen kullanabiliriz. Böylece son cümleyi de \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(n-k \) elemanlı kümelerin sayısı kadar olmalı sonucuna ulaşacağız. Bu iki son cümle önermelerinin aynı anda doğru olduğu tek durum \(k \) ve \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayılarının eşit olması durumudur.
Şimdi de biraz cebir yapalım ve aynı eşitliği gösterelim:
\({n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}} \) (Tanım)
\(=\frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{k!}} \) (Çarpmanın değişme özelliği)
\(= \frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{(n-(n-k))!}} \) (\(n – (n – k) = n – n + k = k\))
\(={n \choose {n-k}}\) (Tanım)