Son zamanlarda karşıma çıkan bir üçgen problemi soru türü için kullandığım ama pek de memnun kalmadığım bir çözüm yöntemi üzerinde biraz düşüneceğim. Önce sorunun genel şeklinden biraz bahsedeyim:
Normal bir üçgen veriliyor ve üçgenin iç bölgesinde bir D noktası var. Bütün köşeleri bu D noktasına birleştiren doğru parçaları çiziliyor ve ABC üçgeninde oluşan altı iç açının dört tanesi veriliyor. Verilmeyen iki açıdan da biri soruluyor. Bazen yardımcı olsun diye buradaki altı kenar uzunluklarıyla ilgili bilgiler de veriliyor ama bu yazıda böyle bir bilgi verilmediğini varsayacağım.
Artık iyice yaşlandığımdan mıdır bilemeyeceğim ama bu soruları gördüğüm zaman aklıma doğrudan trigonometri kullanmak geliyor. Yoksa sentetik yollarla çok daha güzel ve kısa çözümler bulmak kolaydır. Eğer böyle bir çözüm gelirse aklıma onu da yazarım.
Şimdi yukarıdaki şekilde küçük harfle kenarların uzunluklarını belirtmiş olayım. Yani
\(|\overline{\rm AB} | = c\)
\(|\overline{\rm AC} | = b\)
\(|\overline{\rm BC} | = a\)
\(|\overline{\rm AD} | = k\)
\(|\overline{\rm BD} | = i\)
\(|\overline{\rm CD} | = j\)
Açılar da:
\(\angle{DAC} = \alpha \)
\(\angle{DAB} = \beta \)
\(\angle{ABD} = \gamma \)
\(\angle{CBD} = \delta \)
\(\angle{BCD} = \epsilon \)
\(\angle{ACD} = \zeta \)
ABD, BCD ve ACD üçgenlerinde sinüs teoremini uygularsak aşağıdaki başlangıç noktasına erişiriz:
Şimdi bu altı açıdan dört tanesi verilmiş olsun. Örneğin \(\gamma \) ve \(\delta \) bilinmiyor olsun, diğer açılar için sayısal değerler biliniyor olsun. Bu durumda eğer elimizde hesap makinesi, trigonometrik tablolar ya da sinüs değerleri bilinen basit açılar varsa, \(\frac{sin(\beta)\cdot {sin(\zeta)}}{sin(\alpha)\cdot {sin(\epsilon)}} \) ifadesinin sayısal değerini de biliriz. Bu değere \(x \) diyelim. O zaman ifademiz şu hale gelir:
\(\frac{sin(\delta)}{sin(\gamma)} = x \)
Bilinen açıların toplamını da biliyoruz tabii ki. O toplama da:
Yazının başlarında da dediğim gibi bu yöntem her zaman işe yaramasına rağmen test gibi sınavlarda çok kısıtlı bir yardım sağlayacaktır. İleride bu tip sorular için başka yöntemlere de bakacağım.
Bu animasyonda açıortaylarla oynamaya karar verdim. Yani verilen bir EAF açısını iki eşit açıya bölen AD doğrusunu çizdirdim. Daha sonra bu açıortay üzerinde bir D noktası aldım ve bu noktadan açının kolları üzerine düşen dikey DF ve DE doğrularını çizdirdim. Ardından geogebra’ya DE ve DF doğru parçalarının uzunluğunu ölçtürdüm. Ardından da bu D noktasını bir kaydırma bileşeniyle hareket ettirdim. Her yeni D noktası için geogebra DE ve DF uzunluklarını ölçüyor ve bu uzunluklar hep birbirine eşit oluyor. Bu deneyin hedefi de bunu göstermekti.
Bunu geometrik olarak görmek de kolay. ADE ve ADF diküçgenleri birbirine eşit olduklarından bu diker doğru parçalarının da uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.
Soruda kare şeklinde bir kağıttan katlayarak ve sonunda keserek nasıl eikenar üçgen yapılacağı soruluyordu.
Şekil 1. Kare içinde eşkenar üçgen
\(\triangle{ABG}\) üçgenini elde etmek için \(\overline{AE}\) ve\(\overline{BF}\) doğru parçalarını bulmamız gerekiyor. Bu katlamaları yaptıktan sonra makasla bu doğru parçaları üzerinde kesim yaparsak aradığımız eşkenar üçgeni elde etmiş oluruz. Aşağıdaki çözümde sadece \(\overline{AE}\) doğru parçasının nasıl bulunacağını göstereceğim. \(\overline{BF}\) doğru parçası da kağıdın diğer tarafından başlanarak simetrik işlemlerle aynen bulunabilir.
Şekil 2. İspat
Hedefimiz AD kenarını sağa doğru 30° katlamak. Bunu yaptığımız zaman D noktası G noktası üzerine gelecek. Bu durumda G noktasının yerini bulmamız gerekiyor. G noktasından AB kenarına bir paralel çizelim ve bu paralelin AD kenarını kestiği noktaya H diyelim. Ayrıca katlama sonunda AE kenarı da oluşacaktır. AH doğru parçasının uzunluğuna a, HD doğru parçasının uzunluğuna da b diyelim. Bu durumda karenin bir kenarının uzunluğu a+b olur.
AG kenarının uzunluğu da a+b’dir çünkü katlama sonunda AD kenarı bu kenarı oluşturur ve AD kenarının uzunluğu a+b’dir. Şimdi şekildeki bazı açıları hesaplayalayım.
\(\measuredangle{AHG}=90\textdegree \) çünkü \({GH}\parallel{DC} \) ve \(\measuredangle{HDC} = 90\textdegree \).
\(\triangle AHI \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani \(\measuredangle{HIA} +\measuredangle{IAH} +\measuredangle{AHI} = 180\textdegree \).
\(\measuredangle{AHI}=90\textdegree \) ve \(\measuredangle{IAH} = 30\textdegree \) ise \(\measuredangle{HIA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree \)
Bu durumda \(\triangle IGA \) üçgeni taban açıları eşit olduğundan (30°) ikizkenar üçgen olur. Şimdi I noktasından bu tabana bir dikme (IJ) indirelim. Bu dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bunu görmek için \(\triangle{AJI} \) ve \(\triangle{GJI} \) üçgenlerinin eş olduklarını görmek yeterli (Açı-Kenar-Açı). Eğer iki üçgen eşse o zaman aynı açıların karşılarındaki kenarlarda eşit uzunluktadır. Yani \(\lvert \overline{AJ} \rvert=\lvert \overline{JC} \rvert= \frac {a+b}{2} \).
Son olarak \(\triangle{AHI} \) ve \(\triangle{AJI} \) üçgenlerine bakarsak Açı-Kenar-Açı eşliğinden bu iki üçgenin de eş üçgenler olduğunu görürüz. Buradan da Yani \(\lvert \overline{AH} \rvert=\lvert \overline{AJ} \rvert= \frac {a+b}{2} = a \rightarrow a = b \) eşitliğine ulaşılır. Demek ki G noktası AD ve BC kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindeymiş.
Eşkenar üçgeni elde etmek için yapılacak adımlar:
1. kağıt CD kenarı AB kenarı üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
2. D köşesi bu yeni oluşan çizgi üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
3. Bir önceki adım C köşesi için tekrarlanır.
4. Oluşan son iki çizginin kesiştiği nokta birinci şekildeki gibi eşkenar üçgenin üçüncü köşesini verir.
Peki katlama işlemiyle bu eşkenar üçgenden daha büyük bir eşkenar üçgen elde edebilir miyiz? Evet!
Kare içine sığacak en büyük eşkenar üçgen tabii ki en uzun kenara sahip olandır. Şimdi birinci şekildeki üçgenin B köşesini karenin BC kenarı üzerinde hareket ettirmeye başlayalım.
Şekil 3. Daha büyük bir eşkenar üçgen mümkün
Üçgenin AB üzerindeki kenarını 15° döndürdüğümüzde kare içine sığan en büyük eşkenar üçgeni elde ederiz. AE kenarı tabii ki AB kenarından uzundur, dolayısı ile bu üçgen yukarıdaki çözümde bulunan üçgenden büyüktür.
Eğer \(\measuredangle{BAE} >15\textdegree \rightarrow \measuredangle{FAD} < 15\textdegree \)
Bu durumda AF kenarı AE kenarından kısa olur. Bu da üçgenin en uzun kenarının AF olmasını gerektirir, aksi durumda üçgen karenin sınırlarını aşar. Fakat bu AF kenarının uzunluğunun 15° için olan AF kenarından daha kısa olduğu da hemen görülebilir. Yani 15° döndürülmüş üçgen bu şekilde döndürülmüş üçgenler içinde en büyük alana sahip olanıdır.
Kare içindeki diğer bütün üçgenlerin (bir önceki çözümden büyük olabilecek) köşeleri karenin üç kenarı üzerinde olacaktır, yani karenin bir kenarı üzerinde üçgene ait nokta bulunmayacaktır. Bu üçgenleri de kabaca bir önceki en büyük üçgenle karşılaştırarak inceleyebiliriz.
Şekil 4. Daha da büyük bir eşkenar üçgen mümkün değil.
Eğer sorudan AEHD dikdörtgenini atarsak problem bir önceki probleme dönüşür. Elimizde artık daha küçük bir dikdörtgen olduğundan buraya sığdırabileceğimiz eşkenar üçgen daha önce bulduğumuzdan daha büyük olamayacaktır.
Şimdi en büyük eşkenar üçgenin nasıl katlanacağına bakalım.
Şekil 5. Nasıl katlamalı?
Kareyi önce ortasından EF doğrusu üzerinden ikiye katlayıp açalım. Şimdi AD kenarını D köşesi EF doğrusu üzerine düşecek şekilde katlayalım. Bu katlama AG doğrusunu oluşturacaktır. Bu durumda yukarıdaki şekli elde etmiş oluruz.
Katlama sırasında uzunluk değişmediğinden AD kenarı AH kenarı ile aynı uzunluktadır. Aynı işlem sağ tarafta da yapılsaydı BH kenarını da elde edecektik. Oluşan AHB üçgeninin her kenarı da a uzunluğunda olduğundan bu bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin her bir iç açısı 60°’dir. Dolayısıyla \(\measuredangle{BAH} = 60\textdegree \) olur.
Böylece aradığımız üçgenin bir kenarı olan AG kenarını bulmuş oluruz. Aynı yöntem daha sonra AB kenarı için de kullanılır ve eşkenar üçgenin BC kenarı üzerindeki ikinci köşesi de bulunur. Sonra bu köşeleri birleştiren son katlama ile son kenar da bulunmuş olur. Şimdi bu katlamaları da bir videoda görelim.
