- \(4^n + 15n – 1\) dokuza bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(4^0 + 15\cdot{0} – 1 = 1 + 0 – 1 = 0\)
Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\(4^{n+1} + 15(n + 1) – 1 = 4\cdot {4^n} + 15n + 15 – 1 = \)
\(4^n + 15n – 1 + 3\cdot{4^n} + 15 \)
İlk üç terimin dokuza bölündüğünü varsaymıştık. Son iki terimi incelememiz gerek.
\(3\cdot{4^n} + 15 = 3\cdot(3+1)^n + 15 = \)
\( 3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3} + 1) + 15 = \)
\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 3 + 15 = \)
\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 18 = \)
İlk terimin içi pozitif \(n \) değerleri için her zaman üçün kuvvetlerinin toplamı olacağından üçe bölünür. Bu durumda bütün terim de dokuza bölünür. 18 de dokuza bölündüğünden toplam da dokuza bölünür.
Böylece bütün ifade dokuza bölünür ve önermemiz doğruymuş.
2. \(5^{2n} + 24n – 1 \) kırksekize bölünür.
\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.
\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 = 5^0 + 0 – 1 = 1 – 1 = 0\)
Önerme 0 için doğru. O zaman şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru oluğ olmadığına bakalım.
\(5^{2(n+1)} + 24(n+1) – 1 = 5^{2n + 2} + 24n + 24 – 1 = \)
\(25\cdot{5^{2n}} + 24n + 24 – 1 = 5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24\cdot{5^{2n}} + 24 = \)
\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(5^{2n} + 1) = \)
Son terimin içi her zaman çift sayıdır. Bunu görmek için beşin bütün kuvvetlerinin 5 rakamı ile bittiğini gözlememiz yeterli. Yani terimin içindeki sayı her zaman 6 rakamıyla bitecektir ve bu da terimin çift sayı olduğunu gösterir. O zaman son terimi çift sayı formunda yazalım ve ifadeye tekrar bakalım.
\(5^{2n} + 1 = 2k\)
\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(2k) = \)
\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 48k \)
İlk üç terimin kırksekize bölündüğünü varsaymıştık ve son terim de kırksekize bölünüyor. O zaman toplamları da kırksekize bölünür ve böylece önermemiz ispat edilmiş oldu.
3. \(11^{n + 1} + 12^{2n-1}\) yüzotuzüçe bölünür.
Önce önermeyi \( n = 0 \) için deneyelim.
\(11^{0 + 1} + 12^{2\cdot{0} – 1} = 11^{1} + 12^{-1} \)
0 için önerme geçerli değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.
\(11^{1 + 1}+ 12^{2\cdot{1} – 1} = 11² + 12^{2\cdot{1} – 1} = \)
\(121 + 12^1 = 121 + 12 = 133 \)
Önerme demek 1 için doğruymuş. O zaman önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için test edelim.
\(11^{ n + 1 + 1} + 12^{2(n+1) – 1} = 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} = \)
\(11\cdot{11^{n+1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} = \)
\(11\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} + 133\cdot{11^{n + 1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)
\(144\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)
\(144(11^{n + 1} + 12^{2n-1}) – 133\cdot{11^{n + 1}} \)
Birinci terimin içi varsayımımızca 133’e bölünüyor. İkinci terim de 133’ün katı. Demek ki bütün ifade de 133’e bölünür. O zaman önermemiz sıfırdan büyük bütün doğal sayılar için doğrudur.
5. a bir doğal sayı olmak üzere \((2a – 1)^n – 1\) çifttir.
Önce n = 0 için önermeyi test edelim.
\((2a-1)^0 – 1 = 1 – 1 = 0\)
Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.
\((2a-1)^{n+1} – 1 = (2a-1)(2a – 1)^n – 1 = (2a – 1)^n – 1 + (2a-2)(2a – 1)^n = \)
\((2a – 1)^n – 1 + 2(a-1)(2a – 1)^n \)
İlk iki terimin çift olduğunu varsaymıştık zaten, son terim ise ikinin bir katı olduğundan o da çifttir. İki çift sayının toplamı da çifttir. Demek ki önermemiz doğruymuş.