ispat – Yılmaz Aksoy Blog

Tümevarım ve bölünebilme (5)

$4^n + 15n – 1$ dokuza bölünür.

$n = 0 $ için önermeyi deneyelim.

$4^0 + 15\cdot{0} – 1 = 1 + 0 – 1 = 0$

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermenin $n $ için doğru olduğunu varsayalım ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$4^{n+1} + 15(n + 1) – 1 = 4\cdot {4^n} + 15n + 15 – 1 = $

$4^n + 15n – 1 + 3\cdot{4^n} + 15 $

İlk üç terimin dokuza bölündüğünü varsaymıştık. Son iki terimi incelememiz gerek.

$3\cdot{4^n} + 15 = 3\cdot(3+1)^n + 15 = $

$ 3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3} + 1) + 15 = $

$3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 3 + 15 = $

$3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 18 = $

İlk terimin içi pozitif $n $ değerleri için her zaman üçün kuvvetlerinin toplamı olacağından üçe bölünür. Bu durumda bütün terim de dokuza bölünür. 18 de dokuza bölündüğünden toplam da dokuza bölünür.

Böylece bütün ifade dokuza bölünür ve önermemiz doğruymuş.

2. $5^{2n} + 24n – 1 $ kırksekize bölünür.

$n = 0 $ için önermeyi deneyelim.

$5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 = 5^0 + 0 – 1 = 1 – 1 = 0$

Önerme 0 için doğru. O zaman şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru oluğ olmadığına bakalım.

$5^{2(n+1)} + 24(n+1) – 1 = 5^{2n + 2} + 24n + 24 – 1 = $

$25\cdot{5^{2n}} + 24n + 24 – 1 = 5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24\cdot{5^{2n}} + 24 = $

$5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(5^{2n} + 1) = $

Son terimin içi her zaman çift sayıdır. Bunu görmek için beşin bütün kuvvetlerinin 5 rakamı ile bittiğini gözlememiz yeterli. Yani terimin içindeki sayı her zaman 6 rakamıyla bitecektir ve bu da terimin çift sayı olduğunu gösterir. O zaman son terimi çift sayı formunda yazalım ve ifadeye tekrar bakalım.

$5^{2n} + 1 = 2k$

$5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(2k) = $

$5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 48k $

İlk üç terimin kırksekize bölündüğünü varsaymıştık ve son terim de kırksekize bölünüyor. O zaman toplamları da kırksekize bölünür ve böylece önermemiz ispat edilmiş oldu.

3. $11^{n + 1} + 12^{2n-1}$ yüzotuzüçe bölünür.

Önce önermeyi $ n = 0 $ için deneyelim.

$11^{0 + 1} + 12^{2\cdot{0} – 1} = 11^{1} + 12^{-1} $

0 için önerme geçerli değilmiş. O zaman $n = 1 $ için deneyelim.

$11^{1 + 1}+ 12^{2\cdot{1} – 1} = 11² + 12^{2\cdot{1} – 1} = $

$121 + 12^1 = 121 + 12 = 133 $

Önerme demek 1 için doğruymuş. O zaman önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için test edelim.

$11^{ n + 1 + 1} + 12^{2(n+1) – 1} = 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} = $

$11\cdot{11^{n+1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} = $

$11\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} + 133\cdot{11^{n + 1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = $

$144\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = $

$144(11^{n + 1} + 12^{2n-1}) – 133\cdot{11^{n + 1}} $

Birinci terimin içi varsayımımızca 133’e bölünüyor. İkinci terim de 133’ün katı. Demek ki bütün ifade de 133’e bölünür. O zaman önermemiz sıfırdan büyük bütün doğal sayılar için doğrudur.

5. a bir doğal sayı olmak üzere $(2a – 1)^n – 1$ çifttir.

Önce n = 0 için önermeyi test edelim.

$(2a-1)^0 – 1 = 1 – 1 = 0$

Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$(2a-1)^{n+1} – 1 = (2a-1)(2a – 1)^n – 1 = (2a – 1)^n – 1 + (2a-2)(2a – 1)^n = $

$(2a – 1)^n – 1 + 2(a-1)(2a – 1)^n $

İlk iki terimin çift olduğunu varsaymıştık zaten, son terim ise ikinin bir katı olduğundan o da çifttir. İki çift sayının toplamı da çifttir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

Tümevarım ve bölünebilme (4)

$3n⁵ + 5n³ +7n$ onbeşe bölünür.

Önce $n = 0 $ için önermeyi test edelim.

$3\cdot {0^5} + 5\cdot {0^3} + 7 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermenin $n $ için doğru olduğunu varsayalım ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığını kontrol edelim.

$3(n+1)^5 + 5(n+1)^3 + 7(n+1) = $

$3(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) + 5(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 7n + 7 = $

$3n^5 + 5n^3 + 7n + 15n^4 + 45n^3 + 45n^2 + 15n + 15 = $

$3n^5 + 5n^3 + 7n + 15(n^4 + 3n^3 + 3n^2 + 1n + 1) $

İfadenin ilk kısmının onbeşe bölündüğünü varsaymıştık. İkinci kısım da onbeşin katı olduğundan tüm ifade onbeşe bölünmektedir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. $3^{2n} + 7$ sekize bölünür.

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

$3^{2\cdot 0} + 7 = 3^0 + 7 = 1 + 7 = 8$

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için önermenin doğruluğunun test edelim.

$3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n + 2} + 7 = 9\cdot 3^{2n} + 7 = $

$8\cdot 3^{2n} + 3^{2n} + 7 $

İfadenin ilk terimi sekizin katıdır ve kalanının da sekize bölündüğünü varsaymıştık. Demek ki önerme doğrudur.

3. $n^3 + 5n$ altıya bölünür

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

$0^3 + 5\cdot 0 = 0 + 0 = 0$

Önerme 0 için doğru. Şimdi $n $ için doğru olduğunu varsayalım ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$(n+1)^3 + 5(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = $

$n^3 + 5n + 3n^2 + 3n + 6 = n^3 + 5n + 3(n^2 + n) + 6 = $

$n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6$

$n(n+1) $ terimindeki $n $ ya da $n+1 $ sayısı çifttir, çünkü ardışıl olan iki tamsayıdan biri çift olmak zorundadır. O zaman bu çarpım da çift olmalıdır. Öyleyse son ifadeyi şu şekilde yazabiliriz.

$n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6 = n^3 + 5n + 3\cdot{2\cdot{k}} + 6 = $

$n^3 + 5n + 6k + 6 = n^3 + 5n + 6(k + 1) $

En sonunda elde ettiğimiz ifadenin ilk iki teriminin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Diğer terimi de altının katı olduğuna göre bütün ifade de altıya bölünür. Böylece önermemiz ispatlandı.

4. $n^4 – 4n^2 $ üçe bölünür.

Önce $n = 0 $ için önermeye bakalım.

$0^4 – 4\cdot {0^2} = 0 – 4\cdot 0 = 0 – 0 = 0$

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi $n $ için doğru olduğunu varsayıp $n+1 $ için doğruluğuna bakalım.

$(n+1)^4 – 4(n+1)^2 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 – 4(n^2 + 2n + 1) = $

$n^4 + 4n^3 + 2n^2 -4n = n^4 – 4n^2 + 6n^2 + 4n^3 – 4n = $

$n^4 – 4n^2 + 2n(2n^2 – 3n – 2) = n^4 – 4n^2 + 2n(2n + 1)(n – 2)$

İfadenin ilk iki teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. $2n(2n + 1)(n – 2) $ terimini inceleyelim şimdi. n sayısı üç değişik formdan biri olabilir. Önce $n = 3k $ şeklinde sayılara bakalım.

$2\cdot{3k}(2\cdot{3k} + 1)(3k -2) = 6k(6k + 1)(3k-2) $

Bu form her zaman üçe bölünür.

İkinci form $n = 3k + 1 $:

$2(3k + 1)(2\cdot(3k + 1) + 1)(3k -1) = 2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = $

$2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = 6(3k + 1)(2k + 1)(3k -1) $

Bu form da üçe bölünüyor.

Son olarak üçüncü form $n = 3k + 2 $:

$2(3k + 2)(2\cdot{(3k + 2)} + 1)(3k + 2 -2) = 2(3k + 2)(6k + 5)(3k) $

Bu form da üçe bölünüyor.

Demek ki elde ettiğimiz ifade her durumda üçe bölünür ve önermemiz doğru.

5. $10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5$ dokuza bölünür.

Önce $n = 0 $ için önermeyi test edelim.

$10^0 + 3\cdot{4^{0+2}} + 5 = 1 + 3\cdot{4^2} + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = $

$1 + 48 + 5 = 54 $

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi $n $ için doğru varsayalım ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$10^{n+1} + 3\cdot{4^{n + 1+2}} + 5 = 10\cdot{10^n} + 3\cdot{4\cdot{4^{n+2}}} + 5 = $

$ 10\cdot{10^n} + 12\cdot{4^{n+2}} + 5 = 10^n + 9\cdot{10^n} + 3\cdot{4^{n+2}} + 9\cdot{4^{n+2}} + 5 = $

$10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5 + 9(10^n + 4^{n+2}) $

İfadedeki son terim dokuzun katıdır ve diğer kısım da dokuza bölündüğünü varsaydığımız ifadeye eşit. Demek ki bütün ifade dokuza bölünüyor ve önerme doğru.

Tümevarım ve bölünebilme (3)

$5^{2n} – 3^{2n} $ sekize bölünür.

Önermeyi $n = 0 $ için test edelim.

$5^{2\cdot 0} – 3^{2\cdot 0} = 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0$

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığını araştıralım.

$5^{2\cdot(n+1)} – 3^{2\cdot(n+1)} = 5^{2n+2} – 3^{2n+2} = $

$25\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} = 16\cdot 5^{2n} + 9\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} $

$16\cdot 5^{2n} + 9(5^{2n} – 3^{2n}) $

İlk terim onlatının katı olduğundan sekize de bölünür. Diğer terimin de sekize bölündüğünü zaten kabul etmiştik. Demek ki önerme doğruymuş. Aslında aynı şekilde bu ifadenin onaltıya bölündüğünü de ispatlayabilirdik.

2. $2^{3n} + 13 $ yediye bölünür.

$n = 0 $ için önermeyi deneyelim.

$2^{3\cdot 0} + 13 = 2^0 + 13 = 1 + 13 = 14 $

Önerme $n = 0 $ için doğruymuş. Şimdi $n $ için önermeyi doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n+3} + 13 = 8\cdot 2^{3n} + 13 = $

$7\cdot 2^{3n} + 2^{3n} + 13 $

İlk terim yediye bölünür, geri kalan terimlerin de yediye bölündüğünü varsaymıştık. O zaman önermemiz doğru demektir.

3. $a $ birden büyük bir doğal sayı ise $a ^ {n} – 1 $ $a – 1$’e bölünür.

Önce önermeyi $n = 0 $ için deneyelim.

$ a^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru olup olmadığına bakalım.

$a^{n+1) – 1 = a\cdot a^n – 1 = a^n – 1 + (a – 1)a^n $

Son terim $a – 1 $ sayısına bölünür. Soldaki terimin de $a – 1 $ sayısına bölündüğünü kabul etmiştik. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4. $n^7 – n $ yediye bölünür.

$n = 0 $ için deneyelim.

$0^7 – 0 = 0 – 0 = 0 $

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermeyi $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğruluğunu test edelim.

$(n+1)^7 – (n+1) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 – n – 1 = $

$n^7 – n + 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) $

İlk baştaki iki terimin yediye bölündüğünü varsaymıştık. Kalan terim de yedinin katı olduğunda bu ifade de yediye bölünüyor. Demek ki önerme doğruymuş.

5. $3^{n+1} + 2^{3n + 1} $ beşe bölünür.

Önce $n = 0 $ için önermeyi deneyelim.

$3^{0 + 1} + 2^{3\cdot 0 + 1} = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 $

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi bunu $n $ için doğru kabul edelim ve $n + 1 $ için doğru mu diye bakalım.

$3^{n + 1 + 1} + 2^{3(n+1) + 1} = 3^{n+2} + 2^{3n + 4} = $

$3\cdot 3^{n + 1} + 8\cdot 2^{3n + 1} = $

$3\cdot 3^{n + 1} + 3\cdot 2^{3n + 1} + 5\cdot 2^{3n + 1} = $

$3(3^{n+1} + 2^{3n + 1}) + 5\cdot 2^{3n + 1} $

İlk terim varsayımımız nedeniyle beşe bölünüyor ve ikinci terim de beşin katı olduğundan önermemiz doğrudur.

Tümevarım ve bölünebilme (2)

$n^3 – 6n² + 14n$ üçe bölünür

$n = 0$ için önermeyi deneyelim.

$0³ – 6\cdot 0² + 14\cdot 0 = 0 – 0 + 0 = 0$

Önerme 0 için doğru. Şimdi $n $ için doğru olduğunu kabul edip $n + 1 $ için önermeyi test edelim.

$(n+1)³ – 6(n+1)² + 14(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – 6n² – 12n – 6 + 14n + 14 $

$= n³ -3n² + 5n + 15 $

Bu ifadeyi değerini değiştirmeden önermede verilen formu elde edecek şekilde dönüştürelim.

$ n³ -3n² + 5n + 15 = n³ – 3n² – 3n² + 3n² + 5n + 9n – 9n + 15 $

$= n³ – 6n² + 14n + 3n² – 9n + 15 = n³ -6n² + 14n + 3(n² – 3n +5)$

İfadenin ilk kısmının üçe bölündüğünü varsaymıştık ve ikinci kısım da üçe bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. $3^n – 3$ altıya bölünür

Önermeyi önce n = 0 için deneyelim.

$3⁰ – 3 = 1 – 3 = -2 $

-2 altıya bölünmez demek ki önermemiz 0 için doğru değilmiş. O zaman $n = 1 $ için deneyelim.

$3¹ – 3 = 3 – 3 = 0$

Demek ki önermemiz 1 için doğruymuş. Şimdi önermeyi birden büyük n değerleri için doğru kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

$3 ^ {n+1} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 – 6 + 6 $

$= 3\cdot 3^{n} – 9 + 6 = 3(3^{n} – 3) + 6$

İçerideki terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Bu durumda bütün ifade de altıya bölünür ve böylece önermemizin sıfırdan büyük n değerleri için doğru olduğunu göstermiş olduk.

3. $n³ + (n+1)³ + (n+2)³$ dokuza bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

$0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1+ 8 = 9$

Demek ki $n = 0 $ için önerme doğru. Şimdi $n $ için de doğru olduğunu var sayalım ve $n + 1 $ için doğruluğunu test edelim.

$(n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ = (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 81 $

$= n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + 9(n² + 3n + 9)$

Baştaki terim dokuza bölündüğünü varsaydığımız kısım, sondaki terim de dokuza bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4.$7^{2n} – 2^{n}$ kırkyediye bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

$7⁰ – 2⁰ = 1 – 1 = 0$

Önerme 0 için doğru. Şimdi n için doğru olduğunu kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

$7^{2(n+1)} – 2^{n+1} = 7^{2n + 2} – 2^{n+1} = 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} $

$= 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} – 47\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n} $

$= 49\cdot 7^{2n} – 49\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n}$

Soldaki ifadenin kırkyediye bölündüğünü varsaymıştık ve sağdaki terim de kırkyediye bölünüyor. O zaman önerme doğruymuş.

5. $5^n + 7$ dörde bölünür.

$n = 0 $ için önermeyi kontrol edelim.

$5⁰ + 7 = 1 + 7 = 8$

$n = 0 $ için önerme doğruymuş. O zaman $n $ için doğru olduğunu kabul edip $n + 1 $ için test edelim.

$5^{n+1} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 + 28 – 28 = 5\cdot 5^{n} + 35 – 28 = 5\cdot (5^{n} + 7) – 28 $

İçerideki terimin dörde bölündüğünü kabul etmiştik. 28 de dörde bölündüğünden bütün ifade de dörde bölünür. Demek ki önermemiz doğruymuş.

Origami (Çözüm) – Kareden eşkenar üçgen nasıl elde edilir?

Soruda kare şeklinde bir kağıttan katlayarak ve sonunda keserek nasıl eikenar üçgen yapılacağı soruluyordu.

Şekil 1. Kare içinde eşkenar üçgen

$\triangle{ABG}$ üçgenini elde etmek için $\overline{AE}$ ve$\overline{BF}$ doğru parçalarını bulmamız gerekiyor. Bu katlamaları yaptıktan sonra makasla bu doğru parçaları üzerinde kesim yaparsak aradığımız eşkenar üçgeni elde etmiş oluruz. Aşağıdaki çözümde sadece $\overline{AE}$ doğru parçasının nasıl bulunacağını göstereceğim. $\overline{BF}$ doğru parçası da kağıdın diğer tarafından başlanarak simetrik işlemlerle aynen bulunabilir.

Şekil 2. İspat

Hedefimiz AD kenarını sağa doğru 30° katlamak. Bunu yaptığımız zaman D noktası G noktası üzerine gelecek. Bu durumda G noktasının yerini bulmamız gerekiyor. G noktasından AB kenarına bir paralel çizelim ve bu paralelin AD kenarını kestiği noktaya H diyelim. Ayrıca katlama sonunda AE kenarı da oluşacaktır. AH doğru parçasının uzunluğuna a, HD doğru parçasının uzunluğuna da b diyelim. Bu durumda karenin bir kenarının uzunluğu a+b olur.

AG kenarının uzunluğu da a+b’dir çünkü katlama sonunda AD kenarı bu kenarı oluşturur ve AD kenarının uzunluğu a+b’dir. Şimdi şekildeki bazı açıları hesaplayalayım.

$\measuredangle{AHG}=90\textdegree $ çünkü ${GH}\parallel{DC} $ ve $\measuredangle{HDC} = 90\textdegree $.

$\triangle AHI $ üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani $\measuredangle{HIA} +\measuredangle{IAH} +\measuredangle{AHI} = 180\textdegree $.

$\measuredangle{AHI}=90\textdegree $ ve $\measuredangle{IAH} = 30\textdegree $ ise $\measuredangle{HIA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree $

$\measuredangle{GIE} = 60\textdegree $ çünkü $\measuredangle{GIE} = \measuredangle{HIA} $ (ters açılar).

$\triangle{ADE} $ üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani $\measuredangle {DEA} +\measuredangle{ADE} +\measuredangle{EAD} = 180\textdegree \rightarrow \measuredangle{DEA} =180\textdegree -\measuredangle{ADE} -\measuredangle{EAD} \rightarrow \measuredangle{DEA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree $.

Kenar-Kenar-Kenar eşliğinden $\triangle{ADE}\cong{\triangle{AGE}} $. Bu durumda $\measuredangle{DEA} = \measuredangle{GEA} = 60\textdegree $.

$\triangle{EGI} $ üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani $\measuredangle {EGI} +\measuredangle{GIE} +\measuredangle{IEG} = 180\textdegree \rightarrow \measuredangle{EGI} =180\textdegree -\measuredangle{GIE} -\measuredangle{IEG} \rightarrow \measuredangle{EGI} = 180\textdegree – 60\textdegree – 60\textdegree = 60\textdegree $.

$\angle{EGI} $ ve $\angle{IGA} $ tümler açılar olduğundan $\measuredangle{EGI} + \measuredangle{IGA} = 90\textdegree \rightarrow\measuredangle{IGA} = 90\textdegree – \measuredangle{EGI} = 90\textdegree – 60\textdegree = 30\textdegree $

Bu durumda $\triangle IGA $ üçgeni taban açıları eşit olduğundan (30°) ikizkenar üçgen olur. Şimdi I noktasından bu tabana bir dikme (IJ) indirelim. Bu dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bunu görmek için $\triangle{AJI} $ ve $\triangle{GJI} $ üçgenlerinin eş olduklarını görmek yeterli (Açı-Kenar-Açı). Eğer iki üçgen eşse o zaman aynı açıların karşılarındaki kenarlarda eşit uzunluktadır. Yani $\lvert \overline{AJ} \rvert=\lvert \overline{JC} \rvert= \frac {a+b}{2} $.

Son olarak $\triangle{AHI} $ ve $\triangle{AJI} $ üçgenlerine bakarsak Açı-Kenar-Açı eşliğinden bu iki üçgenin de eş üçgenler olduğunu görürüz. Buradan da Yani $\lvert \overline{AH} \rvert=\lvert \overline{AJ} \rvert= \frac {a+b}{2} = a \rightarrow a = b $ eşitliğine ulaşılır. Demek ki G noktası AD ve BC kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindeymiş.

Eşkenar üçgeni elde etmek için yapılacak adımlar:

1. kağıt CD kenarı AB kenarı üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.

2. D köşesi bu yeni oluşan çizgi üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.

3. Bir önceki adım C köşesi için tekrarlanır.

4. Oluşan son iki çizginin kesiştiği nokta birinci şekildeki gibi eşkenar üçgenin üçüncü köşesini verir.

Peki katlama işlemiyle bu eşkenar üçgenden daha büyük bir eşkenar üçgen elde edebilir miyiz? Evet!

Kare içine sığacak en büyük eşkenar üçgen tabii ki en uzun kenara sahip olandır. Şimdi birinci şekildeki üçgenin B köşesini karenin BC kenarı üzerinde hareket ettirmeye başlayalım.

Şekil 3. Daha büyük bir eşkenar üçgen mümkün

Üçgenin AB üzerindeki kenarını 15° döndürdüğümüzde kare içine sığan en büyük eşkenar üçgeni elde ederiz. AE kenarı tabii ki AB kenarından uzundur, dolayısı ile bu üçgen yukarıdaki çözümde bulunan üçgenden büyüktür.

$\frac{90\textdegree – 60\textdegree}{2} = 15\textdegree $

Eğer $\measuredangle{BAE} >15\textdegree \rightarrow \measuredangle{FAD} < 15\textdegree $

Bu durumda AF kenarı AE kenarından kısa olur. Bu da üçgenin en uzun kenarının AF olmasını gerektirir, aksi durumda üçgen karenin sınırlarını aşar. Fakat bu AF kenarının uzunluğunun 15° için olan AF kenarından daha kısa olduğu da hemen görülebilir. Yani 15° döndürülmüş üçgen bu şekilde döndürülmüş üçgenler içinde en büyük alana sahip olanıdır.

Kare içindeki diğer bütün üçgenlerin (bir önceki çözümden büyük olabilecek) köşeleri karenin üç kenarı üzerinde olacaktır, yani karenin bir kenarı üzerinde üçgene ait nokta bulunmayacaktır. Bu üçgenleri de kabaca bir önceki en büyük üçgenle karşılaştırarak inceleyebiliriz.

Şekil 4. Daha da büyük bir eşkenar üçgen mümkün değil.

Eğer sorudan AEHD dikdörtgenini atarsak problem bir önceki probleme dönüşür. Elimizde artık daha küçük bir dikdörtgen olduğundan buraya sığdırabileceğimiz eşkenar üçgen daha önce bulduğumuzdan daha büyük olamayacaktır.

Şimdi en büyük eşkenar üçgenin nasıl katlanacağına bakalım.

Şekil 5. Nasıl katlamalı?

Kareyi önce ortasından EF doğrusu üzerinden ikiye katlayıp açalım. Şimdi AD kenarını D köşesi EF doğrusu üzerine düşecek şekilde katlayalım. Bu katlama AG doğrusunu oluşturacaktır. Bu durumda yukarıdaki şekli elde etmiş oluruz.

Katlama sırasında uzunluk değişmediğinden AD kenarı AH kenarı ile aynı uzunluktadır. Aynı işlem sağ tarafta da yapılsaydı BH kenarını da elde edecektik. Oluşan AHB üçgeninin her kenarı da a uzunluğunda olduğundan bu bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin her bir iç açısı 60°’dir. Dolayısıyla $\measuredangle{BAH} = 60\textdegree $ olur.

$\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} + \measuredangle{BAH} = 90 \textdegree $

$\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} + 60 \textdegree = 90 \textdegree $

$\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} = 30 \textdegree $

$\triangle{DAG} \cong{ \triangle{HAG}} $ (Kenar-Kenar-Kenar eşliği)

$\measuredangle{GAD} = \measuredangle{HAG} = \frac{30\textdegree}{2} = 15\textdegree $

Böylece aradığımız üçgenin bir kenarı olan AG kenarını bulmuş oluruz. Aynı yöntem daha sonra AB kenarı için de kullanılır ve eşkenar üçgenin BC kenarı üzerindeki ikinci köşesi de bulunur. Sonra bu köşeleri birleştiren son katlama ile son kenar da bulunmuş olur. Şimdi bu katlamaları da bir videoda görelim.

Video 2. En büyük eşkenar üçgeni katlama