Soruda kare şeklinde bir kağıttan katlayarak ve sonunda keserek nasıl eikenar üçgen yapılacağı soruluyordu.
Şekil 1. Kare içinde eşkenar üçgen
\(\triangle{ABG}\) üçgenini elde etmek için \(\overline{AE}\) ve\(\overline{BF}\) doğru parçalarını bulmamız gerekiyor. Bu katlamaları yaptıktan sonra makasla bu doğru parçaları üzerinde kesim yaparsak aradığımız eşkenar üçgeni elde etmiş oluruz. Aşağıdaki çözümde sadece \(\overline{AE}\) doğru parçasının nasıl bulunacağını göstereceğim. \(\overline{BF}\) doğru parçası da kağıdın diğer tarafından başlanarak simetrik işlemlerle aynen bulunabilir.
Hedefimiz AD kenarını sağa doğru 30° katlamak. Bunu yaptığımız zaman D noktası G noktası üzerine gelecek. Bu durumda G noktasının yerini bulmamız gerekiyor. G noktasından AB kenarına bir paralel çizelim ve bu paralelin AD kenarını kestiği noktaya H diyelim. Ayrıca katlama sonunda AE kenarı da oluşacaktır. AH doğru parçasının uzunluğuna a, HD doğru parçasının uzunluğuna da b diyelim. Bu durumda karenin bir kenarının uzunluğu a+b olur.
AG kenarının uzunluğu da a+b’dir çünkü katlama sonunda AD kenarı bu kenarı oluşturur ve AD kenarının uzunluğu a+b’dir. Şimdi şekildeki bazı açıları hesaplayalayım.
\(\measuredangle{AHG}=90\textdegree \) çünkü \({GH}\parallel{DC} \) ve \(\measuredangle{HDC} = 90\textdegree \).
\(\triangle AHI \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani \(\measuredangle{HIA} +\measuredangle{IAH} +\measuredangle{AHI} = 180\textdegree \).
\(\measuredangle{AHI}=90\textdegree \) ve \(\measuredangle{IAH} = 30\textdegree \) ise \(\measuredangle{HIA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree \)
\(\measuredangle{GIE} = 60\textdegree \) çünkü \(\measuredangle{GIE} = \measuredangle{HIA} \) (ters açılar).
\(\triangle{ADE} \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani \(\measuredangle {DEA} +\measuredangle{ADE} +\measuredangle{EAD} = 180\textdegree \rightarrow \measuredangle{DEA} =180\textdegree -\measuredangle{ADE} -\measuredangle{EAD} \rightarrow \measuredangle{DEA} = 180\textdegree – 90\textdegree – 30\textdegree = 60\textdegree \).
Kenar-Kenar-Kenar eşliğinden \(\triangle{ADE}\cong{\triangle{AGE}} \). Bu durumda \(\measuredangle{DEA} = \measuredangle{GEA} = 60\textdegree \).
\(\triangle{EGI} \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°’dir yani \(\measuredangle {EGI} +\measuredangle{GIE} +\measuredangle{IEG} = 180\textdegree \rightarrow \measuredangle{EGI} =180\textdegree -\measuredangle{GIE} -\measuredangle{IEG} \rightarrow \measuredangle{EGI} = 180\textdegree – 60\textdegree – 60\textdegree = 60\textdegree \).
\(\angle{EGI} \) ve \(\angle{IGA} \) tümler açılar olduğundan \(\measuredangle{EGI} + \measuredangle{IGA} = 90\textdegree \rightarrow\measuredangle{IGA} = 90\textdegree – \measuredangle{EGI} = 90\textdegree – 60\textdegree = 30\textdegree \)
Bu durumda \(\triangle IGA \) üçgeni taban açıları eşit olduğundan (30°) ikizkenar üçgen olur. Şimdi I noktasından bu tabana bir dikme (IJ) indirelim. Bu dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bunu görmek için \(\triangle{AJI} \) ve \(\triangle{GJI} \) üçgenlerinin eş olduklarını görmek yeterli (Açı-Kenar-Açı). Eğer iki üçgen eşse o zaman aynı açıların karşılarındaki kenarlarda eşit uzunluktadır. Yani \(\lvert \overline{AJ} \rvert=\lvert \overline{JC} \rvert= \frac {a+b}{2} \).
Son olarak \(\triangle{AHI} \) ve \(\triangle{AJI} \) üçgenlerine bakarsak Açı-Kenar-Açı eşliğinden bu iki üçgenin de eş üçgenler olduğunu görürüz. Buradan da Yani \(\lvert \overline{AH} \rvert=\lvert \overline{AJ} \rvert= \frac {a+b}{2} = a \rightarrow a = b \) eşitliğine ulaşılır. Demek ki G noktası AD ve BC kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindeymiş.
Eşkenar üçgeni elde etmek için yapılacak adımlar:
1. kağıt CD kenarı AB kenarı üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
2. D köşesi bu yeni oluşan çizgi üzerine gelecek şekilde katlanır ve geri açılır.
3. Bir önceki adım C köşesi için tekrarlanır.
4. Oluşan son iki çizginin kesiştiği nokta birinci şekildeki gibi eşkenar üçgenin üçüncü köşesini verir.
Peki katlama işlemiyle bu eşkenar üçgenden daha büyük bir eşkenar üçgen elde edebilir miyiz? Evet!
Kare içine sığacak en büyük eşkenar üçgen tabii ki en uzun kenara sahip olandır. Şimdi birinci şekildeki üçgenin B köşesini karenin BC kenarı üzerinde hareket ettirmeye başlayalım.
Şekil 3. Daha büyük bir eşkenar üçgen mümkün
Üçgenin AB üzerindeki kenarını 15° döndürdüğümüzde kare içine sığan en büyük eşkenar üçgeni elde ederiz. AE kenarı tabii ki AB kenarından uzundur, dolayısı ile bu üçgen yukarıdaki çözümde bulunan üçgenden büyüktür.
\(\frac{90\textdegree – 60\textdegree}{2} = 15\textdegree \)
Eğer \(\measuredangle{BAE} >15\textdegree \rightarrow \measuredangle{FAD} < 15\textdegree \)
Bu durumda AF kenarı AE kenarından kısa olur. Bu da üçgenin en uzun kenarının AF olmasını gerektirir, aksi durumda üçgen karenin sınırlarını aşar. Fakat bu AF kenarının uzunluğunun 15° için olan AF kenarından daha kısa olduğu da hemen görülebilir. Yani 15° döndürülmüş üçgen bu şekilde döndürülmüş üçgenler içinde en büyük alana sahip olanıdır.
Kare içindeki diğer bütün üçgenlerin (bir önceki çözümden büyük olabilecek) köşeleri karenin üç kenarı üzerinde olacaktır, yani karenin bir kenarı üzerinde üçgene ait nokta bulunmayacaktır. Bu üçgenleri de kabaca bir önceki en büyük üçgenle karşılaştırarak inceleyebiliriz.
Şekil 4. Daha da büyük bir eşkenar üçgen mümkün değil.
Eğer sorudan AEHD dikdörtgenini atarsak problem bir önceki probleme dönüşür. Elimizde artık daha küçük bir dikdörtgen olduğundan buraya sığdırabileceğimiz eşkenar üçgen daha önce bulduğumuzdan daha büyük olamayacaktır.
Şimdi en büyük eşkenar üçgenin nasıl katlanacağına bakalım.
Şekil 5. Nasıl katlamalı?
Kareyi önce ortasından EF doğrusu üzerinden ikiye katlayıp açalım. Şimdi AD kenarını D köşesi EF doğrusu üzerine düşecek şekilde katlayalım. Bu katlama AG doğrusunu oluşturacaktır. Bu durumda yukarıdaki şekli elde etmiş oluruz.
Katlama sırasında uzunluk değişmediğinden AD kenarı AH kenarı ile aynı uzunluktadır. Aynı işlem sağ tarafta da yapılsaydı BH kenarını da elde edecektik. Oluşan AHB üçgeninin her kenarı da a uzunluğunda olduğundan bu bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin her bir iç açısı 60°’dir. Dolayısıyla \(\measuredangle{BAH} = 60\textdegree \) olur.
\(\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} + \measuredangle{BAH} = 90 \textdegree \)
\(\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} + 60 \textdegree = 90 \textdegree \)
\(\measuredangle{GAD} + \measuredangle{HAG} = 30 \textdegree \)
\(\triangle{DAG} \cong{ \triangle{HAG}} \) (Kenar-Kenar-Kenar eşliği)
\(\measuredangle{GAD} = \measuredangle{HAG} = \frac{30\textdegree}{2} = 15\textdegree \)
Böylece aradığımız üçgenin bir kenarı olan AG kenarını bulmuş oluruz. Aynı yöntem daha sonra AB kenarı için de kullanılır ve eşkenar üçgenin BC kenarı üzerindeki ikinci köşesi de bulunur. Sonra bu köşeleri birleştiren son katlama ile son kenar da bulunmuş olur. Şimdi bu katlamaları da bir videoda görelim.