Martin Nowak evolutionary dynamics kitabında üremeyi şöyle basitçe modeller:
\(\dot{x} = \frac{dx}{dt} = r\cdot x \)
Burada \(x \) değişkeni türün nüfusunu belirtiyor. Dolayısıyla \(\dot{x} \) terimi de türün nüfusunun zamana göre değişimini gösteriyor, yani zaman geçtikçe nüfusunun ne kadar arttığını ya da azaldığını ifade ediyor. Bu artış ya da azalış da o anki nüfusun sabit bir \(r \) sayısıyla çarpımına eşit olduğu bir modelle gösterilsin diyor. Bu arada doğum ve ölüm oranlarının çoğalma katsayısında olduğunu da unutmamak lazım. Yani aradaki fark çoğalmayı veriyor ve bu fark aslında nüfusun azalması da demek olabilir.
Bu şekildeki bir modelde nüfus artışı tabii ki üssel bir davranış gösterecektir.
\(r = 1.1 \) değeri için yukarıdaki grafiği elde ettim. Toplamda yirmi adım bile gidilmeden nüfus bir milyonu geçti. Böyle bir ortamda bütün türler aynı hızda çoğalırdı ama. Nowak hemen sonra gelen seçilim kısmının başında “seçilim değişik türlerin bireyli değişik oranlarda çoğalırsa meydana gelir” diyor. Eğer her tür aynı oranda çoğalsaydı nüfuslarını birbirlerinden ayıran tek fark başlangıçtaki nüfusları olacaktı. Diğer bir deyişle nüfusların başlangıçtaki oranları nesiller geçtikçe hiç değişmeyecekti. Bu durumda gerçekten de bir seçilimden bahsetmek zor olabilir.
İkinci cümlede ise seçilim olması için en az iki tür olmalıdır diyor. Bu da seçimden bahsedilebilmesi için anlaşılır bir varsayım hatta tanım bile olabilir.
O zaman iki türden oluşan modeli şöyle veriyor:
\(\dot{x} = a\cdot {x}\)
\(\dot{y} = b\cdot {y}\)
Burada \(a > b \) ise birinci tür ikinci türden çok daha hızlı üreyecektir ve zaman geçtikçe birinci türün nüfusunun ikinci türün nüfusuna oranı sürekli artacaktır. \(b > a \) olduğu durumda da tersi senaryo gözlenecektir.
Tabii ki her türün sınırsız büyüdüğü modeller pek gerçekçi değil. Ekosistemimizin maksimum birey sayısına sahip olduğunu varsayalım ve modelimizi buna uygun hale getirelim. Bu modelde toplam bir sayıdan bahsetmek yerine nüfus oranları kullanılacak. Yine aynı değişkenleri kullanıyoruz ama artık \(x \) değişkeni birinci türün nüfusunu değil de birinci türün nüfusunun toplam birey sayısına oranını veriyor. Bu oranlar haliyle minimum 0 ve maksimum 1 değerine sahip olabilirler.
Kitapta bunun için şu model veriliyor:
\(\dot{x} = a\cdot {(x-\phi)}\)
\(\dot{y} = b\cdot {(y- \phi)}\)
Buradaki \(\phi \) teriminin görevi türlerin nüfuslarının oranlarının toplamını 1 değerinde sabit tutmak. Bunu sağlamak için de
\(\phi = a\cdot {x} + b\cdot{y} \)
eşitliğinin sağlanması gerekiyor. Yani her adımda \(\phi \) değeri o adımdaki nüfusların oranına göre tekrar hesaplanıyor.
Aşağıdaki python programıyla bu modeli denedim.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = 1.1
b = 1.3
number_of_iterations = 100
def constrainedA(x, phi) :
return x*(a - phi)
def constrainedB(y, phi) :
return y*(b - phi)
def phi(x, y):
return a*x + b*y;
x = 0.5
y = 0.5
x_population = np.array([[0, x]])
y_population = np.array([[0, y]])
total = np.array([[0, x+y]])
for i in range(0, number_of_iterations):
phi_value = phi(x, y)
delta_x = constrainedA(x, phi_value)
delta_y = constrainedB(y, phi_value)
x += delta_x
y += delta_y
x_population = np.append(x_population, np.array([[i, x]]), axis = 0)
y_population = np.append(y_population, np.array([[i, y]]), axis = 0)
total = np.append(total, np.array([[i, x+y]]), axis = 0)
plt.plot(x_population[:, 0], x_population[:, 1])
plt.plot(y_population[:, 0], y_population[:, 1])
plt.plot(total[:, 0], total[:, 1])
plt.xlabel("zaman")
plt.ylabel("nüfus")
#plt.plot(y_population[:, 0], y_population[:, 1])
plt.show()
Sonuç olarak da şu grafiği elde ettim:
Bu programda adım sayısını 20’den 100’e yükselttim. Bu sayede türlerin birinin diğerini ekosistemden nasıl sildiğini görebiliyoruz. Kırmızı çizgiyle gösterilen türün çoğalma katsayısı 1.3, mavi çizgiyle gösterilen türünkü ise 1.1 idi. Yeşi çizgi de nüfus oranlarının toplamını gösteriyor ve sürekli 1 değerine sahip.
Martin Nowak bu modeli daha iyinin hayatta kalmasına (Survival of the fitter) örnek olarak veriyor. Gerçekten de bu modelde daha iyi çoğalma yeteneğine kalan tür hayatta kalıyor ve diğeri yok oluyor. Sonra aynı modeli ikiden fazla tür için kurup bu sefer de en iyinin hayatta kalması (Survival of the fittest) fikrini gösteriyor. Bu modelde iki genellemeye gidiyor:
\(\phi = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot {f_{i}} \)
\(\dot{x_{i}} = x_{i} \cdot (f_{i} – \phi) \)
Bu modelde \(x_{i}\) i numaralı türün nüfus oranını \(f_{i}\) de aynı türün çoğalma fonksiyonunu (fitness) gösteriyor. Modelin gerisi aynı şekilde çalıştırılıyor.
Bu noktadan sonra Nowak iki yeni durum için modelimiz nasıl olmalı diye bir soru soruyor:
- Ekosistemdeki ilk mevcut tür daha sonradan gelen tür ne kadar iyi olursa olsun mücadeleyi kazansın (Survival of the first)
- Ekosistemdeki her tür hayatta kalsın (Survival of all)
Bu durumda Nowak doğrusal fitness fonksiyonu şartından vazgeçmemiz gerekir diyor ve şu modeli sunuyor:
\(\dot{x} = a\cdot {x^c}-\phi \cdot {x}\)
\(\dot{y} = b\cdot {y^c}- \phi \cdot {y}\)
Bu modelde nüfus oranlarının toplamını sabitlemek için şu eşitliğe ihtiyacımız var:
\(\phi = a\cdot{x^c} + b\cdot {y^c} \)
Modeldeki \(c \) sabitinin birden büyük seçersek 1. olasılığı modellemiş oluyoruz. 1. senaryonun aklıma takılan kısmı bunu nasıl programlayacağımdı. Bu senaryoda söylenen şey şu: Mesela bütün toplam nüfus sadece \(x \) türünden oluşuyorsa sisteme ekleyeceğimiz bir \(y \) türü bireyi çoğalma potansiyeli diğer türden yüksek olsa bile yok olmaya mahkumdur. Yani programda ilk anda \(x = 1 \) ile başlamam gerekecek. Ardından sisteme minimum bir \(y \) değeri eklemem lazım. Bunun yerine başlangıçta minimum \(y \) ile başlamayı seçtim.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = 1.1
b = 2.0
c = 1.3
number_of_iterations = 20
def constrainedA(x, phi) :
return a*pow(x, c) - x*phi
def constrainedB(y, phi) :
return b*pow(y, c) - y*phi
def phi(x, y):
return a*pow(x, c) + b*pow(y, c);
x = 0.999
y = 0.001
x_population = np.array([[0, x]])
y_population = np.array([[0, y]])
for i in range(0, number_of_iterations):
phi_value = phi(x, y)
delta_x = constrainedA(x, phi_value)
delta_y = constrainedB(y, phi_value)
x += delta_x
y += delta_y
x_population = np.append(x_population, np.array([[i, x]]), axis = 0)
y_population = np.append(y_population, np.array([[i, y]]), axis = 0)
plt.plot(x_population[:, 0], x_population[:, 1])
plt.plot(y_population[:, 0], y_population[:, 1])
plt.show()
Bu sefer programda toplam nüfus oranlarını göstermek istemedim, çünkü o zaman birinci türün çok çabuk 1 değerine ulaşması net gözükmüyordu.
Grafikte çok net görülmüyor ama daha ilk adımda birinci tür bütün popülasyonu ele geçirdi.
Bu senaryo tabii ki her başlangıç değeri için bu sonucu vermiyor. Örneğin aynı \(c \) sabiti için \(x \) türünü nüfusun yüzde sekseni olacak şekilde başlatınca bu sonuç çıkıyor.
Görüldüğü gibi daha iyi fitness fonksiyonuna sahip olan \(y \) yok olmadığı gibi bütün ekosistemi de ele geçirdi.
Eğer \(c < 1 \) olacak şekilde bir seçim yaparsak iki tür de yok olmadan beraber yaşama şansını yakalayabiliyor.
Bunun denemesini de aşağıdaki programla yaptım.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = 1.2
b = 0.8
c = 0.5
number_of_iterations = 20
def constrainedA(x, phi) :
return a*pow(x, c) - x*phi
def constrainedB(y, phi) :
return b*pow(y, c) - y*phi
def phi(x, y):
return a*pow(x, c) + b*pow(y, c);
x = 0.5
y = 0.5
x_population = np.array([[0, x]])
y_population = np.array([[0, y]])
for i in range(0, number_of_iterations):
phi_value = phi(x, y)
delta_x = constrainedA(x, phi_value)
delta_y = constrainedB(y, phi_value)
x += delta_x
y += delta_y
x_population = np.append(x_population, np.array([[i, x]]), axis = 0)
y_population = np.append(y_population, np.array([[i, y]]), axis = 0)
plt.plot(x_population[:, 0], x_population[:, 1], label='x')
plt.plot(y_population[:, 0], y_population[:, 1], label='y')
plt.legend()
plt.show()
Grafikte de görüldüğü gibi iki tür de yok olmadı.
Heralde bu özellikleri sağlayan daha başka modeller de vardır ama konuya bu şekilde girilmesi hoşuma gitti. Bir modelin olası sonuçlarından çok, istenen sonucu açıklayabilecek bir model sunma tekniği ilgimi çekti. Çalışmalarıma biraz da bu kitaptan devam edeyim, belki şansım bu sefer döner.