olasılık – Yılmaz Aksoy Blog

Bir olasılık sorusu

Bundan çok uzun yıllar önce ben üniversite sınavına hazırlanırken sorular çok daha sıradandı diye hatırlıyorum. Belki de yapabildiğim için öyle hatırlıyorumdur. Şimdi değişik sosyal medya gruplarında sorulan test sorularına bakınca seviye sanki biraz yükselmiş gibi geliyor bana ama bu sorular sınav soruları değil, çeşitli test kitaplarından alınmış sorular. Hatta aralarında yanlış sorular da oluyor.

Geçen haftalarda iki kere karşılaştığım ama bizim zamanımızda hiç sorulmayan bir olasılık sorusu türünden bahsetmek istiyorum.

Ahmet ve Ayşe akşam 7 ile 8 arasında buluşmak istiyorlar. Buluşma yerine tam kaçta gelecekleri belli değil ama her birinin 7 ile 8 arasında herhangi bir zamanda buluşma yerine gelme şansı eşit. Buluşma yerine erken gelen diğerini en fazla 15 dakika bekleyecek ve bu süre içinde diğeri gelmezse buluşma yerinden ayrılıp eve dönecek. Ahmet ve Ayşe'nin buluşma ihtimali nedir?

Bütün buluşma zamanını 60 dakikaya böleyim ve Ahmet’in buluşma yerine geliş zamanını x ekseninde, Ayşe’nin gelişini de y ekseniyle göstereyim.

x ekseni Ahmet’in gelebileceği dakikalar, y ekseni de Ayşe’nin gelebileceği dakikaları gösteriyor.

Yukarıdaki şekilde iki tane doğru çizdim. Bunlar sorunun çözümü için çok önemli denklemler, daha doğrusu eşitsizlikler. Yukarıdaki doğru y – x < 15 eşitsizliğinin sınırını oluşturan doğru. Bu eşitsizlik Ayşe’nin Ahmet’ten en fazla 15 dakika daha sonra geldiği noktaları gösteriyor ve yukarıda kalan doğrunun altındaki bütün noktaları içeriyor. Alttaki doğru da x – y < 15 eşitsizliğinin sınırı oluyor. Bu eşitsizliği sağlayan noktalar da doğrunun yukarısındaki noktalar. Bu eşitsizliğin anlamı da Ahmet’in Ayşe’den en fazla 15 dakika sonra geldiği durumlardır.

Bu iki doğru arasında kalan koyu mavi alan da Ahmet’in ve Ayşe’nin buluşma yerine en fazla 15 dakika farkla geldiği durumlardır.

Ahmet’le Ayşe’nin buluşma ihtimali böylece koyu mavi alanın bütün alana oranı şeklinde hesaplanabilir.

$P(buluşma) = \frac{60^2 – 45^2}{60^2} = \frac{7}{16} $

Başta da dediğim gibi bu tür sorular benim zamanımda sadece bilmece olarak soruluyordu ve sınav seviyesi için zor bir teknik olarak görülüyordu. Anlaşılan artık biraz daha standard bir soru türü olmuş.

Kısaca, bu tür sorularda aktörler için eksenler seçilip o alanda soruda aranan eşitsizlikler yazılır ve istenen alanın tüm alana oranı hesaplanır. Problemin geometrik alanlara dönüştürülmesi olasılıkta sık sık görülen yöntemlerden biridir ve sonunda bizim eğitim sisteminde de beklenen bir şey olmuş ama bunun anlaşılması için derste daha deneysel bir yaklaşım gütmek gerekebilir.

Yazı Tura (Çözüm)

$\frac{1}{3} $ olasılığını üretmek için yapmamız gereken tek şey birbirinden bağımsız eşit olasılıklı üç değişik olay bulmak ve geri kalan tüm olayları yok saymak. Böylece yeni sistemimizde her birinin olasılığı $\frac{1}{3} $ olan üç olay bulunacak.

Hilesiz para için arka arkaya iki yazı tura atma olaylarını alalım. Yazı ve tura olasılıkları eşit olduğundan her ikili yazı turanın sonucu da eşit olasılıktadır. Bunları şöyle listeleyebiliriz.

$p(YY) = p(Y)\cdot{p(Y)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} $

$p(YT) = p(Y)\cdot{p(T)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} $

$p(TY) = p(T)\cdot{p(Y)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} $

$p(TT) = p(T)\cdot{p(T)}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} $

Bu dört olaydan herhangi birini attığımız zaman istediğimiz sonucu elde ederiz. Örneğin iki kere tura gelme olayını atarsak, yani iki kere tura geldiğinde bunun yerine tekrar yine iki kere yazı tura atarsak, sadece her YY, TY ve YT olayları kalır ve her biri birbirinden bağımsız ve eşit olasılıktadır.

Eğer para hileli ise yukarıda tanımladığımız olaylarla problemi çözemeyiz çünkü eşit olasılıklı üç olay bulamayız.

$p(Y)=p, p(T)=1-p, p\neq{\frac{1}{2}} $ olsun

$p(YY) = p(Y)\cdot{p(Y)}=p\cdot{p} $

$p(YT) = p(Y)\cdot{p(T)}=p\cdot{(1-p)} $

$p(TY) = p(T)\cdot{p(Y)}=p\cdot{(1-p)} $

$p(TT) = p(T)\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{(1-p)} $

Görüldüğü eşit olasılıklı iki olay var sadece (YT ve TY).

Bu durumda yapmamız gereken tek şey yazı turaları ikili gruplar halinde değil de üçlü gruplar halinde atmak. Şimdi bu olayların olasılıklarına bakalım.

$p(YYY) = p(Y)\cdot{p(Y)}\cdot{p(Y)}=p\cdot{p}\cdot{p} $

$p(YYT) = p(Y)\cdot{p(Y)}\cdot{p(T)}=p\cdot{p}\cdot{(1-p)} $

$p(YTY) =p(Y)\cdot{p(T)}\cdot{p(Y)}=p\cdot{(1-p)}\cdot{p} $

$p(YTT) =p(Y)\cdot{p(T)}\cdot{p(T)}=p\cdot{(1-p)}\cdot{(1-p)} $

$p(TYY) = p(T)\cdot{p(Y)}\cdot{p(Y)}=(1-p)\cdot{p}\cdot{p} $

$p(TYT) = p(T)\cdot{p(Y)}\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{p}\cdot{(1-p)} $

$p(TTY) =p(T)\cdot{p(T)}\cdot{p(Y)}=(1-p)\cdot{(1-p)}\cdot{p} $

$p(TTT) =p(T)\cdot{p(T)}\cdot{p(T)}=(1-p)\cdot{(1-p)}\cdot{(1-p)} $

Bu olaylar arasında olasılığı birbirine eşit üç olay seçmek kolay, örneğin YYT, YTY ve TYY aradığımız özelliğe sahip olaylardır. Yapılacak tek şey üç yazı tura ardından bu olaylar dışında başka bir sonuç çıkarsa bu olayı olmamış varsayıp yeniden üç kere yazı tura atmak.

Erkek – Kız (Çözüm)

Eğer çocukları aşağıdaki tablodaki gibi listelersek soruyu kolayca çözebiliriz:

Büyük çocuk	Küçük çocuk
~~Kız~~	~~Kız~~
Erkek	Kız
Kız	Erkek
Erkek	Erkek

İki çocuğun da kız olamayacağını bildiğimize göre sadece diğer üç ihtimal kalmaktadır. Bütün bu durumlar eşit olasılıklar olduğundan iki çocuğun da erkek olma olasılığı 1/3’tür. Tabii bu analizi yaparken örnek uzayımızı nasıl seçtiğimiz önemli. En az bir çocuğu erkek olan iki çocuklu aileleri kullanırsak yukarıdaki gibi 1/3 sonucuna ulaşırız. Eğer sadece iki çocuklu aileleri alırsak ve rastgele seçtiğimiz bir ailede rastgele seçtiğimiz çocuk erkek ise o zaman sonuç 1/2 olur.

Şimdi ikinci soruya bakalım.

Burada da yukarıdakine benzer bir tablo hazırlayacağım ama bu sefer iki ek sütun tanımlayacağım. Birincisinde bu şartı sağlayan kaç değişik durum olduğunu belirteceğim ve yanındaki sütunda da bunu açıklayacağım. Öncelikle çocukların erkek ya da kız olmalarının ve doğdukları günlerin birbirlerinden bağımsız durumlar olduklarını kabul edelim. Böylece tablodaki her durum eşit olasılığa sahip olacak ve sadece durumları saymakla soruyu çözeceğiz.

Büyük çocuk	Küçük çocuk	Toplam durum sayısı	Açıklama
Kız	Kız	0	Çocuklardan en az biri erkek olduğundan iki kız olan bir durum yoktur
Erkek	Kız	7	Erkek çocuğun salı günü doğduğunu bildiğimize göre kız diğer yedi günde de doğmuş olabilir. Yani yedi değişik durum var: (Erkek salı, kız pazartesi), (Erkek salı, kız salı), …
Kız	Erkek	7	Erkek çocuğun salı günü doğduğunu bildiğimize göre kız diğer yedi günde de doğmuş olabilir. Yani yedi değişik durum var: (Kız pazartesi, erkek salı), (Kız salı, erkek salı), …
Erkek	Erkek	13	Bunu saymanın kolay yolu, iki erkek çocuğun da salı günü doğmadığı durumları sayıp toplam durum sayısı olan $7\cdot{7}=49 $ sayısından çıkarmak. Bir çocuğun salı günü doğmadığı durum sayısı 6’dır, iki çocuk için bu sayı $latex 6\cdot{6}=36 4 olur. Yani 49 – 36 = 13. Aynı sonuca şöyle de ulaşılabilir: Bir çocuk salı doğmuşsa diğer çocuk için 7 durum var. Şimdi aynı mantığı diğer çocuk için de uygularsak toplam 14 durum olur fakat iki çocuğun da salı günü doğmuş olduğu durumu iki kere saydığımızdan bunu çıkarırız ve yine 13 sonucunu buluruz.

Bu durumda iki çocuğun da erkek olma ihtimalini bu durum sayısının toplam durum sayısına oranı ile buluruz, yani:

$p=\frac{13}{7+7+13}=\frac{13}{27} $

İlk soruya ilk bakışta çok gereksiz görünen bir bilginin eklenmesi sonucu oldukça değiştirdi. Heralde daha başka ‘gereksiz’ bilgiler ekledikçe sonuç 1/2’ye daha da yaklaşacaktır.