Çoktan seçmeli matematik soruları



Geçenlerde bir arkadaşım çocuğunun matematik dersi için yardım istedi. Yukarıdaki soruyu gönderdi. Çoktan seçmeli ödev sorularını sevmem, çünkü yanlış şeyleri ölçtüğünü düşünüyorum. Ayrıca çoktan seçmeli sınavlarda soru başına daha az süre verildiğinden daha o yaşta çocuklar bilgiyi kavramak ve kullanmaktan çok zaman yönetimi ve konuyla ilgisi olmayan daha başka sınav optimizasyonu yöntemlerini öğrenmeye başlıyor. Bu ek yük de çocuklar için fazladan stres yaratarak ölçüm sistemini yanıltıcı sonuçlar doğurabiliyor. Bu durumda bence kaybeden sadece çocuklar ve çocukların geleceğine bel bağlamış sistem oluyor. Neyse işte, bunun bir ödev sorusu olduğunu sandım (LGS deneme sınavı sorusu olduğu sayfanın sağ üst köşesinde yazıyormuş) ve çözmeye başladım. Çözmeye başlarken elimdeki tek bilgi çocuğun 8. sınıfa gidiyor olmasıydı, yani çözümüm anlaşılır olmalıydı. Türkiye’deki müfredatın içeriği hakkında hiçbir bilgim olmadığından bizimkilerin 8. sınıftaki durumlarını düşünerek soruyu çözmeye karar verdim. Arkadaşım çözümü çocuğuna kolayca anlatabilsin diye olasılıkların hepsini tek tek yazıp, çizmek ve sonra çizgileri saymaya karar verdim. Tabii ki çizgileri saymak yerine basit çarpma işlemleri yapma yolunu seçtim.

Üçüncü adım sonunda 6 çizgi var. Dördüncü adımda her bir çizgiden ya iki ya üç çizgi çıkacağından adım sonundaki çizgi sayısı ya \(6\cdot{2}=12 \) ya da \(6\cdot{3}=18 \) olacak. Bu sayılar şıklardakilerden oldukça düşük olduğundan demek ki daha fazla adımlara ihtiyacımız olacak diye düşünerek işlemlere devam ettim.

Beşinci adım sonunda olası çizgi sayıları ise \(12\cdot{2}=24 \), \(12\cdot{3}=36 \) ya da \(18\cdot{3}=54 \) olacaktır.

Altıncı adım sonunda olası çizgi sayıları \(24\cdot{2}=48 \)latex, \(24\cdot{3}=72 \), \(36\cdot{3}=108 \) ve \(54\cdot{3}=162 \) olacaktır. Hala cevaplardan birisini bulamadım.

Yedinci adım sonunda olası çizgi sayılarına bakarsak: \(48\cdot{2}=96 \), \(48\cdot{3}=144 \), \(72\cdot{3}=216 \), \(108\cdot{3}=324 \) ve \(162\cdot{3}=486 \) sonuçlarını buluruz. Şıklardan hiçbirini bulamadım hala ve de her adımda çarpım adedi de artıyor, çünkü her adımda ya eski çarpımları ikiyle ya da üç ile çarptığımızdan her adım bir öncekinden daha fazla çarpım adedine sahip oluyor.

Sekizinci adım sonunda ise \(96\cdot{2}=192 \), \(96\cdot{3}=288 \), \(144\cdot{3}=432 \), \(216\cdot{3}=648 \), \(324\cdot{3}=972 \) ve \(486\cdot{3}=1458 \) sonuçlarını elde ederiz. Bu sefer şıklardan birini buldum. 648! Eğer sorunun tek bir doğru cevabı varsa bu olmalıydı.

Bu cevabı arkadaşa gönderdikten sonra düşünmeye başladım ama. Çocuğuna basitçe anlatabileceği oldukça uzun (zaman açısından da) bir çözüm önermiştim. Çözümü anlamak için çok az miktarda matematik (sadece tamsayıların çarpmasını) bilmek yeterliydi. Diğer taraftan o yaştaki hangi çocuk bir soru için bu kadar zaman harcar ki diye düşündüm. Benimkilerden sadece biri harcayabilirdi. Ondan da emin değildim. Ayrıca bu çözümde hemen hemen hiçbir matematik bilgisi de kullanmadım. İlk bakışta çocuk için öğretici hiçbir yanı yoktu yani. Bunun üzerine ben bu test sorusuyla karşılaşsaydım ne yapardım diye düşünmeye başladım.

Tabii ki şıklardan giderdim. Şıklardan gidebilmek için biraz daha fazla matematik bilgisi kullanmam gerekecekti ama. Soruya (ya da buraya kadar verdiğim çözüme) biraz dikkat edince 1 sayısıyla başlıyoruz ve her adımda bu sayıyı ya 2 ya da 3 ile çarpıyoruz. Yani bu işlemler ile elde ettiğimiz her sayının asal çarpanları 2’nin ve 3’ün kuvvetlerinden oluşmalı. Başka hiçbir asal sayı bulunmamalı, çünkü başka bir sayı kullanmadık. O zaman sırayla şıkları asal çarpanlarına ayıralım:

\(120 = 2\cdot{2\cdot{2\cdot{3\cdot{5}}}} \) Asal çarpanlarda 5 sayısı da olduğuna göre bu sayı doğru cevap olamaz.

\(252 = 2\cdot{2\cdot{3\cdot{3\cdot{7}}}} \) Asal çarpanlar arasında 7 sayısı olduğundan bu şık da doğru cevap olamaz.

\(336 = 2\cdot{2\cdot{2\cdot{2\cdot{3\cdot{7}}}}} \) Asal çarpanlar arasında 7 sayısı olduğundan bu şık da doğru olamaz. O zaman son şık kaldı demektir. Onu da deneyelim.

\(648 = 2\cdot{2\cdot{2\cdot{3\cdot{3\cdot{3\cdot{3}}}}}} \) Bu sayı gerçekten de sadece 2 ve 3 sayılarının çarpımından oluşuyor.

İlginç bir şekilde bu çoktan seçmeli soru şıklardan gidilince matematik açısından daha öğretici bir soru oluyor. Bu nedenle hoşuma gitti. Buradaki ders kitaplarında normal bir asal çarpanlara ayırma alıştırmasının yarısını dört şık halinde verip test sorusuna çevirmişler. Tabii ki alıştırma sorusunu çözmek daha kolaydır, çünkü çocuk o sorunun hangi ünitede olduğunu görüyor ve o bilgiyi hemen kullanıyor. Bir deneme sınavında bu bilgi öğrenciden saklanıyor. Burada küçük bir deneme de yaptım. Bu soruyu orta öğretimle ilişkilerini yıllar önce bitirmiş insanların olduğu bir gruba gönderdim. Orada da insanlar bu soruyu benim ilk çözümümde olduğu gibi deneme yanılmayla çözdüler. Acaba şıklardaki sayıları çok daha büyük seçseydim yine aynı yöntemi mi seçerlerdi? Bunu bilemiyorum. Belki de o zaman soruyu hiç çözmeyebilirlerdi.

Asal çarpanlara ayırma gerçekten de basit ve oldukça güçlü bir matematiksel yöntem ama bu yaştaki çocukların çoğunluğu bunu kavrayamıyor. Soyut yapısından ötürü bu aracın çok geniş kullanım alanlarını göremiyorlar. Bence müfredat sıkıştırması yüzünden bunlarla yeterince oynama şansı bulamıyorlar. Tabii bu kimin hatası ya da yanlış beklentisi bilemiyorum. Çocukların açısından bakarsak, onlarda bir konu bitince bu konuyla bir daha karşılaşmayacakları beklentisi var sanırım ama hiçbir dalda bunun böyle olduğunu sanmıyorum. Öğretmenler de çocukların boş zamanlarında bu konuları sürekli tekrar etmelerini bekliyor. Sanırım bu da uçuk bir beklenti. Bence en iyisi müfredatı boşvermek ve bu tür temellere daha uzun süre ağırlık vermek.


Kağıt kromatografisi

Malzemeler: Kahve filtre kağıdı, çeşitli renkli kalemler (tükenmez, ispirtolu), su

Deneyin yapılışı: 

Başlangıç durumu.
Başlangıç durumu.

İki değişik siyah renkle alt kenardan eşit uzaklıkta iki işaret koydum. Başka renkli kalemler de kullanılabilir tabii ki. Ondan sonra kağıdın alt tarafını içinde bir miktar su olan bir kaba daldırdım. Kağıt suyu daha yavaş emsin diye kağıdın sadece ucunu suya soktum. Böylece boyalar daha az dağılıyor.

Su kağıdın tepesine ulaştığında aşağıdakilere benzer şekiller oluştu.

IMG_3178
solda Faber-Castell permanent sağda stabilo siyah mürekkep

IMG_3180
solda ucuz bir siyah mürekkep sağda kurumuş edding siyah kaligrafi mürekkebi

IMG_3179
solda ucuz bir siyah mürekkep sağda henüz kurumamış edding siyah kaligrafi mürekkebi

Birinci deneyden Stabilo kalemlerdeki siyah rengin aslında bir kaç rengin karışımından meydana geldiğini görebiliyoruz. Soldaki permanent kalemin kullandığı boyanın ise kağıda tamamen yapıştığını ve suda çözülmeyerek hiç hareket etmediğini görüyoruz. Bu nedenle bu kalemleri suyla silemiyoruz.

İkinci deneyde solda başka bir ispirtolu boya ile kaligrafi kalemini karşılaştırdım. Kaligrafi mürekkebi kuruduktan sonra kağıda tamamen yapıştığından hiçbir hareket gözleyemedim. Bu nedenle üçüncü deneyde bu ikiliyi tekrar karşılaştırdım ama bu sefer kaligrafi mürekkebi kurumadan kağıdı suya daldırdım. Görüldüğü gibi kaligrafi mürekkebi diğer mürekkebe göre çok daha az pigmentten meydana geliyormuş.

Bu olayın açıklaması ve daha ciddi uygulamaları bu linkte anlatılıyor. Kısaca bir pigment suda ne kadar iyi çözünürse o kadar yukarı çıkabiliyor.

Döndürmeler ve ayna simetrileri

Ümit’in son ödevi verilen şekillerin döndürme ve ayna yansımaları sonucunda nasıl gözükecekleri üzerineydi. Örneğin sol sütunlarda F şekilleri belirtildiği gibi dönüştürülmüşse, aynı dönüşüme uğrayan L şekilleri nasıl görünecektir?

ödev sorusu
ödev sorusu

Ümit’in sinir krizlerinden bu soruyu kafasından yapamadığını anlamıştım. Sorun değil, ben de bu tür üç boyutlu sorularda zorlanırım. O zaman kolay bir yöntem bulmak gerekecekti. Ümit’e kağıttan F ve L şekilleri kesmesini söyledim. Ondan sonra bu iki şekli başlangıçtaki şekiller gibi üst üste koymasını söyledim. Ardından bu kağıtları birbirinden ayırmadan F şekli soruda istenen şekle gelene kadar döndürmesini söyledim. F şekli istenen şekle geldiğinde L de aranan şekle gelecektir, çünkü ikisi de aynı dönüşümlerden geçmiş olacak.

Bu gösterdiğim yöntemin mantığını anladığından pek emin değilim ama R şekli için verilmiş ödevi de hatasız çözdü.