Eksik sayı (2) Çözüm

Gece Meraklı Karga tuvalete kaltığında Bilge Karga’nın hala uyumamış olduğunu gördü.

MK: Yine yatmamışsın baba?

BK: Yeni gelen kuş orman kuşlarının kafasını iyice karıştırmış, onu çözmeye çalışıyorum.

MK: Bu o kadar zor değil aslında ama yine de merak ettim. Nasıl yapmış?

Bilge Karga kuşlarla arasında geçen konuşmayı anlatmış.

MK: Geçen seferki gibi başlasak olmaz mı? Yani söylenen bütün sayıları topluyordur ve olması gereken toplamdan çıkarıp farkına bakıyordur.

BK: Böyle yaparsa sadece fazladan sayı ile eksik sayı arasındaki farkı bulabilir. Bu bilgi çözüme yetmez.

MK: Doğru ama dediğim gibi bunu başlangıç olarak yapalım. 1’den N sayısına kadar sayılarla oynadığımızı düşünelim. Bu sayıların toplamı da \(1+2+3+\dots+N=\frac{N(N+1)}{2} \) formülüyle bulunur. Şimdi fazladan kullanılan sayıya a, eksik olana da b diyelim. O zaman bize söylenen sayıları toplarsak \(\frac{N(N+1)}{2} + a – b \) toplamını buluruz. Eğer bütün sayılar bir kere söylenseydi elde edeceğimiz toplamdan \(b-a \) kadar daha az olacak. Senin de dediğin gibi bu fark için iki bilinmeyenimiz var, dolayısıyla birden fazla çözüm olacak ama bu yeni kuş bu sayıları bulabiliyor. Sayıları da tek tek yazmadığını biliyoruz.

BK: Dedim işte, bu çözüm işe yaramıyor.

MK: Peki baba, şimdi de bu sayıları toplarken aynı zamanda bu sayılarla başka bir işlem daha yapalım.

BK: Nasıl yani?

MK: Örneğin her sayının karesini de alıp ayrı bir toplam elde edelim. 1’den N’ye kadar sayıların karelerinin toplamının ne olması gerektiğini de biliyoruz. \(1^2 + 2^2 + 3^2 +\dots + N^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \). Bize söylenen sayıları topladığımızda ise şu toplamı elde edeceğiz: \(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + a^2 – b^2 \). Yani olması gereken toplamdan elde ettiğimiz toplamı çıkarırsak \(b^2 – a^2 \) farkını buluruz. Şimdi elimizde iki denklem var ve hala bulmamız gereken iki sayı var.

BK: Hey, ne yapmaya çalıştığını anladım. Bu ikinci farkı birinci farka bölersek \(\frac{b^2-a^2}{b-a}=b+a \) çıkar.

MK: Doğru ama bölme işlemi yaparken dikkat etmek lazım. Eğer \(b-a=0\) bölme işlemini yapamayız.

BK: Aradaki fark sıfır ise kurallara uymamış demektir ama bunu zaten ilk toplamdan anlayabiliriz. Neyse, sonuçta elimizde aradığımız iki sayının farkları ve toplamları var. Bu sayıları bulmak da kolay artık.

MK: Evet, fark ve toplamı toplayıp ikiye bölersek birini buluruz. Sonrası da kolay. Örneğin \(b-a=3 \) \(b + a =19 \) ise bu iki eşitliği toplarsak \(b-a+b+a=3+19 \) yani \(2a=22 \) çıkar. Buradan da fazladan kullanılmış sayıyı \(a=11 \) şeklinde buluruz. Bu sayıyı da toplamlar eşitliğinde yerine koyarsak \(b+11=19 \) ve buradan da eksik olan sayıyı \(b=19-11=8 \) şeklinde buluruz. Bunu yarın kuşlara anlat da korkmayı bıraksınlar artık. Ben de yatmaya gideyim. Bence sen de yat artık baba.

BK: İyi fikir. İyi geceler.

MK: İyi geceler.