Kilitli bir kapı ilk ziyarette açılacaktır, ikinci ziyarette tekrar kilitlenecektir. Üçüncü bir ziyarette tekrar açılacaktır ve bu böylece devam edecektir. Yani eğer kilitl bir kapı tek sayıda (1, 3, 5, …) ziyaret edilirse artık açık durumda olacaktır.
Başlangıçta bütün kapılar kilitli. O zaman her kapının kaç kere ziyaret edildiğini bulmamız gerekecek. Tek sayıda ziyaret edilen kapılar açık olacak ve çift sayıda ziyaret edilenler de kilitl kalacak. Bunun basit bir çözümü oyunu gerçekten de adım adım oynamak ve kapıların durumlarını takip etmek. Biraz uzun sürer ama neden olmasın? Daha çabuk bir yolu var mıdır? Elbette!
Gözlem:
Her kapı o kapı numarasının pozitif bölenlerinin sayısı kadar ziyaret ediliyor. Örnek vermek gerekirse 6 numaralı kapı, birinci, ikinci, üçüncü ve altıncı turlarda ziyaret ediliyor. Bu tur numalararı da kapı numarasının pozitif bölenleri.
Peki verilen bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını nasıl hesaplayabiliriz?
Bunun cevabını başka bir yazıda kısaca vermiştim.
verilen bir \(a \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(a=p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}} \) olsun.
\(a \) sayısının pozitif bölenlerinin sayısını \(n(a) \) ile gösterirsek
\(n(a)=(n_{1}+1)\cdot(n_{2}+1)\ldots(n_{k}+1) \)
Her kapı numarası için bu çarpımı hesaplamak yerine sadece hangi çarpımlar için sonucun tek sayı olduğuna bakalım. Bir çarpım sadece bütün çarpılan sayılar tek ise tektir. Eğer çarpılan sayılardan biri bile çift ise, bütün çarpımın sonucu çifttir. Çarpılan sayıların her biri tek olacaksa o zaman \(n_{1} \), \(n_{2} \), \(n_{k} \) sayılarının hepsi çift olmalıdır. Bu da sayının bütün asal çarpanlarının kuvvetlerinin çift olması demektir.
Eğer bir sayının asal çarpanlarının hepsinin kuvvetleri çift ise o sayı tamkaredir.
\(a=p_{1}^{2\cdot{n_{1}}}\cdot{p_{2}^{2\cdot{n_{2}}}}\ldots{p_{k}^{2\cdot{n_{k}}}}=(p_{1}^{n_{1}}\cdot{p_{2}^{n_{2}}}\ldots{p_{k}^{n_{k}}})^2 \)
Sonuç:
Aradığımız kapılar numaları tamkare sayılardır. Yani hücreler birden yüze kadar numaralanmışsa 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 numaralı kapılar gardiyanın eğlencesi bittiğinde açık olacaktır ve diğer bürün kapılar kilitli kalacaktır. Tabii gardiyanın ilk turu bittiğinde hücrelerde hala tutuklu biri kalmış mıdır bilmiyorum.