Bu tür sorular ilk bakışta bana da bir çok insana olduğu gibi imkansız gelir. Bu nedenle önce bu engeli aşmak için basit versiyonlarını çözemeye çalışırım. Eğer bu basit durum çözümleri bazen çözüm için genellenebilir ya da ispat için fikir de verebilir.
Bu nedenle önce soruyu iki kişilik bir grup için çözmeye çalıştım. Kırmızı şapkayı K, mavi şapkayı M ile gösterirsem iki kişilik bir grup için olası şapka dizilimleri KK, KM, MK ve MM olacaktır. Dizilimler simetrik olduğundan herhangi biriyle başlayabilirim diye düşündüm. Ayrıca hislerime göre ilk başladığım dizilimi herkesin doğru mu yoksa herkesin yanlış mı tahmin etmesi gerektiği de çok önemli değildi. O zaman KK dizilimi için herkesin doğru tahmin yapması gerektiğini varsaydım. Bu iki kişi de kendi başlarındaki şapkaları görmeyecek ama bu dizilim olduğu zaman ikisinin de K demelerini istiyorsak, şöyle basit bir kural tanımlayabiliriz.
1. K gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.
O zaman gerçek durumda kafalarında KK şeklinde şapkalar varsa tahminleri de KK olacaktır ve oyunu kazanacaklar. Tabii ki oyuncuların her biri kendi kafasındaki şapkayı görmediğinden KM ya da MK dizilimleri için başka bir kural daha tanımlamak gerekecek. K gören kişi K diyeceğine göre cevabı yanlış olacak, çünkü K gören kişinin kafaşında bu dizilimlerde M olacaktır. İlk kuralı iptal etme şansımız olmadığına göre bu dizilimlerde bütün oyuncuların yanlış tahmin yapması gerekecek ve bunu garantilemek için aşağıdaki kurala ihtiyacımız olacak.
2. M gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur.
Bu iki kuralı kullanırsak MK diziliminde tahminler KM, KM diziliminde ise MK olacak. Yani bütün grup tamamen yanlış tahminler yaparak oyunu yine kazanacak.
Şimdi görülebilen şapkalar ile yapılabilecek bütün tahminleri kurallara bağladığımıza göre son dizilimin bu kurallara uygun bir şekilde oyunu kazandırıp kazandırmadığına bakalım.
MM diziliminde her oyuncu M göreceğinden ikinci kurala göre kendi şapkaları için M tahmininde bulunacaklar, yani grubun tahmini MM olacak ve bu da doğru cevap olduğundan oyunu kazanacaklar.
İki kişilik grup için çözüm çok basitti. Duruma biraz daha ısınabilmek için üç kişilik bir grup için de çözümü denedim. Bu sefer de aynı sırayı izledim. KKK dizilimi için doğru tahmin olan KKK cevabını üretmek için ilk kuralı tanımladım.
1. KK gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.
İkinci adım olarak da KK gören ama kendi başında K yerine M olan kişinin dizilimine baktım. Bu durumda başında M olan birinci kurala göre yanlış tahminde bulunacağından diğerleri de yanlış tahminde bulunmak zorunda. Bunun çözümü de ikinci kuralda.
2. MK gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur.
Böylece MKK diziliminde tahminler KMM olacak, yani herkes yanlış tahminlerde bulunacak. Bir sonraki adım da MMK dizilimi olmalı. Elimizde MK gören kişi için kural olduğuna göre bu kuraldan MM gören kişi kuralına geçiş de kolay olacaktır. MMK dizilimindeki iki M de MK gördüğünden ikisi de M tahmininde bulunacak. Yani kafasında K olan da doğru tahmin yaparsa kazanacaklar. Bu durumda yeni kuralımız aşağıdaki gibi olmalı.
3. MM gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur.
Dizilimlerin kendi içindeki sıralamalarını göz ardı edersek (yani KM ve MK görmek aynı şeyler ise) o zaman bütün kuralları bulmuş olmam gerekiyor. Bu kurallar ile MMM dizilimini test edersek de oyuncuların KKK tahmini yapması gerekiyor. Herkes yanlış tahmin yaptığından grup oyunu yine kazandı. Aşağıda üç kişilik grup için çözümü bir tabloda sunuyorum.
[table id=67 /]
Hazır işe yarayabilecek bir şey bulmuşken dört oyuncu ile de deneyeyim dedim. Bunun için kyukarıdaki adımları uyguladım. Görmek istediğim şey biraz da kuralların sadece çoğunluğa mı yoksa sayısal değerlere mi bağlı olduğuydu. Yani KKK ile KKM görmek aynı tahmine mi yol açacaktı? Neyse yukarıdaki yöntemi adım adım uyguladım ve şu dört kuralı buldum. Bu kuralları kullanarak da aşağıdaki tabloyu elde ettim.
1. KKK gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur 2. KKM gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur 3. KMM gören kişi kendi şapkası için K tahmininde bulunur 4. MMM gören kişi kendi şapkası için M tahmininde bulunur
[table id=68 /]
Dört kişilik oyunda anladığım şey kuralların sadece basit bir çoğunluk kararı olmadığıydı, çünkü KKK görme ile KKM görme farklı renk tahminlerini gerektiriyordu.
Bu noktada hala bir ispattan uzağım ama şimdiden tekrar eden düzenli örnekler bulduğumu düşünüyorum. Örneğin kişinin gördüğü M sayısı tek sayı ise, kendi şapkası için M tahmininde bulunmalı ve eğer M sayısı çift ise bu sefer K tahmininde bulunmalı. Daha büyük oyuncu sayılarıyla bu düzeni kontrol etmek için açıkçası biraz tembelim. Bunun yerine ortaya attığım bu tezi ispatlamayı deneyebilirim.
N tane oyuncu olduğunu var sayayım. Bu oyuncuları 1 ve N-1 kişilik iki gruba ayırayım ve pozisyonu bir kişilik grup açısından düşüneyim. Var sayalım çift sayıda M görüyorum. O zaman ortaya attığım kurala göre göre K demem lazım. Eğer başımda K varsa bu doğru bir tahmin olacağından diğer herkesin de doğru tahminde bulunması gerekecek. Bakalım bu kuralla diğerleri de doğru tahminde bulunacak mı? Diğer gruptaki bütün K şapkalı oyuncular da benim gibi çift sayıda M göreceğinden hepsi de K diyecek. Demek ki K şapkalı herkes doğru tahminde bulunuyor. M şapkalılara bakayım bir de. M şapkalı herhangi biri tek sayıda M şapka görecektir, çünkü toplamda çift sayıda M şapka var ve kendisini çıkarınca tek sayıda kalır. Tek sayıda M gören de kurala göre M diyeceğinden M şapkalıların da hepsi M tahmininde bulunacak. Demek ki bu durum için kural oldukça güzel çalışıyor.
Şimdi yine çift sayıda M gördüğüm durumda kafamda M olduğunu var sayayım. Kurala göre K demem gerekecek. Bu tahminim yanlış olacağından oyunu kazanmak için herkesin yanlış tahminde bulunması gerekecek. Şimdi bunu kontrol edeyim. Benim başımda M varsa ve ben çift sayıda M görüyorsam o zaman toplamda tek sayıda M şapka vardır. Demek ki bütün K şapkalı oyuncular tek sayıda M görecek ve kurala göre hepsi M demek zorunda olduğundan hepsi de yanlış tahminde bulunacak. Buraya kadar çok güzel. M şapkalı bir oyuncu da bu sefer çift sayıda M göreceğinden kurala göre K tahmininde bulunacak. Yani M şapkalı herkes de yanlış tahminde bulunacak. Böylece oyunu yine kazanmış oluyoruz.
Grupta tek sayıda M gördüğüm durumda başımda K varsa kuralı uyguladığımızda herkesin yanlış tahmin yapacağını ve eğer başımda M varsa herkesin doğru tahmin yapacağını okuyuculara alıştırma olarak bırakıyorum.
Demek ki gerçekten de oyunu kazanmak için bu kural yeterliymiş:
Kural: Çift sayıda M gören K tahmininde bulunacak, tek sayıda M gören de M tahmininde bulunacak.