Son zamanlarda karşıma çıkan bir üçgen problemi soru türü için kullandığım ama pek de memnun kalmadığım bir çözüm yöntemi üzerinde biraz düşüneceğim. Önce sorunun genel şeklinden biraz bahsedeyim:
Normal bir üçgen veriliyor ve üçgenin iç bölgesinde bir D noktası var. Bütün köşeleri bu D noktasına birleştiren doğru parçaları çiziliyor ve ABC üçgeninde oluşan altı iç açının dört tanesi veriliyor. Verilmeyen iki açıdan da biri soruluyor. Bazen yardımcı olsun diye buradaki altı kenar uzunluklarıyla ilgili bilgiler de veriliyor ama bu yazıda böyle bir bilgi verilmediğini varsayacağım.
Artık iyice yaşlandığımdan mıdır bilemeyeceğim ama bu soruları gördüğüm zaman aklıma doğrudan trigonometri kullanmak geliyor. Yoksa sentetik yollarla çok daha güzel ve kısa çözümler bulmak kolaydır. Eğer böyle bir çözüm gelirse aklıma onu da yazarım.
Şimdi yukarıdaki şekilde küçük harfle kenarların uzunluklarını belirtmiş olayım. Yani
\(|\overline{\rm AB} | = c\)
\(|\overline{\rm AC} | = b\)
\(|\overline{\rm BC} | = a\)
\(|\overline{\rm AD} | = k\)
\(|\overline{\rm BD} | = i\)
\(|\overline{\rm CD} | = j\)
Açılar da:
\(\angle{DAC} = \alpha \)
\(\angle{DAB} = \beta \)
\(\angle{ABD} = \gamma \)
\(\angle{CBD} = \delta \)
\(\angle{BCD} = \epsilon \)
\(\angle{ACD} = \zeta \)
ABD, BCD ve ACD üçgenlerinde sinüs teoremini uygularsak aşağıdaki başlangıç noktasına erişiriz:
\(\frac {sin(\beta)}{i} = \frac{sin(\gamma)}{k} \)
\(\frac {sin(\epsilon)}{i} = \frac{sin(\delta)}{j} \)
\(\frac {sin(\alpha)}{j} = \frac{sin(\zeta)}{k} \)
Burada \(\frac {i}{k} \frac{k}{j}\frac{j}{i} = 1\) gözlemini yapınca sinüs teoremi aşağıdaki şekle dönüşür.
\(\frac{sin(\beta)}{sin(\gamma)}\frac{sin(\zeta)}{sin(\alpha)}\frac{sin(\delta)}{sin(\epsilon)} = 1\)
Şimdi bu altı açıdan dört tanesi verilmiş olsun. Örneğin \(\gamma \) ve \(\delta \) bilinmiyor olsun, diğer açılar için sayısal değerler biliniyor olsun. Bu durumda eğer elimizde hesap makinesi, trigonometrik tablolar ya da sinüs değerleri bilinen basit açılar varsa, \(\frac{sin(\beta)\cdot {sin(\zeta)}}{sin(\alpha)\cdot {sin(\epsilon)}} \) ifadesinin sayısal değerini de biliriz. Bu değere \(x \) diyelim. O zaman ifademiz şu hale gelir:
\(\frac{sin(\delta)}{sin(\gamma)} = x \)
Bilinen açıların toplamını da biliyoruz tabii ki. O toplama da:
\(\alpha + \beta + \epsilon + \zeta = y \) diyelim
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğundan bilinmeye iki açıyı da tek bir değişken cinsinden yazabiliriz.
\(y + \delta + \gamma = 180 \)
\(\delta = 180 – y – \gamma \)
\(180 – y\) sayısına da kolaylık olsun diye \(\sigma \) diyeceğim.
O zaman \(\delta = \sigma – \gamma \) olur
\(\frac{sin(\sigma – \gamma)}{sin(\gamma)} = x \)
Şimdi de paya trigonometrik açı farkı kurallarını uygulayayım:
\(\frac{sin(\sigma)cos(\gamma) – cos(\sigma)sin(\gamma)}{sin(\gamma)} = x \)
\(sin(\sigma)cotan(\gamma) – cos(\sigma) = x \)
şimdi bilinmeyenleri eşitliğin sol tarafında tutup, bilinen her değeri sağa atayım:
\(cotan(\gamma) = \frac{x + cos(\sigma)}{sin(\sigma)} \)
Buradan da \(\gamma \) değerini “kolayca” bulabilirim:
\(\gamma = arccotan( \frac{x + cos(\sigma)}{sin(\sigma)}) \)
Yazının başlarında da dediğim gibi bu yöntem her zaman işe yaramasına rağmen test gibi sınavlarda çok kısıtlı bir yardım sağlayacaktır. İleride bu tip sorular için başka yöntemlere de bakacağım.