Tümevarım ve bölünebilme (5)

  1. \(4^n + 15n – 1\) dokuza bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(4^0 + 15\cdot{0} – 1 = 1 + 0 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(4^{n+1} + 15(n + 1) – 1 = 4\cdot {4^n} + 15n + 15 – 1 = \)

\(4^n + 15n – 1 + 3\cdot{4^n} + 15 \)

İlk üç terimin dokuza bölündüğünü varsaymıştık. Son iki terimi incelememiz gerek.

\(3\cdot{4^n} + 15 = 3\cdot(3+1)^n + 15 = \)

\( 3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3} + 1) + 15 = \)

\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 3 + 15 = \)

\(3\cdot(3^n + {n \choose 1}3^{n-1} + {n \choose 2}3^{n-2}\cdots + {n \choose {n-1}}\cdot{3}) + 18 = \)

İlk terimin içi pozitif \(n \) değerleri için her zaman üçün kuvvetlerinin toplamı olacağından üçe bölünür. Bu durumda bütün terim de dokuza bölünür. 18 de dokuza bölündüğünden toplam da dokuza bölünür.

Böylece bütün ifade dokuza bölünür ve önermemiz doğruymuş.

2. \(5^{2n} + 24n – 1 \) kırksekize bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 = 5^0 + 0 – 1 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. O zaman şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru oluğ olmadığına bakalım.

\(5^{2(n+1)} + 24(n+1) – 1 = 5^{2n + 2} + 24n + 24 – 1 = \)

\(25\cdot{5^{2n}} + 24n + 24 – 1 = 5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24\cdot{5^{2n}} + 24 = \)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(5^{2n} + 1) = \)

Son terimin içi her zaman çift sayıdır. Bunu görmek için beşin bütün kuvvetlerinin 5 rakamı ile bittiğini gözlememiz yeterli. Yani terimin içindeki sayı her zaman 6 rakamıyla bitecektir ve bu da terimin çift sayı olduğunu gösterir. O zaman son terimi çift sayı formunda yazalım ve ifadeye tekrar bakalım.

\(5^{2n} + 1 = 2k\)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 24(2k) = \)

\(5^2\cdot{0} + 24\cdot{0} – 1 + 48k \)

İlk üç terimin kırksekize bölündüğünü varsaymıştık ve son terim de kırksekize bölünüyor. O zaman toplamları da kırksekize bölünür ve böylece önermemiz ispat edilmiş oldu.

3. \(11^{n + 1} + 12^{2n-1}\) yüzotuzüçe bölünür.

Önce önermeyi \( n = 0 \) için deneyelim.

\(11^{0 + 1} + 12^{2\cdot{0} – 1} = 11^{1} + 12^{-1} \)

0 için önerme geçerli değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.

\(11^{1 + 1}+ 12^{2\cdot{1} – 1} = 11² + 12^{2\cdot{1} – 1} = \)

\(121 + 12^1 = 121 + 12 = 133 \)

Önerme demek 1 için doğruymuş. O zaman önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için test edelim.

\(11^{ n + 1 + 1} + 12^{2(n+1) – 1} = 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} = \)

\(11\cdot{11^{n+1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} = \)

\(11\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} + 133\cdot{11^{n + 1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)

\(144\cdot{11^{n + 1}} + 144\cdot{12^{2n-1}} – 133\cdot{11^{n + 1}} = \)

\(144(11^{n + 1} + 12^{2n-1}) – 133\cdot{11^{n + 1}} \)

Birinci terimin içi varsayımımızca 133’e bölünüyor. İkinci terim de 133’ün katı. Demek ki bütün ifade de 133’e bölünür. O zaman önermemiz sıfırdan büyük bütün doğal sayılar için doğrudur.

5. a bir doğal sayı olmak üzere \((2a – 1)^n – 1\) çifttir.

Önce n = 0 için önermeyi test edelim.

\((2a-1)^0 – 1 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((2a-1)^{n+1} – 1 = (2a-1)(2a – 1)^n – 1 = (2a – 1)^n – 1 + (2a-2)(2a – 1)^n = \)

\((2a – 1)^n – 1 + 2(a-1)(2a – 1)^n \)

İlk iki terimin çift olduğunu varsaymıştık zaten, son terim ise ikinin bir katı olduğundan o da çifttir. İki çift sayının toplamı da çifttir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

Tümevarım ve bölünebilme (4)

  1. \(3n⁵ + 5n³ +7n\) onbeşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(3\cdot {0^5} + 5\cdot {0^3} + 7 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermenin \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını kontrol edelim.

\(3(n+1)^5 + 5(n+1)^3 + 7(n+1) = \)

\(3(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1) + 5(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 7n + 7 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15n^4 + 45n^3 + 45n^2 + 15n + 15 = \)

\(3n^5 + 5n^3 + 7n + 15(n^4 + 3n^3 + 3n^2 + 1n + 1) \)

İfadenin ilk kısmının onbeşe bölündüğünü varsaymıştık. İkinci kısım da onbeşin katı olduğundan tüm ifade onbeşe bölünmektedir. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. \(3^{2n} + 7\) sekize bölünür.

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(3^{2\cdot 0} + 7 = 3^0 + 7 = 1 + 7 = 8\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için önermenin doğruluğunun test edelim.

\(3^{2(n+1)} + 7 = 3^{2n + 2} + 7 = 9\cdot 3^{2n} + 7 = \)

\(8\cdot 3^{2n} + 3^{2n} + 7 \)

İfadenin ilk terimi sekizin katıdır ve kalanının da sekize bölündüğünü varsaymıştık. Demek ki önerme doğrudur.

3. \(n^3 + 5n\) altıya bölünür

Önermeyi önce 0 için deneyelim.

\(0^3 + 5\cdot 0 = 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)^3 + 5(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 5n + 5 = \)

\(n^3 + 5n + 3n^2 + 3n + 6 = n^3 + 5n + 3(n^2 + n) + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6\)

\(n(n+1) \) terimindeki \(n \) ya da \(n+1 \) sayısı çifttir, çünkü ardışıl olan iki tamsayıdan biri çift olmak zorundadır. O zaman bu çarpım da çift olmalıdır. Öyleyse son ifadeyi şu şekilde yazabiliriz.

\(n^3 + 5n + 3n(n+1) + 6 = n^3 + 5n + 3\cdot{2\cdot{k}} + 6 = \)

\(n^3 + 5n + 6k + 6 = n^3 + 5n + 6(k + 1) \)

En sonunda elde ettiğimiz ifadenin ilk iki teriminin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Diğer terimi de altının katı olduğuna göre bütün ifade de altıya bölünür. Böylece önermemiz ispatlandı.

4. \(n^4 – 4n^2 \) üçe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeye bakalım.

\(0^4 – 4\cdot {0^2} = 0 – 4\cdot 0 = 0 – 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayıp \(n+1 \) için doğruluğuna bakalım.

\((n+1)^4 – 4(n+1)^2 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 – 4(n^2 + 2n + 1) = \)

\(n^4 + 4n^3 + 2n^2 -4n = n^4 – 4n^2 + 6n^2 + 4n^3 – 4n = \)

\(n^4 – 4n^2 + 2n(2n^2 – 3n – 2) = n^4 – 4n^2 + 2n(2n + 1)(n – 2)\)

İfadenin ilk iki teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. \(2n(2n + 1)(n – 2) \) terimini inceleyelim şimdi. n sayısı üç değişik formdan biri olabilir. Önce \(n = 3k \) şeklinde sayılara bakalım.

\(2\cdot{3k}(2\cdot{3k} + 1)(3k -2) = 6k(6k + 1)(3k-2) \)

Bu form her zaman üçe bölünür.

İkinci form \(n = 3k + 1 \):

\(2(3k + 1)(2\cdot(3k + 1) + 1)(3k -1) = 2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = \)

\(2(3k + 1)(6k + 3)(3k -1) = 6(3k + 1)(2k + 1)(3k -1) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Son olarak üçüncü form \(n = 3k + 2 \):

\(2(3k + 2)(2\cdot{(3k + 2)} + 1)(3k + 2 -2) = 2(3k + 2)(6k + 5)(3k) \)

Bu form da üçe bölünüyor.

Demek ki elde ettiğimiz ifade her durumda üçe bölünür ve önermemiz doğru.

5. \(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5\) dokuza bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi test edelim.

\(10^0 + 3\cdot{4^{0+2}} + 5 = 1 + 3\cdot{4^2} + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = \)

\(1 + 48 + 5 = 54 \)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru varsayalım ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(10^{n+1} + 3\cdot{4^{n + 1+2}} + 5 = 10\cdot{10^n} + 3\cdot{4\cdot{4^{n+2}}} + 5 = \)

\( 10\cdot{10^n} + 12\cdot{4^{n+2}} + 5 = 10^n + 9\cdot{10^n} + 3\cdot{4^{n+2}} + 9\cdot{4^{n+2}} + 5 = \)

\(10^n + 3\cdot{4^{n+2}} + 5 + 9(10^n + 4^{n+2}) \)

İfadedeki son terim dokuzun katıdır ve diğer kısım da dokuza bölündüğünü varsaydığımız ifadeye eşit. Demek ki bütün ifade dokuza bölünüyor ve önerme doğru.

Tümevarım ve bölünebilme (3)

  1. \(5^{2n} – 3^{2n} \) sekize bölünür.

Önermeyi \(n = 0 \) için test edelim.

\(5^{2\cdot 0} – 3^{2\cdot 0} = 5^0 – 3^0 = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığını araştıralım.

\(5^{2\cdot(n+1)} – 3^{2\cdot(n+1)} = 5^{2n+2} – 3^{2n+2} = \)

\(25\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} = 16\cdot 5^{2n} + 9\cdot 5^{2n} – 9\cdot 3^{2n} \)

\(16\cdot 5^{2n} + 9(5^{2n} – 3^{2n}) \)

İlk terim onlatının katı olduğundan sekize de bölünür. Diğer terimin de sekize bölündüğünü zaten kabul etmiştik. Demek ki önerme doğruymuş. Aslında aynı şekilde bu ifadenin onaltıya bölündüğünü de ispatlayabilirdik.

2. \(2^{3n} + 13 \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(2^{3\cdot 0} + 13 = 2^0 + 13 = 1 + 13 = 14 \)

Önerme \(n = 0 \) için doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n+3} + 13 = 8\cdot 2^{3n} + 13 = \)

\(7\cdot 2^{3n} + 2^{3n} + 13 \)

İlk terim yediye bölünür, geri kalan terimlerin de yediye bölündüğünü varsaymıştık. O zaman önermemiz doğru demektir.

3. \(a \) birden büyük bir doğal sayı ise \(a ^ {n} – 1 \) \(a – 1\)’e bölünür.

Önce önermeyi \(n = 0 \) için deneyelim.

$ a^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $

Önerme 0 için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\(a^{n+1) – 1 = a\cdot a^n – 1 = a^n – 1 + (a – 1)a^n \)

Son terim \(a – 1 \) sayısına bölünür. Soldaki terimin de \(a – 1 \) sayısına bölündüğünü kabul etmiştik. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4. \(n^7 – n \) yediye bölünür.

\(n = 0 \) için deneyelim.

\(0^7 – 0 = 0 – 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)^7 – (n+1) = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1 – n – 1 = \)

\(n^7 – n + 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n) \)

İlk baştaki iki terimin yediye bölündüğünü varsaymıştık. Kalan terim de yedinin katı olduğunda bu ifade de yediye bölünüyor. Demek ki önerme doğruymuş.

5. \(3^{n+1} + 2^{3n + 1} \) beşe bölünür.

Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(3^{0 + 1} + 2^{3\cdot 0 + 1} = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 \)

Önerme 0 için doğru olduğuna göre şimdi bunu \(n \) için doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru mu diye bakalım.

\(3^{n + 1 + 1} + 2^{3(n+1) + 1} = 3^{n+2} + 2^{3n + 4} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 8\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3\cdot 3^{n + 1} + 3\cdot 2^{3n + 1} + 5\cdot 2^{3n + 1} = \)

\(3(3^{n+1} + 2^{3n + 1}) + 5\cdot 2^{3n + 1} \)

İlk terim varsayımımız nedeniyle beşe bölünüyor ve ikinci terim de beşin katı olduğundan önermemiz doğrudur.

Tümevarım ve bölünebilme (2)

  1. \(n^3 – 6n² + 14n\) üçe bölünür

\(n = 0\) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 6\cdot 0² + 14\cdot 0 = 0 – 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için önermeyi test edelim.

\((n+1)³ – 6(n+1)² + 14(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – 6n² – 12n – 6 + 14n + 14 \)

\(= n³ -3n² + 5n + 15 \)

Bu ifadeyi değerini değiştirmeden önermede verilen formu elde edecek şekilde dönüştürelim.

\( n³ -3n² + 5n + 15 = n³ – 3n² – 3n² + 3n² + 5n + 9n – 9n + 15 \)

\(= n³ – 6n² + 14n + 3n² – 9n + 15 = n³ -6n² + 14n + 3(n² – 3n +5)\)

İfadenin ilk kısmının üçe bölündüğünü varsaymıştık ve ikinci kısım da üçe bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

2. \(3^n – 3\) altıya bölünür

Önermeyi önce n = 0 için deneyelim.

\(3⁰ – 3 = 1 – 3 = -2 \)

-2 altıya bölünmez demek ki önermemiz 0 için doğru değilmiş. O zaman \(n = 1 \) için deneyelim.

\(3¹ – 3 = 3 – 3 = 0\)

Demek ki önermemiz 1 için doğruymuş. Şimdi önermeyi birden büyük n değerleri için doğru kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

\(3 ^ {n+1} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 = 3\cdot 3^{n} – 3 – 6 + 6 \)

\(= 3\cdot 3^{n} – 9 + 6 = 3(3^{n} – 3) + 6\)

İçerideki terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. Bu durumda bütün ifade de altıya bölünür ve böylece önermemizin sıfırdan büyük n değerleri için doğru olduğunu göstermiş olduk.

3. \(n³ + (n+1)³ + (n+2)³\) dokuza bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

\(0³ + 1³ + 2³ = 0 + 1+ 8 = 9\)

Demek ki \(n = 0 \) için önerme doğru. Şimdi \(n \) için de doğru olduğunu var sayalım ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³ = (n+1)³ + (n+2)³ + n³ + 9n² + 27n + 81 \)

\(= n³ + (n+1)³ + (n+2)³ + 9(n² + 3n + 9)\)

Baştaki terim dokuza bölündüğünü varsaydığımız kısım, sondaki terim de dokuza bölünüyor. Demek ki önermemiz doğruymuş.

4.\(7^{2n} – 2^{n}\) kırkyediye bölünür.

n = 0 için önermeyi deneyelim.

\(7⁰ – 2⁰ = 1 – 1 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi n için doğru olduğunu kabul edelim ve n + 1 için test edelim.

\(7^{2(n+1)} – 2^{n+1} = 7^{2n + 2} – 2^{n+1} = 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} \)

\(= 49\cdot 7^{2n} – 2\cdot 2^{n} – 47\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n} \)

\(= 49\cdot 7^{2n} – 49\cdot 2^{n} + 47\cdot 2^{n}\)

Soldaki ifadenin kırkyediye bölündüğünü varsaymıştık ve sağdaki terim de kırkyediye bölünüyor. O zaman önerme doğruymuş.

5. \(5^n + 7\) dörde bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi kontrol edelim.

\(5⁰ + 7 = 1 + 7 = 8\)

\(n = 0 \) için önerme doğruymuş. O zaman \(n \) için doğru olduğunu kabul edip \(n + 1 \) için test edelim.

\(5^{n+1} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 = 5\cdot 5^{n} + 7 + 28 – 28 = 5\cdot 5^{n} + 35 – 28 = 5\cdot (5^{n} + 7) – 28 \)

İçerideki terimin dörde bölündüğünü kabul etmiştik. 28 de dörde bölündüğünden bütün ifade de dörde bölünür. Demek ki önermemiz doğruymuş.

Tümevarım ve bölünebilme

Geçen gün Ümit bana internetten bulduğu tümevarım sorularını gönderdi. Soruların ilk bölümü bazı formdaki sayıların belli sayılara bölünebildiğini ispatlama üzerineydi. Tümevarımı lisede bazı formülleri ispatlamak için kullandığımı hatırlıyorum ama bölünebilme için hiç kullanmamıştım. Bölünebilme soruları için hep, sayıyı bir çarpanı soruda istenen sayı olacak şekilde yazmaya çalışırdım. Şimdi bu soruları bir de tümevarımla çözmeye çalışayım.

  1. \(n² + n \) bir çift sayıdır.

Önce bu önermeyi \(n = 0\) için deneyelim.

\(0² + 0 = 0 + 0 = 0 \)

0 sayısı çift olduğundan önermemiz \(n = 0 \) için doğru. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için de doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)² + n + 1 = n² + 2n + 1 + n + 1 = n² + 3n + 2 = n² + n + 2n + 2 = n² + n + 2(n + 1) \)

Burada \(n² + n\) teriminin çift olduğunu varsaymıştık. Bu durumda bu çift sayıya eklenen \(2(n + 1) \) sayısı da çift olduğundan toplam da çift olacaktır. Böylece tümevarımımız bitmiş oldu.

2. \(n³ + 2n\) sayısı üçe bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğruymuş. Şimdi önermeyi \(n \) için doğru kabul edip \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)³ + 2\cdot (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 2n + 2 = n³ + 3n² + 3n + 2n + 3 = n³ + 2n + 3n² + 3n + 3 = n³ + 2n + 3(n² + n + 1)\)

\(n³ + 2n \) teriminin üçe bölündüğünü varsaymıştık. Kalan \(3(n² + n + 1) \) terimi de üçe bölündüğünden toplamları da üçe bölünecektir. Böylece önermeyi ispatlamış olduk.

3. \(4n³ – n\) üçe bölünür

Önce \(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0 \)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğru olup olmadığına bakalım.

\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n – n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3(n² + n) \)

\(n³ – n\) teriminin üçe bölündüğünü kabul etmiştik. \(3(n²+n)\) terimi de üçe bölündüğünden bütün ifade üçe bölünmektedir. Böylece önermeyi ispat etmiş olduk.

4. \(n³ – n\) altıya bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(0³ – 0 = 0 – 0 = 0\)

\(n = 0\) için önerme doğruymuş. Şimdi \(n \) için önermeyi doğru kabul edelim ve \(n + 1 \) için doğruluğunu test edelim.

\((n+1)³ – (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 – n – 1 = n³ + 3n² + 3n -n = n³ – n + 3n² + 3n = n³ – n + 3n(n + 1) \)

\(n³ – n\) teriminin altıya bölündüğünü kabul etmiştik. Diğer terime dikkat edelim şimdi. n ve n + 1 sayılarından biri çift olmak zorunda olduğundan bu çarpım ikiye bölünebilmeli. O zaman son toplamı şöyle yazabiliriz.

\(n³ – n + 3\cdot2\cdot m = n³ – n + 6m \)

Demek ki bu toplam da altıya bölünüyor.

5. \(2n³ + 3n² + n\) altıya bölünür.

\(n = 0 \) için önermeyi deneyelim.

\(2\cdot{0³} + 3\cdot{0²} + 0 = 0 + 0 + 0 = 0\)

Önerme 0 için doğru. Şimdi \(n \) için doğru olduğunu varsayalım ve \(n + 1\) için doğruluğunu test edelim.

\(2\cdot{n+1)³ + 3\cdot(n+1)² + (n+1) = 2\cdot(n³ + 3n² + 3n + 1) + 3(n² + 2n + 1) + (n + 1) = 2n³ + 6n² + 6n + 2 + 3n² + 6n + 3 + n + 1 = 2n³ + 9n² + 13n + 6 = 2n³ + 3n² + n + (6n² + 12n + 6) = 2n³ + 3n² + n + 6(n² + 2n + 1)\)

İlk terimin altıya bölündüğünü varsaymıştık. İkinci terim de altıya bölündüğünden toplam da altıya bölünür.

Bu sayfada bölünmeyle ilgili diğer alıştırmaları da zamanla çözeceğim. Tümevarım bu tür sorularda gerçekten de oldukça kullanışlı bir yöntem olabiliyormuş.