Perceptron (Bias)

Bu yazıda tek girdili basit perceptron modelinde bahsettiğim bir zayıflığın nasıl giderilebileceğini göstereceğim. Bahsettiğim zayıflık bu perceptronun sayı doğrusunu hep 0 noktasından ikiye ayırmasıydı. Kullanacağım çözüm aslında biraz hile gibi gözüküyor çünkü kullanacağım perceptron artık tek bir girdiye sahip olmayacak.

Simulasyon sayfasında çözüm modeline bakarsak ilk bakışta bu perceptronun aslında iki girdili bir perceptron olduğunu görüyoruz ama arada küçük bir fark var. Alttaki girdinin değeri her zaman 1.0 kalmakta. Böylece iki girdili perceptron durumundaki gibi iki değişkenimiz yok, hala sadece bir değişkenimiz var ama bu ekstra terim artık karar eşiğini sağa ya da sola kaydırabilecek.

\(o = sgn(i \cdot w + 1.0 \cdot w_{b}) = sgn(i \cdot w + w_{b}) \)

burada \(w \) yukarıdaki girdinin bağlı olduğu ağırlık değerini simgelerken, \(i \) de yukarıdaki girdi oluyor. \(w_{b} \) ise aşağıdaki sabit bias girdisinin ağırlık değeridir ve bu ağırlık öğrenme aşamasında tabii ki değişkendir. Yukarıdaki denklemde de görülebileceği gibi bu ağırlık değeri sign fonksiyonunu kendi değeri kadar sağa ya da sola kaydırır.

signum fonksiyonu
signum fonksiyonunun grafiği

Şimdi bu fonksiyonu bias terimi (\(w_{b} \)) ile görelim.

sign(x+2) fonksiyonunun grafiği

Simulasyonda bias terimiyle oynayarak aşağıdaki grafikte hangi girdi değerlerinin perceptronu aktifleştireceğini ve hangi değerlerin aktifleştirmeyeceğini görebiliriz. Bu sefer ayrımın 0 noktasında olmak zorunda olmadığına da dikkat edelim.

Günübirlik geziler (Worms – Nibelungen şehri)

Bir Alman-İstandinav destanı olan Nibelungen büyük ihtimalle kavimler göçü zamanına dayanıyor. Hun hakanı Attila zamanındaki ve sonrasındaki olayları birbirleriyle karıştırıp, değiştirip bir destan yaratmışlar. Bu destanda geçen önemli karakterlerle ilgili çeşitli anıtları ve çeşmeleri görmeyi planlamıştım ve bunları görebildim. Bir de Nibelungen müzesi var şehirde ama onu gezmeye zamanım yetmedi. Artık bir dahaki sefere.

İstasyondan katedrale doğru giderken kısa süre sonra Nibelungen destanı çeşmesine geliniyor. Çeşmedeki anıtta destandan bazı sahneler ve alıntılar görülebiliyor.

DA ABER SPRACH KRIEMHILD: ICH LASSE NICHT ZU DASS DU MICH ALS DIEBIN BEZICHTIGST…
SIEGFRIED NAHM DEN GÜRTEL, ZOG ZURÜCK UND FLUGS LEGTE SICH GUNTHER ZU BRUNHILD INS BETT…
DA WAR HAGEN ZU BODEN GESTRAUCHELT NIEDERGEWORFEN VON SIEGFRIED. DIE WUCHT DES SCHLAGES WIEDERHALLTE LAUT ÜBER DEN WERDER…

Biraz ileride de Worms şehrinin tarihindeki önemli olayların anlatıldığı Çarkıfelek çeşmesi vardı.

Katedralden dönerken yolda önce Siegfried çeşmesine uğradım.

Siegfried çeşmesi

En son da Ren kıyısındaki Hagen anıtına uğradım.

Hagen Nibelungen hazinesini Ren nehrine atarken.
Ren nehrinin karşı kıyısı

Bundan sonra yağmur devam ettiğinden ve hava da yavaş yavaş kararmaya başladığından dönüş yolculuğuna geçtim. Yol üzerinde büyük şehirlerde görüp de şaşırdığımız yabani papağanlardan da gördüm.

Acaba ne demek

Bu yazı serisinde bazı denklemlerin ne anlama geldiğine çeşitli açılardan bakmayı düşünüyorum. Bilim iddia edildiği kadar karmaşık değildir belki de.

Hadi o zaman aşağıdaki denklemle başlayalım.

\({n \choose k} = {n \choose {n-k}}\)

Evet bu denklem kombinatorik alanından geliyor. Bu gösterim \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt küme sayısını ifade eder. Bu eşitliği lisede öğrenir ve binom açılımlarında sıklıkla kullanırız. Bu denkliği cebir ile göstermek kolaydır ve bunu yazının sonunda yapacağım. Bu yazıdaki asıl amacım ise bu eşitliğin ne demek olduğu üzerinde düşünmek.

Eşitliğin sol tarafı yukarıda da dediğim gibi \(n \) elemanlı bir kümenin \(k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor. Sağ tarafı da yine bu \(n \) elemanlı kümenin \(n-k \) elemanlı alt kümelerinin sayısını veriyor.

\(n \) elemankı kümemizden her \(k \) elemanlı küme seçtiğimizde geriye seçmediğimiz (ya da dolaylı olarak seçtiğimiz) \(n-k \) eleman kalacaktır ve bu elemanlar da bir küme oluşturacaktır. Yani her \(k \) elemanlı bir altküme için yine \(n-k \) elemanlı bir altküme var. \(k \) elemanlı herhangi iki küme birbirinden farklı ise, yani ortak olmayan en az bir elemanları varsa o zaman bu altkümeler tarafından elde edilen \(n-k \) elemanlı altkümeler de birbirlerinden farklıdır. Bunu şöyle görebiliriz. Bu \(k \) elemanlı altkümelere \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) diyelim. Bunların dolaylı olarak oluşturduğu \(n-k \) elemanlı altkümelere de \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) diyelim. Şimdi \(a \) elemanı \(A_{1} \) altkümesinin bir elemanı olsun ama \(A_{2} \) altkümesinde bulunmasın. O zaman bu \(a \) elemanı \(B_{2} \) altkümesinde bulunacaktır ama \(B_{1} \) altkümesinde olmayacaktır. Bu nedenle \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de farklı olacaktır. Bu şekilde farklı her \(k \) elemanlı altküme için yine farklı bir \(n-k \) elemanlı bir altküme bulacağız. Demek ki \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı kadar olacak.

Aynı küme için iki değişik altküme seçimi

Yukarıdaki şekilde üst tarafta büyük kümenin (toplam 8 elemanı var) 5 elemanlı bir \(A_{1}\) altkümesini seçtim. Bu kümede bir \(a \) elemanı var ve diğer önemsiz elemanları sadece noktalarla gösterdim. Bu \(a \) elemanı 8 elemanlı kümede bir tane olabileceğinden \(B_{1} \) kümesinde \(a \) elemanı yoktur. Şeklin altında da bu 8 elemanlı kümeden başka bir 5 elemanlı bir altküme seçtim ama bu altkümede \(a \) elemanı bulunmamakta. O zaman bu eleman seçmediğim \(B_{2} \) altkümesinde olmak zorunda. \(A_{1} \) ve \(A_{2} \) altkümeleri birbirlerinden farklı olacak şekilde seçilmişlerdi. Bu seçimler sonucunda elde ettiğimiz \(B_{1} \) ve \(B_{2} \) altkümeleri de birbirlerinden farklıdır, çünkü birinde (\(B_{2}\)) \(a \) elemanı varken diğerinde bu eleman yoktur.

Bu altküme seçiminin tersten de çalıştığını görebiliriz, yani \(n-k \) elemanlı bir altküme seçtiğimizde otomatik olarak kalan \(k \) elemanlı altkümeyi de seçmiş oluruz. O zaman bir önceki paragraftaki bütün çıkarımları \(k \) ile \(n-k \) değerlerinin yerlerini değiştirerek aynen kullanabiliriz. Böylece son cümleyi de \(k \) elemanlı altkümelerin sayısı en az \(n-k \) elemanlı kümelerin sayısı kadar olmalı sonucuna ulaşacağız. Bu iki son cümle önermelerinin aynı anda doğru olduğu tek durum \(k \) ve \(n-k \) elemanlı altkümelerin sayılarının eşit olması durumudur. 

Şimdi de biraz cebir yapalım ve aynı eşitliği gösterelim: 

\({n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}} \)                                 (Tanım)

\(=\frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{k!}} \)                                         (Çarpmanın değişme özelliği)

\(= \frac{n!}{{(n-k)!}\cdot{(n-(n-k))!}} \)                           (\(n – (n – k) = n – n + k = k\))

\(={n \choose {n-k}}\)                                             (Tanım)

Günübirlik geziler (Worms – Martin Luther ve St. Petrus Katedrali)

Mannheim’dan trene binip Worms’a doğru yola çıktım. Zamanlamam da iyiydi, Mannheim’da yağmur şiddetlenmeye başlamıştı. Yirmi dakika sonra Worms’a geldiğimde zamanlamamın o kadar da iyi olmadığını anladım, yağmur şiddetlenmişti.

Katedrale doğru giderken bir parktan geçmem gerekti ve parkta aşırı yağmura rağmen Martin Luther anıtının fotoğraflarını çektim.

Martin Luther anıtındaki şehirlerin kolajı
Martin Luther ve dadaşlar

Parkı geçtikten hemen sonra St. Petrus Katedrali’ne geldim. Oldukça büyük bir yapı kompleksi çağlar boyunca inşa edildiğinden gotik ve barok gibi değişik mimari özelliklere sahipmiş ama ben bu farkları anlayacak kadar bu konulara hakim değilim. Aşağıda dışarıdan çektiğim iki fotoğrafta belki bu mimari özellikler anlaşılıyordur.

Sonra içeri girdim. Bu sefer oldukça karanlık bir ortamdı. Aslında ortaçağ havasına çok uygun bir karanlık ama fotoğraf çekmek için çok uygun değildi. Yine de vitray pencereler çok güzeldi. Bazıları incilden hikayeler anlatırken bazıları da sanki soyut sanat örnekleriydi.

Bunlardan başka hiçbir anlam veremediğim heykeller de vardı.

Taştan süslemelere bir örnek. Bunlardan daha bir sürü var tabii ki.
Katedralin orgu
Katedralin kapılarından biri
Katedralin bu modeli üzerinde körler alfabesi ile neyin ne olduğu yazılmış. İlginç ve güzel bir hizmet.
Martin Luther’in topluluğa konuştuğu yer ayakkabılarıyla işaretlenmiş.

Dönüş yolunda da Worm’un meşhur olduğu ikinci konuyla ilgili önemli adreslere (biri hariç) gittim. Bunu da bir sonraki yazıda anlatırım.

Günübirlik geziler (Jesuitenkirche)

1 Kasım resmi tatilinden de faydalanıp çevreyi gezeyim dedim. Google’da Mannheim’da görülebilecek yerleri arattım ve ilk sırada Jesuitenkirche çıktı. Sokakların arasında kalıyor olması biraz rahatsız ettiyse de gidip görmeye karar verdim. İstasyona oldukça yakın sayılır, yürüme onbeş dakika filan sürdü. Vardığım zaman gerçekten de fotoğraf çekebilmek için pek bir açıklık olmadığını gördüm.

Jesuitenkirche

Fotoğrafı çektiğim yeşilliğin hemen arkamda kalan tarafında da Schiller’in bir heykeli bulunmakta.

Friedrich Schiller

Kiliseye vardığımda içeri fotoğraf makinesiyle paldır küldür dalmadan önce kapıda asılı olan ayin takvimini kontrol ettim. Normalde ayinler sırasında fotoğraf ve film çekmek yasaktır ama ayine katılmak serbest. Ben geldikten kısa süre sonra kapıya dilencilerin de gelmesiyle ayinin fazla sürmeyeceğini düşünüp kapıda beklemeye başladım. Tabii ki profesyönel dilenciler önce para istemeye başladılar ve sonra da fotoğraflarını çekmemi istediler ama ikisine de hayır dedim.

Kilisenin temeli Karl Philipp zamanıdna atılmış
İnşaat Karl Theodor zamanında bitirilmiş
Kapınınğzerindeki figürler

Cizvitler tarafından kurulan bu kilise güneybatı Almanya’nın en önemli barok kiliselerinden biridir. Ayin bitip de içeri girdiğimde görüntü çok etkileyiciydi. Çok büyük bir kilise değildi ama çok renkli ve pencereler ve lambaların başarılı kullanımı sayesinde oldukça aydınlıktı.

Şimdi içeriden görüntülerle sizi biraz başbaşa bırakayım:

tepelerdeki işlemesiz pencerelerden epey ışık geliyor
Kilisenin duvarları bu tür tablolarla doluydu
ve tabii ki kilisenin olmazsa olmazı: Org

Dönüş yolunda barok sarayın önünden geçtim ama bakımda olduğundan açık değildi. İlkbaharda yeniden açılacakmış. O zaman orayı da gezeceğim.

Sağa ve sola doğru on yirmi kere daha bu büyüklükte bir yapı düşünün.

İstasyon’a döndükten sonra Mannheim’daki ikinci büyük kiliseyi internette tekrar aradım ama iki gün önce bulduğum, hatta daha önce bahçe kısmını gezdiğim bu kiliseyi bu sefer bulamadım. Bunun üzerine trene atlayıp bir sonraki hedefe doğru yola çıktım. Onu da başka bir yazıda anlatırım.