Bir odada bir grup insan var. Her birinin kafasında ya mavi ya kırmızı bir şapka var. Herkes kendi başındaki şapka hariç diğer şapkaları görebiliyor. İçlerinden biri “en az altı mavi ve en az altı kırmızı şapka görenler ellerini kaldırsın” diyor. On iki kişi ellerini kaldırıyor. Odada kaç kişi vardır?
Şu sıralar grup teorisi üzerine bir matematik kitabı okuyorum. Daha en başlardayım. İlk örnekler geometrik şekillerin simetrileri ile ilgili. Yani kısaca, bir geometrik şekli bozmadan onu nasıl dönüştürebiliriz ki aynı başlangıçtaki pozisyonu alsın? Evet biliyorum, anlatmayı beceremedim. Şöyle bir örnekle tekrar deneyeyim.
Mesela elimizde bir kare var. Bu kareyi merkezi etrafında doksan derece döndürürsek yine aynı pozisyondaki bir kare elde ederiz, çünkü köşeler yine köşelerin üzerine gelir. Evet, her bir köşe bir sonrakinin üzerine gelir ama bu bizi rahatsız etmesin. Bu harekete döndürme diyelim. Peki bundan başka hangi simetrilerimiz var?
Bir kare köşegenleri çevresinde de simetrik gözükür değil mi? Yani köşegen üzerindeki köşeleri sabit tutup diğer iki köşeyi yer değiştirirsek yine bütün köşeler üstüste gelir. Bu harekete de çevirmek diyelim, yani şekli o köşegen etrafında çevirmek. Buna benzer iki simetri eksenimiz daha var ama. Onlar da karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrular oluyor. Karemizi bu eksenler etrafında çevirdiğimizde yine aynı kareyi elde ediyoruz.
O zaman bu iki temel işlemi yukarıdaki gibi genelce kullanabiliriz artık. Döndürme şekli bir nokta etrafında belli bir derece döndürme olsun. Çevirme de bu şekli bir doğru etrafında köşeler yine üstüste gelecek şekilde döndürmek olsun. Evet, hala aynı kelimeleri değişik şeylerde kullandığımın farkındayım ama artık nokta etrafında döndürmeye kısaca döndürme, doğru etrafında döndürmeye de çevirme diyeceğim.
Dün kitapta birkaç tane soruyla karşılaştım:
Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Geometrik şeyleri kafamda canlandırmayı pek beceremem. Kağıt kalemle de aklıma hemen bir şey gelmedi. Sonra zaten canım sıkkın, bari evde bir yerlere tıkıştırdığım malzemeleri kullanayım dedim. Kartonlardan düzgün çokgenler kesmeye başladım. Sonra bu kestiğim şekillerin köşelerini fotoğraftaki gibi numaralandırmaya başladığımda birden soruların çözümü kucağıma düştü.
Eşkenar üçgen, kare, eşkenar beşgen ve eşkenar altıgen
Fotoğrafta da görüldüğü gibi kartonların A yüzünde köşeleri saat yönünün tersinde artacak şekilde işaretlerim. Kartonun diğer yüzüne B dedim ve aynı köşeleri aynı sayılarla işaretledim. Bu durumda B yüzünde köşelerin numaraları saat yönünde artmakta.
Şimdi herhangi bir kartonu alalım ve döndürme işlemine bakalım. Örneğin B yüzü yukarıda olan eşkenar üçgen şeklini alalım. Eşkenar üçgende her bir döndürme altmış derecedir. Bu şekli hangi yönde altmış derece döndürürsek döndürelim köşe numaraları saat yönünde artıyor olacak. Aynı özellik diğer şekillerde de korunur sadece döndürme açısı farklı olacak. Karede doksan derece, eşkenar beşgende yüzsekiz derece ve düzgün altıgende de yüzyirmi derece döndürmek gerekecek.
Bir eksen etrafında çevirme işleminde ise kartonların yüzleri değişeceğinden köşelerin dizilimi de değişecek, yani çevirmeden önce saat yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünün tersinde artacaklar. Aynı şekilde çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünde artacaklar.
Bu bilgiler eşliğinde kitaptakı sorulara bakıncakitaptaki soruları çok kolay çözebildim ve de nedenini de anladım.
Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Varsayalım çevirmeden önce A yüzü yukarıda olsun. Demek ki çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artmaktaymış. Bir kere çevirdikten sonra köşeler saat yönünde artıyor olacak ve bir daha çevirince yine A yüzü yukarı gelecek ve köşe numaraları eskisi gibi saat yönünün tersi yönünde artıyor olacak. Köşelerin hangi konuma geldiklerinin bir önemi yok, bildiğimiz şey bu son şekil her durumda köşeler birbirlerine göre aynı dizilimi koruyacaklar. Sadece köşelerin ilk konuma göre bulundukları yerler farklı olabilir ama dizilimleri aynı olacak ve bu dizilim de başlangıçtaki konumdan bir döndürmeyle elde edilebilir.
Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Döndürme işlemleri köşe numaralarının artış yönlerini değiştirmemekte. Şekil de ayrıca deforme olmadığından her köşenin komşu köşeleri de aynı kalır. Dolayısıyla bir köşe döndürme yönünde başlangıçtan ne kadar uzaklaşmışsa diğer bütün köşeler de aynı yönde o kadar uzaklaşmış olur. Bu da toplamda başka bir döndürmeye eşdeğerdir.
Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.
Bu işlemlerde sadece bir çevirme olduğuna göre köşelerin numaralarının artış yönü tersine dönecek. Bu da ancak çevirme işlemi ile sağlanabilir. Peki bu iki işlem sonucunda oluşan her dizilim için bir çevirme var mı? Yukarıda da gördüğümüz gibi döndürme ve çevirme işlemleri köşelerin birbirlerine göre konumlarını hiç değiştirmiyor, yani şekilde bir deformasyon olmuyor. Köşelerin birbirlerine göre konumlarında bir değişiklik olmuyorsa toplamda köşe sayısı kadar olası dizilim vardır. Düzgün çokgenlerde de köşe sayısı kadar çevirme için simetri ekseni vardır. Her eksen farklı bir dizilim yaratıyorsa sorunumuz çözülmüş olur. Örneğin 1 numaralı köşeyi alalım ve sırayla bu çevirmelerin bu köşeyi farklı köşelere gönderdiğini görelim. Elimde kartonlar varken bunu görmek benim için daha da kolay. Eğer seçilen bir köşeyi herhangi bir köşeye gönderebiliyorsam, sıralamalar da korunduğuna göre her dizilim için bir çevirmek bulabiliriz demektir.
İki gün önce şef diğer ekipten M’ın, planladığımız güncelleme ile ilgili benimle konuşmak istediğini söyledi. Anladığım kadarıyla bazı endişeleri varmış. M da dün aradı ve konuştuk. Önce kısaca problemden bahsedeyim ama. Üretim hattında birbiriyle konuşan iki adet makinemiz var. Benim programladığım makine ürünleri optik inceliyor, M’ın programladığı da tartıyor. Sonunda ürün bilgileri M’ın programladığı makinede gösteriliyor. Bu gösterilen bilgilerin bir kısmı da ürünün değişik görüntüleri. Aynı ürün için biri röntgen ikisi optik olmak üzere üç değişik görüntümüz var. Bu görüntüleri göndermeden önce ham verileri JPG’e dönüştürüyorum ve bu işlem üretim hızına oranla çok uzun sürüyor. Diğer program bu verileri topluyor ve eğer ürün hala üretim hattındaysa ağırlık bilgisiyle beraber gösteriyor. Şimdi burada karşılaştığımız sorun şu: Sık sık görüntü güncellemesi olmuyor çünkü veriler zamanında diğer sisteme ulaşmıyor. Bu da kullanıcıyı rahatsız ediyor.
Bu sorunu gidermek için iki değişiklik yaptık. Birinci değişiklikte M bana hangi ürünü göstermek istediğini önceden söylüyor ve bu sayede JPG dönüştürmesine daha önce başlayabiliyorum. İkinci değişiklikte de diğer sistemlere gönderdiğimiz verileri kısıtlayarak sistemdeki yükü biraz hafiflettik. Bu iki çözüm testlerimizde durumu epey iyileştirdi. Tabii ki kesin çözüm değildi bunlar ve arada problem yine olacaktı ama eskisi kadar uzun sürmemesi hedefimizdi.
Yaptığımız ikinci değişiklik için program güncellemesine gerek yoktu. İki parametreyle o işi halledebiliyorduk. Bunu müşterideki sistemde uyguladık ve sonuçlar geçen gün geldi. Bir iyileşme yoktu. M da bu sonuçlar üzerine endişelenmeye başlamıştı. Bana telefonda eğer bu değişiklik bir sonuç vermediyse diğer değişiklik de işe yaramayabilir, o zaman müşteriye ne cevap veririz diye sordu.
Kendi testlerimiz için bir ölçüm metodu tanımlamıştık. Bu testler sonunda iki şey gördük. İki çözüm beraberken sistemde iyileşme görebiliyorduk ve bu yöntemler ölçülebilir bir iyileşme de getiriyordu. Fakat müşteride bu testleri yapan kişi hiç tanımadığımız bir ölçüm aletiydi. Evet, her insan bir ölçüm aletidir ve standartları da yoktur. Ben de M’a, o zaman diğer ölçüm aletini öğrenelim ve testlerimizi ona göre uygulayalım dedim. Belki müştriyle konuşursak beklentilerini ölçülebilir bir hale getirebilirdik. O zaman sürprizlere de ihtiyacımız kalmazdı.
Sonra bu görüşmeyi şefe de anlattım. Şef her zamanki gibi pragmatik yolları tercihten yanaydı. Ölçümlerimizi müşteriye sunabilirdik ve kötüleşme de gözlemlenmemişti. Müşteriyle konuşarak zaman kaybetmeye ne gerek vardı ki? Bakalım şef önce M ile konuşsun da ne yapacağımız bir belli olsun.