Etiket: grup teorisi

Grup teorisi diye hobi mi olurmuş?

Hobi olarak matematik öğreniyorum. Acele etmeden. İşime yarar mı diye kaygılarım olmadan. Şu an ilgilendiğim alanı ise grup teorisi. Nedir, ne değildir diye anlatmaya kalkmayacağım. Bilgisayarıma indirdiğim kitaplardan arada bir okuyorum ve kitaptaki alıştırmaları kağıt kalemle çözmeye çalışıyorum. Hafta sonu yazmaya çalıştığım Hackenbush programı iyi gidince takılıp kaldığım probleme bir daha baktım.

\(p \) bir tek asal sayı olsun. \(U(p^n) \) grubunda derecesi 2 olan tek elemanın \(p^n – 1 \) olduğunu gösterin.

Bu soruyla uzun zamandır uğraşıyordum. Uğraşıyordumdan kastım arada bir bakıp hiçbir ilerleme kaydedemiyordum. Yapabildiğim tek şey, eğer bu grupta derecesi ikinci bir eleman daha varsa, başka bir üçüncü eleman daha olmalıdır sonucuna ulaşmak olmuştu.

\(a \) ve \(b \) dereceleri 2 olan iki değişik eleman olsun dedim. O zaman \(a \cdot a = e \) ve \(b \cdot b = e \) demektir. Bu ikisi de birbirinden farklı olduğuna göre ve ikisinin de dereceleri 2 olduğuna göre birbirlerinin tersi değillerdi. Eğer biri diğerinin tersi olsa o zaman

\(a \cdot b = e \)

\(a \cdot a \cdot b = a \cdot e = a \)

\(e \cdot b = b = a \) sonucu çıkacaktır. Ama a ve b birbirlerinden farklıydı. Demek ki çarpımları da etkisiz eleman olamazdı.

Peki çarpımlarının derecesi kaç olurdu?

\(a \cdot b \cdot a \cdot b = a^2 \cdot b^2 \) çünkü grubumuz değişmeli grup.

\(a^2 \cdot b^2 = e \cdot e = e \)

Bu çarpımın etkisiz eleman olmadığını biliyordum. Demek ki çarpımın derecesi 2 imiş. Böylece bu grupta derecesi 2 olan en az üçüncü bir elemanın olacağını gösterdim ve bir aptallık yapıp burada durdum.

Neyse daha fazla ilerleme kaydedemediğimden hafta sonu matematikçi bir arkadaşımı arayıp soruyu anlattım ve bana verebileceği bir ipucu olup olmadığını sordum.

Bana ilk dediği şeylerden biri bu grupta eleman sayısı 4 olan bir alt grup bulmuşsun oldu. Benim aklıma bunun bir altgrup olup olmadığını araştırmak gelmemişti. Sonra hemen denedim tabii.

Derecesi 2 olan üçüncü sayı \(c = a \cdot b \) olsun. Bu elemanlar çarpma altında kapalı mı diye baksam yeter diye düşündüm.

\(a \cdot c = a \cdot a \cdot b = e \cdot b = b \)

\(b \cdot c = b \cdot a \cdot b = b\cdot b \cdot a = e \cdot a = a \)

Gerçekten de kapalıydılar. Yani \(e \), \(a \), \(b\) ve \(c \) elemanları ve modulo \(p^n \)’e göre çarpma işlemi bir altgruptu.

Ondan sonra bana şunu örnek olarak \(U(9) \) grubunu verdi ve bu grubun 4 elemanlı bir altgrubu olabilir mi diye sordu. Olamaz dedim. \(U(9) \) 6 elemana sahipti ve 4, 6’yı bölmez.

Peki bunu genelleyebilir misin diye sordu. Yani \(U(p^n) \) grubunun eleman sayısı dörde bölünür mü diye sordu.

Bu noktada bana yeterince fikir verdiğini düşünüp teşekkür ettim ve iyi akşamlar diledim. Hemen elime kağıt kalemi alıp \(U(p^n) \) grubunun eleman sayısını hesaplamaya başladım. Aslında bunun förmülünü daha önce bulmuştum ama yine bir kontrol ettim. Bu grubun \(p^n – p^{n-1} \) elemanı vardı.

Bunu da çarpanlara ayırdığımda \(p^{n-1} \cdot (p – 1 )\) çıkıyordu. \(p^{n-1}\) her zaman tek sayı olduğundan dörde bölünemez ama \(p \) asal sayısı \(4k + 1\) formundaysa bu grubun eleman sayısı dördün bir katı olacaktı. Gerçekten de 13, 17, 37 gibi asal sayılar için grubun eleman sayıları 12, 16 ve 36 oluyordu. Demek ki bu şekilde bir genelleme olmuyordu ve aklıma daha başka bir şey de gelmediğinden yatıp uyudum.

Sabahleyin arkadaşımı tekrar arayıp bazı asal sayılar için grup eleman sayısının dörde bölünebildiğini söyledim. Bana ilk söylediği şey, bu durumda başka bir çelişkiye ulaşacağım oldu. Bu çelişki bir türlü aklıma gelmiyordu. Sonra dedi ki, mesela \(U(37) \) grubunun 4 elemanlı cyclic olmayan bir altgrubu olabilir mi? O an her şey yerine oturdu. Ben bulduğum dört elemanlı altgrubun cyclic olup olmadığına bakmamıştım bile. Bu altgrup tabii ki cyclic değildi ama ilk başta verilen grup (\(U(p^n)\) ) cyclic idi. Cyclic bir grubun altgrupları da cyclic olmalıydı. Uğraştığım soru birden çözülmiştü.

Arkadaşımın bu kadar basit bir soruyu aklında tutmuş olmasına mı şaşırayım, yoksa bana bunu kolayca çözdürebilmesine şaşırayım bilemedim gerçekten de. Heralde bu sorular uzmanlar için üçle beşi toplamak gibi bir şeydir. Belki de her satranç ustasının çok iyi bildiği standart bir pozisyon gibidir. Böyle süper arkadaşlarım olduğu için çok şanslıyım.

Karton deyip geçmemeli

Şu sıralar grup teorisi üzerine bir matematik kitabı okuyorum. Daha en başlardayım. İlk örnekler geometrik şekillerin simetrileri ile ilgili. Yani kısaca, bir geometrik şekli bozmadan onu nasıl dönüştürebiliriz ki aynı başlangıçtaki pozisyonu alsın? Evet biliyorum, anlatmayı beceremedim. Şöyle bir örnekle tekrar deneyeyim.

Mesela elimizde bir kare var. Bu kareyi merkezi etrafında doksan derece döndürürsek yine aynı pozisyondaki bir kare elde ederiz, çünkü köşeler yine köşelerin üzerine gelir. Evet, her bir köşe bir sonrakinin üzerine gelir ama bu bizi rahatsız etmesin. Bu harekete döndürme diyelim. Peki bundan başka hangi simetrilerimiz var?

Bir kare köşegenleri çevresinde de simetrik gözükür değil mi? Yani köşegen üzerindeki köşeleri sabit tutup diğer iki köşeyi yer değiştirirsek yine bütün köşeler üstüste gelir. Bu harekete de çevirmek diyelim, yani şekli o köşegen etrafında çevirmek. Buna benzer iki simetri eksenimiz daha var ama. Onlar da karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrular oluyor. Karemizi bu eksenler etrafında çevirdiğimizde yine aynı kareyi elde ediyoruz.

O zaman bu iki temel işlemi yukarıdaki gibi genelce kullanabiliriz artık. Döndürme şekli bir nokta etrafında belli bir derece döndürme olsun. Çevirme de bu şekli bir doğru etrafında köşeler yine üstüste gelecek şekilde döndürmek olsun. Evet, hala aynı kelimeleri değişik şeylerde kullandığımın farkındayım ama artık nokta etrafında döndürmeye kısaca döndürme, doğru etrafında döndürmeye de çevirme diyeceğim.

Dün kitapta birkaç tane soruyla karşılaştım:

Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Geometrik şeyleri kafamda canlandırmayı pek beceremem. Kağıt kalemle de aklıma hemen bir şey gelmedi. Sonra zaten canım sıkkın, bari evde bir yerlere tıkıştırdığım malzemeleri kullanayım dedim. Kartonlardan düzgün çokgenler kesmeye başladım. Sonra bu kestiğim şekillerin köşelerini fotoğraftaki gibi numaralandırmaya başladığımda birden soruların çözümü kucağıma düştü.

Eşkenar üçgen, kare, eşkenar beşgen ve eşkenar altıgen

Fotoğrafta da görüldüğü gibi kartonların A yüzünde köşeleri saat yönünün tersinde artacak şekilde işaretlerim. Kartonun diğer yüzüne B dedim ve aynı köşeleri aynı sayılarla işaretledim. Bu durumda B yüzünde köşelerin numaraları saat yönünde artmakta.

Şimdi herhangi bir kartonu alalım ve döndürme işlemine bakalım. Örneğin B yüzü yukarıda olan eşkenar üçgen şeklini alalım. Eşkenar üçgende her bir döndürme altmış derecedir. Bu şekli hangi yönde altmış derece döndürürsek döndürelim köşe numaraları saat yönünde artıyor olacak. Aynı özellik diğer şekillerde de korunur sadece döndürme açısı farklı olacak. Karede doksan derece, eşkenar beşgende yüzsekiz derece ve düzgün altıgende de yüzyirmi derece döndürmek gerekecek.

Bir eksen etrafında çevirme işleminde ise kartonların yüzleri değişeceğinden köşelerin dizilimi de değişecek, yani çevirmeden önce saat yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünün tersinde artacaklar. Aynı şekilde çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artıyorduysalar çevirdikten sonra saat yönünde artacaklar.

Bu bilgiler eşliğinde kitaptakı sorulara bakıncakitaptaki soruları çok kolay çözebildim ve de nedenini de anladım.

Düzgün bir çokgende (yani her kenarı aynı uzunlukta olan) arka arkaya iki kere çevirmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Varsayalım çevirmeden önce A yüzü yukarıda olsun. Demek ki çevirmeden önce köşe numaraları saat yönünün tersi yönünde artmaktaymış. Bir kere çevirdikten sonra köşeler saat yönünde artıyor olacak ve bir daha çevirince yine A yüzü yukarı gelecek ve köşe numaraları eskisi gibi saat yönünün tersi yönünde artıyor olacak. Köşelerin hangi konuma geldiklerinin bir önemi yok, bildiğimiz şey bu son şekil her durumda köşeler birbirlerine göre aynı dizilimi koruyacaklar. Sadece köşelerin ilk konuma göre bulundukları yerler farklı olabilir ama dizilimleri aynı olacak ve bu dizilim de başlangıçtaki konumdan bir döndürmeyle elde edilebilir.

Düzgün bir çokgende arka arkaya iki kere döndürmenin neden bir döndürme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Döndürme işlemleri köşe numaralarının artış yönlerini değiştirmemekte. Şekil de ayrıca deforme olmadığından her köşenin komşu köşeleri de aynı kalır. Dolayısıyla bir köşe döndürme yönünde başlangıçtan ne kadar uzaklaşmışsa diğer bütün köşeler de aynı yönde o kadar uzaklaşmış olur. Bu da toplamda başka bir döndürmeye eşdeğerdir.

Düzgün bir çokgende önce döndürme ve ardından çevirmenin ya da önce çevirme ve ardından döndürmenin neden bir çevirme olduğunu geometrik olarak açıklayınız.

Bu işlemlerde sadece bir çevirme olduğuna göre köşelerin numaralarının artış yönü tersine dönecek. Bu da ancak çevirme işlemi ile sağlanabilir. Peki bu iki işlem sonucunda oluşan her dizilim için bir çevirme var mı? Yukarıda da gördüğümüz gibi döndürme ve çevirme işlemleri köşelerin birbirlerine göre konumlarını hiç değiştirmiyor, yani şekilde bir deformasyon olmuyor. Köşelerin birbirlerine göre konumlarında bir değişiklik olmuyorsa toplamda köşe sayısı kadar olası dizilim vardır. Düzgün çokgenlerde de köşe sayısı kadar çevirme için simetri ekseni vardır. Her eksen farklı bir dizilim yaratıyorsa sorunumuz çözülmüş olur. Örneğin 1 numaralı köşeyi alalım ve sırayla bu çevirmelerin bu köşeyi farklı köşelere gönderdiğini görelim. Elimde kartonlar varken bunu görmek benim için daha da kolay. Eğer seçilen bir köşeyi herhangi bir köşeye gönderebiliyorsam, sıralamalar da korunduğuna göre her dizilim için bir çevirmek bulabiliriz demektir.

Matematik tarihi

Bilimsel konuları okullarda bize belli bir sırayla teorik açıdan öğretiyorlar. Tarihinden çok az bahsediliyor. Heralde zaten yüklü olan müfredata göre zaman kalmadığından böyle yapılıyor ama tarihine gönderme de çok az yapılıyor. Öğrencinin ilgisi bu alanlara hiç çekilmiyor. Oysa bence asıl eğlence orada. Keşfi ya da icadı yapan ne düşünmüş? Neden öyle yollar izlemiş? Bir şeyin bulunmasıyşa bu şeyin bizim öğrendiğimiz hale gelmesi arasında geçen zamanda neler olmuş? Bu şey nasıl dönüşümlere uğramış? Bu sorular böyle devam eder.

Boş zamanlarımda grup teorisi çalışırken aklıma bir soru takılmıştı. Grup teorisi kitapları genelde bir örnek verip ardından da grup nedir diye bir tanım yaparlar. Ta lise zamanlarından bildiğimiz ve hiç değişmeyen bir tanımdır bu. Şu şu şu özelliklere sahip olan şöyle yapılara grup denir. Ondan sonra bu yapıların diğer özelliklerini incelemeye başlarız. Bu haliyle bile çok ilginç bir alandır ama benim aklıma takılan soru basit bir şeydi. Acaba grup teorisi tarihte pat diye mi ortaya çıktı yoksa zamanla değişerek gelişerek mi bu hale geldi? Yani bir matematikçi bir problem üzerinde çalışırken şu şu şu özelliklere sahip olan şöyle yapılara grup denir ve bu grupları kullanarak bu problem şöyle çözülür mü demiş yoksa problemin ya da çeşitli problemlerin çözümleri sırasında yavaş yavaş bu tanıma mı gelinmiş diye merak ettim. Aslında soruyu sorduğumda ikinci şıkkın daha olası olduğunu da düşünüyordum.

Matematikçi arkadaşlardan bu konuyla ilgili birkaç makale buldum ve okudum. Evet, olaylar ikinci şıktaki gibi gelişmiş. Daha sonra youtube’da aşağıdaki seriyi buldum. Baştan başlamadım ama. Doğrudan ilgilendiğim kısma baktım. Neyse ki profesör o derslerde bilmediğim bir şey kullanmadı ama yine de konuyu beklediğim kadar derinlemesine işlemedi ama derslerin birinde Morris Kline’ın “Mathematical Thought from Ancient to Modern Times” adlı kitabından bahsetti. O kitabı da buldum. Ders bu kitaba paralel anlatılıyor anladığım kadarıyla ama kitap biraz daha ayrıntılı. Bu da olmazsa artık 250 yıllık makaleleri okumaya başlayacağım.

Gerçekten de temel bilimlerde bile tarihin önemli olduğuna inanıyorum. Belki de yaşlandığım için tarihi teknikten daha iyi anlayabiliyorum. Teknik kısımlar için çok antrenman yapmam lazım ama o kadar enerjim yok artık. Yine de orta öğretimde bile bu tür tarih dersleri öğrencilere çok daha fazla şeyler öğretebilir belki.