Trigonometri (2)

Aşağıdaki trigonometrik problemleri çözünüz:

  1. \(sin(2x) = sin(5x) \)
  2. \(cos(x) = sin(3x) \)
  3. \(tan(x) = cot(3x) \)

Bu tür sorularda trigonometrik ifadeleri toplam şekline getirip, sonra da onları çarpım halinde yazmak güzel bir tekniktir.

  1. \(sin(2x) = sin(5x) \)

\(sin(2x) – sin(5x) = 0\)

Şimdi şu trigonometrik özdeşliği kullanalım:

\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)

\(sin(2x) – sin(5x) = 2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0\)

Bu denklemi çarpım haline getirmenin güzel tarafı şu oldu. Bir çarpımın sonucu sıfır ise, o çarpımı oluşturan çarpanların en az biri sıfırdır. Sıfırdan farklı iki reel sayının çarpımı sıfır olamaz.

\(sin(-\theta) = -sin(\theta) \) özdeşliğini de kullanarak yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekle dönüştürebiliriz.

\(2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = -2 sin(\frac{3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)

Denklemin çözümü olarak iki ihtimali de şimdi ayrı ayrı inceleyebiliriz.

i) \(sin(\frac{3x}{2}) = 0\)

ii) \(cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)

i) sinüs fonksiyonu $\pi$ nin katlarında sıfır olduğundan aradığımız cevapların birinci kümesi \(\frac{3x}{2} = k \pi\) olacaktır. Burada k herhangi bir tamsayıdır. Yani aradığımız çözümlerden biri:

\(x = 2k \pi /3\) olur.

ii) kosinüs fonksiyonu da \(\frac{2k + 1}{2}\pi\) değerlerinde sıfır olmakta. Burada k herhangi bir tamsayıdır. O zaman da diğer çözümlerimiz aşağıdaki gibi olur.

\(x = \frac{2}{7}\frac{2k+1}{2}\pi = \frac{2k+1}{7}\pi\)

2) \(cos(x) = sin(3x) \)

Eğer iki terim de aynı türden olsaydı o zaman farkları çarpım halinde yazmak kolay olurdu. Bunun bir yolu var ama.

Şu özdeşlikten faydalanalım:

\(cos(\theta) = sin(\frac{\pi}{2} – \theta) \)

O zaman soru şu hale dönüşür:

\(sin(\frac{\pi}{2} – x) = sin(3x) \)
\(\longrightarrow sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 0 \)

Burada da ilk soruda kullandığımız şu özdeşliği tekrar kullanalım.

\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)

\(sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 2sin(\frac{\frac{\pi}{2} – 4x}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2} + 2x}{2})\)

\(\longrightarrow 2sin(\frac{\pi}{4} – 2x)cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)

Bu çarpımın sıfır olabilmesi çarpanların en az birinin sıfır olması lazım. O zaman iki çarpımı da ayrı ayrı sıfıra eşitleyip bu eşitliği sağlayan değerleri bulalım.

i) \(sin(\frac{\pi}{4} – 2x) = 0\)

sinüs fonksiyonu her tamsayı k için \(k \pi \) noktasında sıfır olur. O zaman aradığımız çözümler

\(\frac{\pi}{4} – 2x = k \pi \) denkleminin çözümleri olacaktır. Buradan da

\(2x = \frac{\pi}{4} – k\pi \)

\(\longrightarrow x = \frac{\pi}{8} – \frac{k}{2}\pi \) sonucunu elde ederiz.

ii) \(cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)

Kosinüs fonksiyonu da k tamsayıları için \((2k + 1) \frac{\pi}{2} \) noktalarında sıfır olur. O zaman şu denklemi çözmemiz yeterli.

\(\frac{\pi}{4} + x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \)

\(\longrightarrow x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = 2k \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{4} \)

3. \(tan(x) = cot(3x) \)

Tanjant ve Kotanjantı açıkça yazıp, içler dışlar çarpımıyla başlayalım.

\(\longrightarrow {\frac {sin(x)}{cos(x)} = \frac {cos(3x)}{sin(3x)}} \)

\(\longrightarrow sin(x)sin(3x) = cos(3x)cos(x) \)

\(\longrightarrow sin(x) sin(3x) – cos(x)cos(3x) = 0\)

\(\longrightarrow \frac{1}{2}(cos(2x) – cos(4x)) – \frac{1}{2}(cos(2x) + cos(4x)) = 0\)

\(\longrightarrow -cos(4x) = cos(4x) = 0 \)

Kosinüs tamsayı k için \((2k + 1)\frac{ \pi}{2} \) noktalarında sıfır olduğundan aradığımız çözümler şu denklemin çözümü olacaktır.

\(4x = (2k + 1)\frac{ \pi}{2} \)

\( \longrightarrow x = \frac{2k+1}{8}\pi \)

Trigonometri problemleri (1)

Lise ikinci sınıfta geometri dersinde trigonometri görüyorduk. Sınavlara hazırlanırken bir kitap dikkatimi çekmişti. Bu kitaptaki sorular test usulü değildi ve ispat türü sorulara da yer verilmişti. Mezun olduktan 30 yıl kadar sonra bu kitabı sahaflarda bulup aldım ve şimdi içindeki soruları çözmeye çalışacağım.

Eğer a + b + c + d = k · π veya a − b = k · π ise (k herhangi tam sayı) 
sin(a + c) · sin(a + d) = sin(b + c) · sin(b + d) bağıntısının mevcut olduğunu ispat ediniz.

Bu soruyu çözmek için bağıntının sol tarafını yazmakla başlayalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi – (b+d)) \cdot sin(k\pi – (b+c))\)

  1. Eğer k tek sayı ise şu özdeşliği biliyoruz:

\(sin(k\pi – \theta) = sin(\theta)\)

bu durumda yukarıdaki çözüme devam edersek

\(= sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Bu da verilen bağıntının sağ tarafıdır.

2. Eğer k bir çift sayı ise şu özdeşliği kullanırız:

\(sin(k\pi – \theta) = -sin(\theta)\)

O zaman da çözümün devamı şöyle olur:

\(= -sin(b+d)\cdot -sin(b+c) = sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Sorudaki ikinci kısmı da unutmayalım ama.

Yeniden bağıntının sol tarafıyla başlayalım ama bu sefer \(a – b = k\pi\) eşitliğini kullanalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi + b+c) \cdot sin(k\pi + b+d)\)

Yine k için iki ihtimal var.

  1. Önce k sayısının tek sayı olduğu duruma bakalım. Kullanacağımız özdeşlik yine şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = sin(\theta) \)

Kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= sin(- b-c) \cdot sin(- b-d)\)

\(= -sin( b+c) \cdot -sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

2. Şimdi de k sayısının çift olduğu duruma bakalım. Bu durumda kullanacağımız özdeşlik ise şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = -sin(\theta) \)

Yine kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= -sin(- b-c) \cdot -sin(- b-d)\)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

Böylece verilen şartlar altında istenen bağıntıyı her durum için göstermiş olduk.