Aşağıdaki trigonometrik problemleri çözünüz:
- \(sin(2x) = sin(5x) \)
- \(cos(x) = sin(3x) \)
- \(tan(x) = cot(3x) \)
Bu tür sorularda trigonometrik ifadeleri toplam şekline getirip, sonra da onları çarpım halinde yazmak güzel bir tekniktir.
- \(sin(2x) = sin(5x) \)
\(sin(2x) – sin(5x) = 0\)
Şimdi şu trigonometrik özdeşliği kullanalım:
\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)
\(sin(2x) – sin(5x) = 2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0\)
Bu denklemi çarpım haline getirmenin güzel tarafı şu oldu. Bir çarpımın sonucu sıfır ise, o çarpımı oluşturan çarpanların en az biri sıfırdır. Sıfırdan farklı iki reel sayının çarpımı sıfır olamaz.
\(sin(-\theta) = -sin(\theta) \) özdeşliğini de kullanarak yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekle dönüştürebiliriz.
\(2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = -2 sin(\frac{3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)
Denklemin çözümü olarak iki ihtimali de şimdi ayrı ayrı inceleyebiliriz.
i) \(sin(\frac{3x}{2}) = 0\)
ii) \(cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)
i) sinüs fonksiyonu $\pi$ nin katlarında sıfır olduğundan aradığımız cevapların birinci kümesi \(\frac{3x}{2} = k \pi\) olacaktır. Burada k herhangi bir tamsayıdır. Yani aradığımız çözümlerden biri:
\(x = 2k \pi /3\) olur.
ii) kosinüs fonksiyonu da \(\frac{2k + 1}{2}\pi\) değerlerinde sıfır olmakta. Burada k herhangi bir tamsayıdır. O zaman da diğer çözümlerimiz aşağıdaki gibi olur.
\(x = \frac{2}{7}\frac{2k+1}{2}\pi = \frac{2k+1}{7}\pi\)
2) \(cos(x) = sin(3x) \)
Eğer iki terim de aynı türden olsaydı o zaman farkları çarpım halinde yazmak kolay olurdu. Bunun bir yolu var ama.
Şu özdeşlikten faydalanalım:
\(cos(\theta) = sin(\frac{\pi}{2} – \theta) \)
O zaman soru şu hale dönüşür:
\(sin(\frac{\pi}{2} – x) = sin(3x) \)
\(\longrightarrow sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 0 \)
Burada da ilk soruda kullandığımız şu özdeşliği tekrar kullanalım.
\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)
\(sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 2sin(\frac{\frac{\pi}{2} – 4x}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2} + 2x}{2})\)
\(\longrightarrow 2sin(\frac{\pi}{4} – 2x)cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)
Bu çarpımın sıfır olabilmesi çarpanların en az birinin sıfır olması lazım. O zaman iki çarpımı da ayrı ayrı sıfıra eşitleyip bu eşitliği sağlayan değerleri bulalım.
i) \(sin(\frac{\pi}{4} – 2x) = 0\)
sinüs fonksiyonu her tamsayı k için \(k \pi \) noktasında sıfır olur. O zaman aradığımız çözümler
\(\frac{\pi}{4} – 2x = k \pi \) denkleminin çözümleri olacaktır. Buradan da
\(2x = \frac{\pi}{4} – k\pi \)
\(\longrightarrow x = \frac{\pi}{8} – \frac{k}{2}\pi \) sonucunu elde ederiz.
ii) \(cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)
Kosinüs fonksiyonu da k tamsayıları için \((2k + 1) \frac{\pi}{2} \) noktalarında sıfır olur. O zaman şu denklemi çözmemiz yeterli.
\(\frac{\pi}{4} + x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \)
\(\longrightarrow x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)
\(\longrightarrow x = 2k \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)
\(\longrightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{4} \)
3. \(tan(x) = cot(3x) \)
Tanjant ve Kotanjantı açıkça yazıp, içler dışlar çarpımıyla başlayalım.
\(\longrightarrow {\frac {sin(x)}{cos(x)} = \frac {cos(3x)}{sin(3x)}} \)
\(\longrightarrow sin(x)sin(3x) = cos(3x)cos(x) \)
\(\longrightarrow sin(x) sin(3x) – cos(x)cos(3x) = 0\)
\(\longrightarrow \frac{1}{2}(cos(2x) – cos(4x)) – \frac{1}{2}(cos(2x) + cos(4x)) = 0\)
\(\longrightarrow -cos(4x) = cos(4x) = 0 \)
Kosinüs tamsayı k için \((2k + 1)\frac{ \pi}{2} \) noktalarında sıfır olduğundan aradığımız çözümler şu denklemin çözümü olacaktır.
\(4x = (2k + 1)\frac{ \pi}{2} \)
\( \longrightarrow x = \frac{2k+1}{8}\pi \)