Etiket: trigonometri

Aşağıdaki denklemi çözünüz:

\(sin(2x – y) = cos(2x+y) \)

Bu soruda x ve y olmak üzere iki değişken terim ve bir denklem var. Bir değişkenin değerlerini diğer değişken cinsinden bulabilirsek yeterli bir çözüm olacaktır.

Eşitliğin iki tarafını da aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarsak işlerimiz kolaylaşabilir.

\(sin(\theta) = cos(\frac{\pi}{2} – \theta)\) özdeşliğini kullanarak bunu elde edebiliriz.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

Eşitliği fark olarak yazıp sıfıra eşitleyelim.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) – cos(2x+y) = 0 \)

Şimdi de şu özdeşlikten faydalanalım:

\(cos(\theta) – cos(\phi) = -2sin(\frac{\theta + \phi}{2})sin(\frac{\theta – \phi}{2}) \)

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) – cos(2x+y) = -2sin(\frac{\pi}{4} + y)sin(\frac{\pi}{4} – 2x) = 0 \)

Bu çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanların en az birinin sıfır olması lazım. O zaman her bir çarpanı sıfıra eşitleyip olası çözümleri bulalım. Sinüs fonksiyonu bildiğimiz gibi k tamsayı olacak şekilde \(k \pi \) noktalarında sıfır olur.

i) \(\frac{\pi}{4} + y = k \pi \)

\(\longrightarrow y = k \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

\(\longrightarrow y = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

ii) \(\frac{\pi}{4} – 2x = k \pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{4} -k\pi = 2x \)

\(\longrightarrow 2x = \frac{(1-4k)\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = \frac{(1-4k)\pi}{8} \)

Sonra bu soruyu fonksiyonların argümanlarını eşitleyerek çözemez miyim diye düşündüm. Yani

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

Buradan doğrudan şu adıma geçerek:

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = 2x+y \)

Kosinüs fonksiyonu \(2\pi\) periyotlu olduğundan bu eşitliği k herhangi bir tamsayı olacak şekilde şöyle yazalım.

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = 2x+y + 2k\pi \)

Sonra bu eşitliği çözelim.

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} -2k\pi = 4x \)

\(\longrightarrow \frac{(1 – 4k)\pi}{8} = x \)

Evet, ilk yöntemdeki çözümlerin birini bulduk ama diğerini nasıl bulacağız?

Bu noktada matematikçi bir arkadaşımdan yardım istedim ve bana kosinüs fonksiyonunun y eksenine göre simetrik olduğundan faydalan dedi.y eksenine göre simetrik demek

\(f(-x) = f(x) \) anlamına geliyor.

yani

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

burada eşitliğin sağ tarafı için kosinüsün bir çift fonksiyon olduğunu kullanırsak, yani

\(cos(2x + y) = cos(-2x -y) \)eşitliğini kullanırsak

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(-2x-y) \) elde ederiz. Şimdi bu argümanları kosinüsün \(2\pi\) periyotlu olduğunu gözönünde tutarak birbirine eşitlersek şu sonucu elde ederiz.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(-2x-y) \)

k herhangi bir tamsayı olmak üzere:

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = -2x-y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – 2x + y = -2x-y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} + y = -y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow 2y = 2k\pi – \frac{\pi}{2} \)

\(\longrightarrow 2y = \frac{(4k – 1)\pi}{2} \)

\(\longrightarrow y = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

buluruz ki, bu da diğer yöntemle bulduğumuz sonucun aynısı olur.

Lise ikinci sınıfta geometri dersinde trigonometri görüyorduk. Sınavlara hazırlanırken bir kitap dikkatimi çekmişti. Bu kitaptaki sorular test usulü değildi ve ispat türü sorulara da yer verilmişti. Mezun olduktan 30 yıl kadar sonra bu kitabı sahaflarda bulup aldım ve şimdi içindeki soruları çözmeye çalışacağım.

Eğer a + b + c + d = k · π veya a − b = k · π ise (k herhangi tam sayı) 
sin(a + c) · sin(a + d) = sin(b + c) · sin(b + d) bağıntısının mevcut olduğunu ispat ediniz.

Bu soruyu çözmek için bağıntının sol tarafını yazmakla başlayalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi – (b+d)) \cdot sin(k\pi – (b+c))\)

1. Eğer k tek sayı ise şu özdeşliği biliyoruz:

\(sin(k\pi – \theta) = sin(\theta)\)

bu durumda yukarıdaki çözüme devam edersek

\(= sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Bu da verilen bağıntının sağ tarafıdır.

2. Eğer k bir çift sayı ise şu özdeşliği kullanırız:

\(sin(k\pi – \theta) = -sin(\theta)\)

O zaman da çözümün devamı şöyle olur:

\(= -sin(b+d)\cdot -sin(b+c) = sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Sorudaki ikinci kısmı da unutmayalım ama.

Yeniden bağıntının sol tarafıyla başlayalım ama bu sefer \(a – b = k\pi\) eşitliğini kullanalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi + b+c) \cdot sin(k\pi + b+d)\)

Yine k için iki ihtimal var.

1. Önce k sayısının tek sayı olduğu duruma bakalım. Kullanacağımız özdeşlik yine şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = sin(\theta) \)

Kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= sin(- b-c) \cdot sin(- b-d)\)

\(= -sin( b+c) \cdot -sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

2. Şimdi de k sayısının çift olduğu duruma bakalım. Bu durumda kullanacağımız özdeşlik ise şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = -sin(\theta) \)

Yine kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= -sin(- b-c) \cdot -sin(- b-d)\)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

Böylece verilen şartlar altında istenen bağıntıyı her durum için göstermiş olduk.