Lise ikinci sınıfta geometri dersinde trigonometri görüyorduk. Sınavlara hazırlanırken bir kitap dikkatimi çekmişti. Bu kitaptaki sorular test usulü değildi ve ispat türü sorulara da yer verilmişti. Mezun olduktan 30 yıl kadar sonra bu kitabı sahaflarda bulup aldım ve şimdi içindeki soruları çözmeye çalışacağım.
Eğer a + b + c + d = k · π veya a − b = k · π ise (k herhangi tam sayı)
sin(a + c) · sin(a + d) = sin(b + c) · sin(b + d) bağıntısının mevcut olduğunu ispat ediniz.
Bu soruyu çözmek için bağıntının sol tarafını yazmakla başlayalım.
\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)
\(= sin(k\pi – (b+d)) \cdot sin(k\pi – (b+c))\)
- Eğer k tek sayı ise şu özdeşliği biliyoruz:
\(sin(k\pi – \theta) = sin(\theta)\)
bu durumda yukarıdaki çözüme devam edersek
\(= sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)
Bu da verilen bağıntının sağ tarafıdır.
2. Eğer k bir çift sayı ise şu özdeşliği kullanırız:
\(sin(k\pi – \theta) = -sin(\theta)\)
O zaman da çözümün devamı şöyle olur:
\(= -sin(b+d)\cdot -sin(b+c) = sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)
Sorudaki ikinci kısmı da unutmayalım ama.
Yeniden bağıntının sol tarafıyla başlayalım ama bu sefer \(a – b = k\pi\) eşitliğini kullanalım.
\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)
\(= sin(k\pi + b+c) \cdot sin(k\pi + b+d)\)
Yine k için iki ihtimal var.
- Önce k sayısının tek sayı olduğu duruma bakalım. Kullanacağımız özdeşlik yine şu olacak:
\(sin(\pi – \theta) = sin(\theta) \)
Kaldığımız yerden devam edelim.
\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)
\(= sin(- b-c) \cdot sin(- b-d)\)
\(= -sin( b+c) \cdot -sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)
\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)
2. Şimdi de k sayısının çift olduğu duruma bakalım. Bu durumda kullanacağımız özdeşlik ise şu olacak:
\(sin(\pi – \theta) = -sin(\theta) \)
Yine kaldığımız yerden devam edelim.
\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)
\(= -sin(- b-c) \cdot -sin(- b-d)\)
\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)
\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)
Böylece verilen şartlar altında istenen bağıntıyı her durum için göstermiş olduk.