Gutenberg müzesi

İki hafta önce fazladan mesai saatlerimi izin alarak kullanayım dedim. Bu izni de uzun zamandır gitmeyi düşündüğüm Gutenberg müzesine harcadım. Müze Gutenberg’in hayatını geçirdiği Mainz şehrinde. İstasyondan yürüme onbeş yirmi dakika mesafede.

Aşırı yağmurlu bir günde normal sefer planlarına hiç uymayan tren yolculuklarıyla Mainz’a ulaşmayı başardım. Müzeye geldim. Kasadaki çalışandan bir bilet istedim ve kadın bana sanki Alman olduğunu söylemeden Alman olduğunu anlatmak için herhangi bir indirimden yararlanma hakkı iddiasında bulunmak ister misiniz diye sordu. İndirimden yararlanacak kadar genç görünmediğime emindim. O kadar yaşlı görünmediğimi de umuyordum. Hayır dedim.

Müzenin girişinde çok eski zamanlarda Mainz bölgesinde yaşamış dev hayvanların modelleri ziyaretçileri karşılamaktaydı. Gutenberg, matbaa filan diye düşünürken, aynı binanın hem doğa müzesi hem de matbaa müzesi sergi alanı olarak kullanıldığını öğrendim.

Mainz uzun bir dönem sular altında kalmış bir bölge olduğundan buralarda çok miktarda su canlısı fosili de bulunmuş.

Her doğa müzesinde olduğu gibi burada da doldurulmuş, korunmuş ya da modelleri yapılmış bir sürü, daha güncel canlı türleri de sergilenmekte ama bu ziyaretimin asıl konusu matbaanın icadıydı.

Zemin kattaki matbaa girişinde başlangıç seviyesi Almancasıyla yabancı bir görevli bana bir alet gösterdi ve selfie çekip bastırmak isteyip istemediğimi sordu. Bana gösterdiği alet bir yazıcıydı, selfie kısmı nasıl olacak diye anlamaya çalışırken dijital karttan bahsetmeye başladı. O da ne acaba derken elimdeki şeyleri alıp gişede bana verilen o zamana kadar hiç fark etmediğim bembeyaz bir kartı aldı bununla yapacağız, yapalım mı dedi? Adama öyle kanım ısındı ki yapalım lan dedim. Fotoğraf makinesine benzer bir şeyin karşısına geçtim, kartı makineye yerleştirdim ve ekranda yüzümü gördüm. Adam bu poz uygun mu diye sordu. Neden olmasın ki diye düşündüm ve uygundur dedim. Düğmeye bastı. Tamam oldu dedi. Şimdi bunu yazıcıda mı bastıracağım diye sordum. Bakın dedi, burada bir karekod var, onu tarayıcıdan okutursanız resmi görebilirsiniz dedi. Hemen cep telefonunu çıkardım, karekodu okuttum ve web sayfasındaki fotoğrafı gördüm. Süper dedim, çıktısını almaya gerek yok artık. Fotoğrafı sayfadan nasıl alırsınız bilmiyorum dedi görevli ama ben fotoğrafı telefona çoktan indirmiştim bile. Hallettim, merak etmeyin dedim ve adam da gülümsedi. Kendisine teşekkür ettim ve adam da bir sonraki ziyaretçiyi yardım tuzağına düşürmek için yerine döndü.

Şimdi bu fotoğrafta sadomazo kıyafet giymiş gibi çıkmamın nedenini kısaca açıklamaya çalışayım. Fotoğraf çekildikten sonra gri tonları değil de siyah ve beyaz şeklinde bir resme dönüştürülüyor. Üzerimdeki diyagonal siyah çizgiler kazağımın desenlerinden, dikay siyah çizgiler de fotoğraf makinesi askısından geliyor. Kazağım açık renkli olduğundan da bütün vücudum çıplakmış gibi bembeyaz çıktı. Yemin ederim öyle ya.

Müzenin sergilediği en değerli parçalar Gutenberg’in bizzat bastığı incillerdi. Toplam 180 adet basılmış ve dünyada şu an sadece 49 tanesi kalmış bu incilin iki tanesi müzede sergileniyor.

Aynı baskıdan iki değişik kopya yukarıda görülmekte. Dikkat edenler bu iki baskının birbirinden farklı olduğunu hemen görecektir. Madem farklı olacaklardı matbaanın anlamı neydi peki? Daha dikkatli olanlar farklı kısımların sadece renkli kısımlarda olduğunu görmüştür. Olay şöyle gerçekleşmiş. O dönemlerde siyah mürekkep renkli mürekkepten çok daha ucuz ve Gutenberg baskı için sadece siyah mürekkep kullanıyor. Sayfalar basıldıktan sonra siparişleri verenler parası karşılığı renkli kısımları özel siparişler sonucu elle yazan ustalara yazdırıyor. Böylece her bir incil matbaadan çıkmasına rağmen eşsiz oluyor.

Sonra saat başı yapılan baskı gösterisini seyrettim.

Bu matbaa makinesi tabii ki Gutenberg’in kullandığı makine değil. İlk matbaa tamamen ahşap olduğu için altıyüz yıl dayanmamış. Fotoğraftaki düzenek ama Gutenberg’in kullandığı ve kısmen geliştirdiği sisteme çok benziyormuş.

Öncelikle Gutenberg matbaayı icat etmemiş. Daha önce de uzak doğuda baskı makineleri, teknikleri var ama bu yöntemlerde bütün yazı tahta bir yüzeye oyuluyor ve sonra basılıyor. Bu hazırlık aşamasında bir hata yapılırsa o sayfanın en baştan yine oyulması gerekiyor. Gutenberg’in getirdiği en büyük yenilik her harfin tek tek değiştirilebildiği tipo baskı yöntemi. Fotoğrafta sağ tarafta görülen dikey baskı düzeneği aslında o dönemlerde de kullanılan şarap presi. Gutenberg bu kısmı olduğu gibi alıp kullanıyor. Onun makineye eklediği kısım yatay düzenekte görülüyor. Masada duran metal çerçeve içindeki harfler. Harflerin kalay, kurşun, antimon alaşımından yapılması birkaç avantaj sağlıyor. Metal ahşaptan daha dayanıklı. Bu alaşımın artıkları 300 derece gibi düşük bir sıcaklıkta eritilip çok kısa sürede tekrar kullanılabiliyor ve bu alaşım çok kısa sürede elle tutlabilecek kadar soğuyor.

Metal baskının işe yarayabilmesi için doğru boyaya da ihtiyaç var ama. O zamanki boyalar metal zemin üzerine yapışıp kalmıyordu. Kimin tarafından bulundu bilinmiyor ama matbaa için özel boyalar da üretiliyor. Bu boyalar fotoğrafta rafta görülen deri kaplama tokmak benzeri aletlerle metal harflere bastırarak sürülüyor. Sonra kağıt soldaki çerçeveye yerleştiriliyor, metal bloğun üzerine indiriliyor ve şarap presinin kolu sıkıca çekiliyor. Sonrası mürekkebin kurumasını beklemekten ibaret.

Metal harfler yukarıdaki, “type case” denen çekmecelerde saklanıyor. Her harfin bölmesi ayrı. Dikkat ederseniz aşağıdaki bölmeler yukarıdaki bölmelerden daha büyük. Bunun nedeni de aşağıdaki bölmelerde bir sayfada çok daha sık kullanılan küçük harflerin, yukarıdaki bölmelerde de daha az sıklıkta kullanılan büyük harflerin bulunması. Bu sayede dizgici daha az hareketle harfleri sayfaya dizebiliyor. Upper case ve lower case isimleri de harflerin bu yerleşiminden geliyor.

Bir incilin tüm sayfalarının dizgisi yanlış hatırlamıyorsam üç ay filan sürmüş. Bu tabii ki çok uzun bir süre ama ondan sonra baskılar çok hızlı yürüyebilmiş. Gutenberg’in matbaasından önce incilin bir kopyasının elle yazılması üç yıl kadar sürüyormuş.

Müzenin en eğlenceli kısmı ise ikinci kattaydı ama randevu almadığım için oraya giremedim. Bu katta ziyaretçiler, eğitmenler gözetiminde, matbaa ile kendi tasarımlarını bastırabiliyorlar. Ben gittiğimde on onbeş kadar çocuk matbaa ile oldukça eğleniyorlardı. Sanırım, bir dahaki sefere sırf bu iş için tekrar bu müzeye gideceğim.

Prinzhorn koleksiyonu

Heidelberg psikiyatri kliniğinde geçen yüzyılda toplanmış eserlerin bir kısmının sergilendiğini öğrendim ve geçen hafta bu sergiye gittim.

Serginin başında önce yarım saat kadar geçmişte, yani daha çok 70lerden sonra bazı sorunlara karşı nasıl yaklaşıldığıyla ilgili bilgiler verildi. Bu bilgilerle ilgili video malzemesi de sunuldu.

Sonra resimlerin olduğu dört beş tane küçük odayı gezmeye başladık. Resimler genelde suluboya, pastel ile kağıt üzerine yapılmıştı. Tuvalet kağıdı ya da pişirme kağıdı üzerine yapılmış resimler de vardı.

Bir odada zamanında tutulmuş dosyalar vardı. Sadece birini açıp incelemek mümkündü ama.

Aşağıda sergideki bazı eserlerin resimlerini görebilirsiniz.

Kim bilir arşivde daha ne tür eserler vardır?

Trigonometri (3)

Aşağıdaki denklemi çözünüz:

\(sin(2x – y) = cos(2x+y) \)

Bu soruda x ve y olmak üzere iki değişken terim ve bir denklem var. Bir değişkenin değerlerini diğer değişken cinsinden bulabilirsek yeterli bir çözüm olacaktır.

Eşitliğin iki tarafını da aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarsak işlerimiz kolaylaşabilir.

\(sin(\theta) = cos(\frac{\pi}{2} – \theta)\) özdeşliğini kullanarak bunu elde edebiliriz.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

Eşitliği fark olarak yazıp sıfıra eşitleyelim.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) – cos(2x+y) = 0 \)

Şimdi de şu özdeşlikten faydalanalım:

\(cos(\theta) – cos(\phi) = -2sin(\frac{\theta + \phi}{2})sin(\frac{\theta – \phi}{2}) \)

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) – cos(2x+y) = -2sin(\frac{\pi}{4} + y)sin(\frac{\pi}{4} – 2x) = 0 \)

Bu çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanların en az birinin sıfır olması lazım. O zaman her bir çarpanı sıfıra eşitleyip olası çözümleri bulalım. Sinüs fonksiyonu bildiğimiz gibi k tamsayı olacak şekilde \(k \pi \) noktalarında sıfır olur.

i) \(\frac{\pi}{4} + y = k \pi \)

\(\longrightarrow y = k \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

\(\longrightarrow y = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

ii) \(\frac{\pi}{4} – 2x = k \pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{4} -k\pi = 2x \)

\(\longrightarrow 2x = \frac{(1-4k)\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = \frac{(1-4k)\pi}{8} \)

Sonra bu soruyu fonksiyonların argümanlarını eşitleyerek çözemez miyim diye düşündüm. Yani

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

Buradan doğrudan şu adıma geçerek:

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = 2x+y \)

Kosinüs fonksiyonu \(2\pi\) periyotlu olduğundan bu eşitliği k herhangi bir tamsayı olacak şekilde şöyle yazalım.

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = 2x+y + 2k\pi \)

Sonra bu eşitliği çözelim.

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} -2k\pi = 4x \)

\(\longrightarrow \frac{(1 – 4k)\pi}{8} = x \)

Evet, ilk yöntemdeki çözümlerin birini bulduk ama diğerini nasıl bulacağız?

Bu noktada matematikçi bir arkadaşımdan yardım istedim ve bana kosinüs fonksiyonunun y eksenine göre simetrik olduğundan faydalan dedi.y eksenine göre simetrik demek

\(f(-x) = f(x) \) anlamına geliyor.

yani

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(2x+y) \)

burada eşitliğin sağ tarafı için kosinüsün bir çift fonksiyon olduğunu kullanırsak, yani

\(cos(2x + y) = cos(-2x -y) \)eşitliğini kullanırsak

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(-2x-y) \) elde ederiz. Şimdi bu argümanları kosinüsün \(2\pi\) periyotlu olduğunu gözönünde tutarak birbirine eşitlersek şu sonucu elde ederiz.

\(\longrightarrow cos(\frac{\pi}{2} – (2x – y)) = cos(-2x-y) \)

k herhangi bir tamsayı olmak üzere:

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – (2x – y) = -2x-y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} – 2x + y = -2x-y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow \frac{\pi}{2} + y = -y + 2k\pi \)

\(\longrightarrow 2y = 2k\pi – \frac{\pi}{2} \)

\(\longrightarrow 2y = \frac{(4k – 1)\pi}{2} \)

\(\longrightarrow y = \frac{(4k – 1)\pi}{4} \)

buluruz ki, bu da diğer yöntemle bulduğumuz sonucun aynısı olur.

Heidelberg müzesi

Geçen hafta sonu özel bir sergi nedeniyle Heidelberg müzesine gittim. Serginin konusu sanatta yabancı kültürlerdi.

Önce sürekli sergiyi dolaştım. Çoğunlukla şehirle ilgili eserler vardı. Ya sanatçılar bu bölgedendi, ya da Heidelberg manzaralı resimler filan. Ayrıca bir dönem burada yaşayan hanedan üyelerinin kendi portreleri ya da koleksiyonları da serginin önemli bir parçasıydı. Bunların dışında bir de İtalyan ressamların bazı eserleri vardı.

Resimlerden sonra en çok sayıda temsil edilen sanat ise porselendi. Frankenthal civarında üretilen porselenler renkler ve motifler açısından tablolardan hiç de geride kalmıyordu.

Sergiden bazı örnekleri instagram sayfama koydum.

https://www.instagram.com/p/DEZksjUiFRu/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

https://www.instagram.com/p/DEYIm4QiAhY/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

https://www.instagram.com/p/DEZvtIZiMGi/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

https://www.instagram.com/p/DEZx4M4i7H6/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

https://www.instagram.com/p/DEZq_6ri-on/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

https://www.instagram.com/p/DEVhE4cCqZi/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA==

İki saat kadar bu eserleri seyrettikten sonra özel sergi kısmına geldim. Beklediğimden küçük bir koleksiyondu. Dört ya da beş bölümden oluşuyordu. Birkaç fotoğraf, birkaç doğu kültürlerinden bahseden eski kitaplar. Eski dediysem tabii ki birkaç yüzyıllık eserler. Bu bölümde eserlerin çoğu yeni olduğundan fotoğraf çekmek yasaktı.

1500’lerde henüz yeni keşfedilmiş olan Amerika kıtası çoğunlukla dişi figürlerle temsil ediliyordu. Kaşifler ve fatihler ise erkeklerdi. Biraz daha sonra Afrika’dan gelen siyah köleler resimlerde dekor olarak yer almaya başladı. Osmanlı saray yaşamı, Türklerin giyimi ve meslekleri üzerine kitaplar yazıldı, resimler yapıldı. Yakın zamanlarda ise bazı sanatçılar yabancı kültürlerden ya da farklılıklardan faydalanılma şekillerini eleştiren eserler verdi. Bazıları da bu farklı kültürler üzerine çalışıp onları doğru bir şekilde tanıtmaya çalıştı.

Tam bu kadar büyük bir konu için bu kadar az örnek olur mu diye söylenirken üzerinde sergi yan odada devam ediyor yazan bir kapı gördüm. Sağa sola baktım ama bu kapıyı benden başka gören yok gibiydi. Tereddütle kapıyı açtım ve içinde bir beamer olan küçükçe bir odaya girdim. Kapıyı kapatmaya çalıştım ama kapanmıyordu. Heralde bu odaya giren ilk kişi bendim. Kapıyı aralık bırakıp ekranda oynayan filmi seyretmeye başladım.

Siyah bir balerin ayna karşısında dans ediyordu ve bu sırada aynadaki görüntüsünü takip ediyordu. Aynadaki görüntüsü beyaz bir balerindi ve biraz daha güzeldi. Siyah balerin hareketleri aynadaki görüntü gibi yapmaya çalışıyordu ama hep biraz geride kalıyordu. Beyaz balerin gibi olmak istiyordu ama olamıyordu. Kollarını açıp dönerek aynanın bir ucundan diğer ucuna adeta uçuyordu ama görüntü kendisinin aksine aynanın içinde kalıyordu. Buna rağmen gözü sadece aynadaki balerindeydi.

Arada kısa kısa kameranın açıları değişiyordu. Hatta dansı bazen beyaz balerinin arkasından gösteriyordu. O zaman da siyah balerin aynadaki görüntü oluyordu. Yaklaşık onbeş dakika bu çalışma devam etti. Aynanın bir bu tarafı, bir diğer tarafı. Aynanın bir solundan, bir sağından. Görüntüler asla aynanın dışına taşmıyordu. Hangi kadın gerçek, hangisi hayal bilmiyordum. Arada yorulup kısaca dinleniyorlardı ve sonra yine parmaklarının uçlarında bir o tarafa bir bu tarafa uçuyorlardı. Sonunda ikisi de çalışmalarını bitirdi. Bale ayakkabılarını çıkardılar, ellerine aldılar ve sahneyi terk ettiler.

Rahatsız bir oturakta onbeş dakika bu filmi seyretmek sırtımı çok yormuştu. Deli gibi ağrıyordu. Daha sonraki filmi beklemeden odadan çıktım. Kapıyı hızlıca çektim ve kapandı bu sefer.

Trigonometri (2)

Aşağıdaki trigonometrik problemleri çözünüz:

  1. \(sin(2x) = sin(5x) \)
  2. \(cos(x) = sin(3x) \)
  3. \(tan(x) = cot(3x) \)

Bu tür sorularda trigonometrik ifadeleri toplam şekline getirip, sonra da onları çarpım halinde yazmak güzel bir tekniktir.

  1. \(sin(2x) = sin(5x) \)

\(sin(2x) – sin(5x) = 0\)

Şimdi şu trigonometrik özdeşliği kullanalım:

\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)

\(sin(2x) – sin(5x) = 2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0\)

Bu denklemi çarpım haline getirmenin güzel tarafı şu oldu. Bir çarpımın sonucu sıfır ise, o çarpımı oluşturan çarpanların en az biri sıfırdır. Sıfırdan farklı iki reel sayının çarpımı sıfır olamaz.

\(sin(-\theta) = -sin(\theta) \) özdeşliğini de kullanarak yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekle dönüştürebiliriz.

\(2 sin(\frac{-3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = -2 sin(\frac{3x}{2})cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)

Denklemin çözümü olarak iki ihtimali de şimdi ayrı ayrı inceleyebiliriz.

i) \(sin(\frac{3x}{2}) = 0\)

ii) \(cos(\frac{7x}{2}) = 0 \)

i) sinüs fonksiyonu $\pi$ nin katlarında sıfır olduğundan aradığımız cevapların birinci kümesi \(\frac{3x}{2} = k \pi\) olacaktır. Burada k herhangi bir tamsayıdır. Yani aradığımız çözümlerden biri:

\(x = 2k \pi /3\) olur.

ii) kosinüs fonksiyonu da \(\frac{2k + 1}{2}\pi\) değerlerinde sıfır olmakta. Burada k herhangi bir tamsayıdır. O zaman da diğer çözümlerimiz aşağıdaki gibi olur.

\(x = \frac{2}{7}\frac{2k+1}{2}\pi = \frac{2k+1}{7}\pi\)

2) \(cos(x) = sin(3x) \)

Eğer iki terim de aynı türden olsaydı o zaman farkları çarpım halinde yazmak kolay olurdu. Bunun bir yolu var ama.

Şu özdeşlikten faydalanalım:

\(cos(\theta) = sin(\frac{\pi}{2} – \theta) \)

O zaman soru şu hale dönüşür:

\(sin(\frac{\pi}{2} – x) = sin(3x) \)
\(\longrightarrow sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 0 \)

Burada da ilk soruda kullandığımız şu özdeşliği tekrar kullanalım.

\(sin(\theta) – sin(\phi) = 2sin(\frac{\theta – \phi}{2})cos(\frac{\theta + \phi}{2})\)

\(sin(\frac{\pi}{2} – x) – sin(3x) = 2sin(\frac{\frac{\pi}{2} – 4x}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2} + 2x}{2})\)

\(\longrightarrow 2sin(\frac{\pi}{4} – 2x)cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)

Bu çarpımın sıfır olabilmesi çarpanların en az birinin sıfır olması lazım. O zaman iki çarpımı da ayrı ayrı sıfıra eşitleyip bu eşitliği sağlayan değerleri bulalım.

i) \(sin(\frac{\pi}{4} – 2x) = 0\)

sinüs fonksiyonu her tamsayı k için \(k \pi \) noktasında sıfır olur. O zaman aradığımız çözümler

\(\frac{\pi}{4} – 2x = k \pi \) denkleminin çözümleri olacaktır. Buradan da

\(2x = \frac{\pi}{4} – k\pi \)

\(\longrightarrow x = \frac{\pi}{8} – \frac{k}{2}\pi \) sonucunu elde ederiz.

ii) \(cos(\frac{\pi}{4} + x) = 0\)

Kosinüs fonksiyonu da k tamsayıları için \((2k + 1) \frac{\pi}{2} \) noktalarında sıfır olur. O zaman şu denklemi çözmemiz yeterli.

\(\frac{\pi}{4} + x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \)

\(\longrightarrow x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = 2k \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} \)

\(\longrightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{4} \)

3. \(tan(x) = cot(3x) \)

Tanjant ve Kotanjantı açıkça yazıp, içler dışlar çarpımıyla başlayalım.

\(\longrightarrow {\frac {sin(x)}{cos(x)} = \frac {cos(3x)}{sin(3x)}} \)

\(\longrightarrow sin(x)sin(3x) = cos(3x)cos(x) \)

\(\longrightarrow sin(x) sin(3x) – cos(x)cos(3x) = 0\)

\(\longrightarrow \frac{1}{2}(cos(2x) – cos(4x)) – \frac{1}{2}(cos(2x) + cos(4x)) = 0\)

\(\longrightarrow -cos(4x) = cos(4x) = 0 \)

Kosinüs tamsayı k için \((2k + 1)\frac{ \pi}{2} \) noktalarında sıfır olduğundan aradığımız çözümler şu denklemin çözümü olacaktır.

\(4x = (2k + 1)\frac{ \pi}{2} \)

\( \longrightarrow x = \frac{2k+1}{8}\pi \)

Trigonometri problemleri (1)

Lise ikinci sınıfta geometri dersinde trigonometri görüyorduk. Sınavlara hazırlanırken bir kitap dikkatimi çekmişti. Bu kitaptaki sorular test usulü değildi ve ispat türü sorulara da yer verilmişti. Mezun olduktan 30 yıl kadar sonra bu kitabı sahaflarda bulup aldım ve şimdi içindeki soruları çözmeye çalışacağım.

Eğer a + b + c + d = k · π veya a − b = k · π ise (k herhangi tam sayı) 
sin(a + c) · sin(a + d) = sin(b + c) · sin(b + d) bağıntısının mevcut olduğunu ispat ediniz.

Bu soruyu çözmek için bağıntının sol tarafını yazmakla başlayalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi – (b+d)) \cdot sin(k\pi – (b+c))\)

  1. Eğer k tek sayı ise şu özdeşliği biliyoruz:

\(sin(k\pi – \theta) = sin(\theta)\)

bu durumda yukarıdaki çözüme devam edersek

\(= sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Bu da verilen bağıntının sağ tarafıdır.

2. Eğer k bir çift sayı ise şu özdeşliği kullanırız:

\(sin(k\pi – \theta) = -sin(\theta)\)

O zaman da çözümün devamı şöyle olur:

\(= -sin(b+d)\cdot -sin(b+c) = sin(b+d)\cdot sin(b+c)\)

Sorudaki ikinci kısmı da unutmayalım ama.

Yeniden bağıntının sol tarafıyla başlayalım ama bu sefer \(a – b = k\pi\) eşitliğini kullanalım.

\(sin(a+c) \cdot sin(a+d) \)

\(= sin(k\pi + b+c) \cdot sin(k\pi + b+d)\)

Yine k için iki ihtimal var.

  1. Önce k sayısının tek sayı olduğu duruma bakalım. Kullanacağımız özdeşlik yine şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = sin(\theta) \)

Kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= sin(- b-c) \cdot sin(- b-d)\)

\(= -sin( b+c) \cdot -sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

2. Şimdi de k sayısının çift olduğu duruma bakalım. Bu durumda kullanacağımız özdeşlik ise şu olacak:

\(sin(\pi – \theta) = -sin(\theta) \)

Yine kaldığımız yerden devam edelim.

\(= sin(k\pi – (- b-c)) \cdot sin(k\pi – (- b-d))\)

\(= -sin(- b-c) \cdot -sin(- b-d)\)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\) (Açıklama: \(sin(-\theta) = -sin(\theta)\) özdeşliğinden)

\(= sin( b+c) \cdot sin( b+d)\)

Böylece verilen şartlar altında istenen bağıntıyı her durum için göstermiş olduk.

Elden Ring (PS4)

Bu oyunu Serkan’ın tavsiyeleri ve ısrarları üzerine oynadım. Daha baştan bu oyun için çok yetenekli olmadığımı biliyordum. Bundan önce Dark Souls oynamıştım ve oyunu anca aşırı güçlenerek bitirebilmiştim. Bunda da aynı stratejiyi kullanabilirim diyerek plan yaptım ve sonuçta planım tuttu. Tabii ki neredeyse aylar süren bir oyundan sonra.

Oyunun grafikleri oldukça başarılı. Oynanışı da fena değil. Sadece controllerda beni zorlayan bazı durumlar vardı. Örneğin ekipman seçimi her durumda kolay olmuyordu. Kaçarken iyileştirme bu seçimleri yapmak beni en çok zorlayan sorunlardan biriydi. Bir diğeri de tabii ki reflekslerim eskisi gibi değil artık. Bu yüzden uzun süren dövüş sahnelerinde her zaman zorlandım. Mimic tear da olmasa heralde hiç oynayamazdım bu oyunu.

Oyun genel anlamda zor bence ama her büyük rakip için sanki bir kolaylık düşünülmüş gibi. Bunlar uygulandığında o kadar da zor olmuyor. Bir de hemen hemen sınırsız güçlenme şansınız var. Bunun önündeki tek engel zaman. Onu da dert etmezseniz oyunu bitirmek kolay.

Oyunu bu sabah sonunda bitirebildim. Fakat bitirdiğimin farkına varmadığımdan oyunun son sahnesini atladım ve ne yazık ki bunun geri dönüşü de yok. Evet, oyunda pek sevmediğim özelliklerden biri bir yeri kaydedip ondan sonra farklı kararları deneme şansınız yok. Verilen bir kararın genelde geri dönüşü olmuyor. Neyse, oyun bitti sonuçta. Oyunu, iyi grafikli, fantastik öğelerle dolu zorca bir oyundan hoşlanan herkese tavsiye ederim.

Yapay zekaya kod yazdırma deneyim ve bana düşündürdükleri

Geçen hafta Ümit’in üniversitede bir ödevi vardı. Simplex metodunu python diliyle programlamaları gerekiyordu. Programlanacak fonksiyonların hepsi açıklamalarıyla verilmiş ve en sonunda da bu fonksiyonlar kullanılarak simplex metodu programlanacaktı. İstenen fonksiyonlar da baz seçimi, ftran, btran, pricing gibi fonksiyonlardı ve arama motorlarında yapılan aramalarda kolay kolay çıkmıyorlardı. Simplex metodunu arattığımda, hatta btran ya da ftran gibi kavramları da aramada kullandığımda hemen hemen her seferinde sadece klasik tablo yöntemini bulabildim. Elimizde hocanın ders notları vardı ama onları anlamak için epey zaman harcamam gerekecekti. Bir de Ümit programlamada yeterince iyi olmadığından o kısmı da büyük ihtimalle kendi yapamayacaktı ve ödevi zamanında teslim edememe şansı yüksekti.

Bu ortamda programı gemini’a verdim. Şu fonksiyonları programla dedim ve program açıklamalarına bakarak ilk bakışta işe yarayabilecek kodlar üretti diyebilirim. Arada ufak bir anlaşmazlık da yaşadık ama. Gemini sınırlı uzunlukta cevap verdiğinden fonksiyonları tek tek yazmasını istemek zorunda kaldım. Yoksa kendisi programı yazdığını sansa da programın yarısı ekranda gözükmüyordu.

Sonra fonksiyonları Ümit’e verdim ve hepsini test et dedim, bu yapay zekanın her dediğine güvenmemek lazım diye de ekledim. Buraya kadar elimizde çalışma şansı olan ama test edilmemiş bir program vardı ve bu iş için neredeyse hiç zaman harcamamıştık. Üretim hızı çok iyi gözüküyordu.

Sonra kendime başka sorular sormaya başladım. En basit soru tabii ki bu ödevin amacı neydi? Ümit’in simplex metodunu ve bu metodu python ile programlamayı öğrenmesiydi ve açıkçası bunu öğrenmeyi denemedik bile. Peki elimdeki kodla ilgili herhangi bir soruyu cevaplayabilir miydim? Yani kodu anladım mı? Buna da cevabım hayırdı. Kodu anlamak için hocanın notlarını anlamaya çalışmam gerekiyor ve ben bu notları anlamamak için kodu yapay zekaya yazdırdım zaten. Peki ya testlerde sorun çıkarsa ve kodu düzeltmem gerekirse? Kodu anlamadan bunu nasıl yapacağım? Tabii ki yapamayacağım.

Kısaca yapay zekayı kullanarak bu tür problemlerde sadece üretimi hızlandırabildim ama bu işin bana hiçbir katkısı olmadı. Bana katkısı olmadığı gibi, benim de duruma ne şimdi ne de gelecekte (durumu değiştirmediğim sürece) bir katkım olamayacak. Bu yüzden piyasada yapay zeka ile üretiminizi beş kat, on kat artırın reklamlarına çok mesafeli yaklaşıyorum. Eğer bu üretimde beynimin de önemi varsa bu sayılar çok abartı bence. Beynim yaptığım işi beş kat, on kat hızlı anlayamayacaksa o zaman gerçekte aldığım verim o kadar fazla olmayacaktır. Ortada anlaşılacak bir şey yoksa o zaman kabul ama.

Tabii buradaki durumu azcık değiştirirsem yapay zekanın faydalarını saya saya bitiremem. Mesela yazmak istediğim kodu anladığım durumlarda önemli olan şey birden üretim hızı olacaktır. Bunun için de yardımcı her fonksiyonu seve seve kullanırım . Belki de kullandığım programlama ortamı bunu bana şimdiden sunuyordur ve ben bunun farkında değilimdir.

Yapay zekayı mesleğim dışındaki alanlarda kullanmaya alışmam ise kolay oldu. O alanlarda belki de pek büyük hedeflerim olmadığından bu kararı vermekte hiç zorlanmadım. Mesela yapay zekaya değişik kompozisyonlarda resim hazırlatıp onları çizmeye çalışıyorum. Ya da enstrümantal müzik besteletip bunları çalmaya çalışıyorum.

Yapay zeka ileride hayatımıza çok daha fazla ve başarılı bir şekilde girecek. Bu değişimdeki en önemli faktörlerden biri de onu nasıl kullanmak istediğimiz olacak. Eğer imkanım olursa yapay zeka satıcılarının anlattıklarından çok kendi ihtiyaçlarıma göre karar vermeyi düşünüyorum. Bunun için de yapay zekadan uzak durmak yerine onunla haşır neşir olmaya devam edip, hem onu hem de kendi ihtiyaçlarımı daha iyi tanımam gerekiyor.

Dark Souls remastered (PS4)

Sonunda bu oyunu bitirebildim. Başta oyuna çok kızmıştım. Çok sinir bozucu hatalar vardı. Mesela öldürdüğünüz bir düşman siz yürürken ayağınıza takılabiliyor. Sizinle beraber hoplaya zıplaya sürükleniyor sonra. Daha da kötüsü kamera problemleri. Kamera oyuncunun kafasından değil de arkasından gösteriyor, dolayısıyla bazen oyuncuyla kamera arasında dallar gibi bir engel giriyor ve önünüzü göremiyorsunuz.

Oyun başta zor geldi bana. Hatta çok zor geldi. Bazı yerleri çocuklara oynattım da geçebildim. Daha sonra, yeterince güçlendikten sonra oyun nispeten kolaylaştı. Zor yerlerde bile işi kolaylaştıran çözüm yolları da var oyunda. Bu açıdan baktığımda süper bir hikaye yapmış programcılar.

Oyun mekanikleri çok sevdiğim bir tarzda değildi ama seçtiğim karakter türü ve kullandığım ekipmanla bu problemin üstesinden gelebildim.

Bir süre daha bu kadar zor bir oyun oynamayı düşünmüyorum ama. Refleksleri biraz iyi olan gençlerin hoşuna gidebilecek bir oyun bence. Benim gibi daha eski nesiller de bu oyunu sevebilir. Zorlandığımız zaman acele etmeden oyun karakterimizi güçlendirme imkanımızın olması büyük avantaj.

Wiesel (Blue Brixx)

Çocuklara bu Noel’de Lego muadili olan Blue Brixx setlerinden bir tane aldım ve bugün montajını bitirebildim. Wiesel adlı bir Alman panzeri. Anladığım kadarıyla bu modeli yapan firma Xingbao ve parçalar Blue Brixx’ten. Model üzerinde altı yaş üstü için uygun yazıyordu ve neden olmasın dedim.

Altı yaş üstü elli yaş üstünü kapsamıyormuş ama. Kılavuzdaki ilk adım için rahat onbeş dakika harcadım. Parçalar numaralandırılmış küçük poşetlerde duruyordu ve ilk adımda 1 numaralı paketle başlayın diyor. Güzel dedim ama 1 numaralı altı adet paket var ve kılavuzda da bunun böyle olduğu yazıyor.

Aradığım parçaların olabileceği ilk torbayı kabaca seçip bir kaba döktüm ve doğru parçaları bulmaya çalıştım. İki tanesini buldum ama üçüncüyü bulamadım. İkinci bir 1 numaralı torbayı daha açtım ve kaba boşalttım. Bu sefer de parça sayısı çok olduğundan doğru parçayı bulmak zaman almaya başladı. Ayrıca kılavuzdaki parça resimleri de küçük olduğundan görebilmek için telefonun el feneri modunu da epey kullanmam gerekti. Zamanla panzerdeki parçalar arttı ve kaptakiler azalmaya başladı, dolayısıyla parça arama zamanı da azaldı.

Bazı parçalar takıldığı yerden bir kere çıkarılınca tutuş gücünü epey kaybetti. Bunun dışında sonuç fena değildi bence. Birkaç parçanın gevşekleşmesi yüzünden çok oynanabileceğini sanmıyorum ama vitrinde güzel duracaktır.

Görüldüğü gibi modelde iki değişik top kısmı var. Bunlar kolayca değiştirilebiliyor.