Leslie modeli (bir avcı ve bir av türü)

Bu modeli internette arattığımda daha çok yaşlara göre tanımlanmış bir popülasyonda matrisli modeller buldum ama kitapta iki denklemle tanımlanmış bir model anlatılıyordu.

Lotka-Volterra modelinden farklı olarak av türü için yoğunlupa bağlı bir ölüm oranı parametresine ve avcı için de daha gerçekçi bir ölüm oranı terimine sahip. Önce modelin denklemlerini göstereyim:

\(\frac{dx}{dt} = \frac{r_1}{K_1}(K_1 – x) – b \cdot y \)

\(\frac{dy}{dt} = r_2 \cdot (1 – \frac {y}{c\cdot b \cdot x}) \)

\(x \) burada da av türünün nüfusunu gösteriyor, \(y \) de avcı nüfusunu.

\(K_1 \) sabiti diğer türlerin olmadığı durumda ortamda bulunabilecek popülasyon büyüklüğünü, bu durumda av türünün nüfusunu, belirliyor.

\(r_1 \) sabitini nüfuslar sıfıra yakınken av türünün çoğalma hızı olarak düşünebiliriz.

\(b \) sabiti avcıların avları ne kadar kolay avlayabildiğini gösteriyor. Yani yüksek \(b \) değeri avlanmanın çok olduğunu modelliyor.

\(r_2 \) sabitini nüfuslar sıfıra yakınken avcı türünün çoğalma hızı olarak kullanıyoruz.

\(c \) sabiti de avların avcı için besleyici değerini gösteriyor.

Şimdi bu sabitlerin nüfusların değişimini nasıl etkilediğine bakayım.

\(r_1 \) ve \(r_2 \) sabitleri kendilerinden beklendiği gibi türlerin üremelerini artırma eğiliminde. Bu sabitler büyüdükçe türlerin çoğalma hızı da artacaktır.

\(K_1 \) sabitinin sisteme etkisi biraz daha karışık. Bu terim hem payda hem de paydada bulunuyor. Burada \(\frac {K_1 – x}{K_1} \) ifadesine bakayım önce. Bu ifadenin payı ortamda daha ne kadar avcı nüfusu olabileceğini gösteriyor, paydası da ortamın tek başına ne kadar avı besleyebileceğini. Yani bu bölüm ortamda henüz tüketilmemiş av potansiyelinin oranını veriyor. Örneğin daha yüzde otuz av daha olabilir gibi. Yani bu terim av nüfusu azaldıkça artıyor ve \(r_1 \) terimiyle beraber av nüfusunun artması için daha çok uğraşıyor. Av nüfusu ortamın besleyebileceği maksimum olan \(K_1 \) sayısına ulaştığında bu oran da sıfır oluyor ve av türünün üremesini durdurmaya çalışıyor. Nüfus daha da artarsa av nüfusu ortamın kaldırabileceğinden fazla olduğundan bu terim üremeyi değil ölümü tetiklemeye başlıyor.

\(b \cdot y \) terimi avcıların o an toplamda ne kadar avlayacağını gösteriyor. Bunu da avın nüfus artışından çıkararak av nüfusunun net değişikliğini modelliyoruz. \(b \) sabiti ne kadar yüksekse av nüfusunda ölümler de o kadar çok olacaktır.

Avcı nüfusunu artıran ana terim tabii ki \(r_2 \) sabiti. Bunun yanında avcıların ölümünü belirleren diğer terim biraz daha karmaşık. Şimdi bunu anlamaya çalışayım.

\(1 – \frac {y}{c\cdot b \cdot x} \) teriminin değeri avcı nüfusu arttıkça azalmakta ve bir süre sonra negatife dönüşecek. Yani bu modelde avcı nüfusunun kontrolsüz artmasının avcıların nüfus artışını azaltacağı ve hatta avcılarda ölümleri artıracağı da göz önüne alınmış. Aynı mantıkla baktığımızda \(b \) (başarılı avlanma oranı), \(c\) (avın avcı için besleyiciliği) ya da av nüfusu arttıkça avcılarda ölüm miktarı azalacaktır.

Madem parametreleri biraz anlayabildim, bir de bu modeli python ile programlayayım dedim. Parametreleri seçmek biraz zor oldu ama. Epey bir deneme yanılmadan sonra şöyle bir sonuç elde ettim.


from random import betavariate
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = 10
y = 10
b = 0.1  # effectiveness of predators in killing preys
c = 5  # nutritional value of the prey to the predator
r1 = 1.4  # birth rate of prey
r2 = 0.8  # birth rate of predator
K1 = 50  # capacity

populations = np.empty((0, 2), int)
populations = np.append(populations, np.array(
    [[x, y]]), axis=0)

for i in range(1, 100):
    H1 = ((r1/K1)*(K1 - x) - b*y)
    H2 = 0
    x = x + x*H1
    if x < 0:
        x = 0

    if x != 0:
        H2 = (r2*(1 - (y/(c*b*x))))
        y = y + y*H2
    if y < 0:
        y = 0
    populations = np.append(populations, np.array(
        [[x, y]]), axis=0)

f, (ax1, ax2) = plt.subplots(2)
line1, = ax1.plot(populations[:, 0], color="b")
line2, = ax2.plot(populations[:, 1], color="r")

ax1.set_ylabel("Av")
ax2.set_ylabel("Avcı")
ax2.set_xlabel("zaman")
plt.show()

Yazılım

“… Bu alanda başarılı olmak için bulabildiğiniz her şeyi okuyun. Klasik sayılan örnekler diğerlerine göre daha kolaydır, başlangıç için onları seçebilirsiniz. Bilinmeyen örneklerle daha sonra ilgilenmenizi öneririm. Tatilde dinlenmeyi de unutmayın tabii. Dersimiz bitti, bir sonraki dönemde tekrar görüşmek üzere.”

– Tatilde kimi okumayı düşünüyorsun?

– W.C. buldum. Onu okuyacağım. Klasik hem. Sen kimi düşünüyorsun?

– Ben C. K. okumaya başladım. Çok enteresan. Mesela şu pasaja bak. Heralde şu olaylarla ilgili olmalı, hani geçen hafta anlattığım.

Cep telefonunu çıkarıp arkadaşına işaretlenmiş bir yer gösterdi.

– Hmmm, A-C-G-G-C-C-T-C-C-A? Hangi kromozomdu bu? Ha gördüm, tamam. Çok ilginç.

– Devamını da oku, asıl orası bomba.

– Ay, felaketmiş ya. Hiç güleceğim yoktu. Neyse ki anne ve babası böyle bir şeyin mümkün olduğunu bilmiyordu. Bu çağda kimse böyle bir çocuk riskine girmez heralde.

– Evet ya. Bunun gibi daha bir sürü pasaj var. İstersen sana da bir kopyasını verebilirim.

– Önce şu elimdekini bitireyim de.

O sırada yanlarından geçen Marcel’i gördüler.

– Hey Marcel, sen kimi okuyorsun?

– Söylemem.

– Söyle ya, gülmeyiz.

– Söyleyemem.

– Nasıl söyleyemem? Yoksa yasaklı biri mi?

Neredeyse fısıldayarak:

– Nereden buldun?

– Evde laboratuvarım var.

– Eğer düşündüğüm şeyi yaptıysan hemen okumayı bırak. Çok tehlikeli bir yoldasın.

Marcel cevap vermek için arkadaşına bir baktı ve sadece yoluna devam etti.

Basit bir doğru denklemi

Evet, bu yazıda ortaokuldan beri bildiğimiz bir doğru denklemi üzerine bir şeyler anlatacağım. \(a\cdot x + b \cdot y = c \) Hayır, bulduğum yeni bir şey yok. Sadece bu hafta içinde bu doğru ile benim aramda geçen şeylerden bahsedeceğim.

Bütün okul hayatım boyunca matematik hep merkeze yakın bir yerde oldu. Matematikçi olmadım ama mühendis oldum. Bu doğru denklemiyle ortaokuldan beri haşır neşirim. Peki bu doğruyla ilgili neler biliyordum?

Ortaokuldan beri bunun bir doğru denklemi olduğunu biliyorum. Hatta biraz uğraşırsam, yani beş on saniye içinde bu doğrunun eğimi ile x ile y koordinatlarını kestiği noktaları kafadan bile hesaplayabileceğimi biliyorum.

Hadi bu iddialarımı bir deneyeyim.

x’li terimi eşitliğin öbür tarafına atıp iki tarafı b’ye bölersem

\(a \cdot x + b \cdot y = c \)

\(b \cdot y = c – a \cdot x \)

\(y = \frac{c}{b} – \frac{a}{b} \cdot x \)

O zaman da eğim x teriminin katsayısı olan \(– \frac {a}{b} \) demektir. Pozitif a ve b katsayıları için eğim negatifmiş. Yani doğru sol üst taraftan sağ alt tarafa doğru gidiyormuş. Eğimle ilgili hemen kafadan hesaplayabildiğim ve hatırladığım şeyler bu kadar.

Peki bu doğru x ve y koordinatlarını nerede keser? Bunu da kafadan çözmek çok kolay. x eksenini kestiği yeri bulmak için y yerine 0 değerini koyup x değerini bulurum.

\(a \cdot x + b \cdot 0= c \)

\(a \cdot x = c \)

\(x = \frac {c}{a} \)

y eksenini kestiği yer için de x yerine 0 koyup denklemi y için çözerim.

\(a\cdot 0 + b \cdot y = c\)

\(b \cdot y = c \)

\(y = \frac{c}{b} \)

Bu kadar basit. Hatta yine a, b ve c katsayılarının pozitif olduğunu varsayarsak eksenlerin kesildiği noktaların da pozitif olduğunu görürüz ve bu da doğru üzerindeki bir noktanın y ekseninin pozitif tarafında, diğer başka bir noktanın da x ekseninin pozitif tarafında olduğunu söyler ve bu şekilde de doğrunun sol üstten sağ alta doğru gittiğini görebiliriz. Bu da eğimin negatif olduğunu söyler.

Sanırım bu haftaya kadar bu doğrunun sadece bu özellikleriyle ilgilendim. Aslında bu doğrunun daha başka bir özelliği de yoktur heralde, çünkü bu bilgilerle diğer her şey çıkarılabilir. Benim bahsetmek istediğim bu doğrunun benim için başka hiçbir şey çağrıştırmamasıydı. Bütün özelliklerini kolayca hesaplayabildiğim basit bir matematiksel nesne. Bu kadar.

Bu hafta kendi kendime okuduğum bir ekonomi kitabında bütçe ve bu bütçeye göre iki ürün arasından nasıl seçimler yapılabileceği anlatılıyordu. Tabii ki ürünlerin birbirinin yerine geçip geçemediği filan gibi durumlar da seçimde önemli ama en basit durum olarak bir kişinin belli bir bütçeyi bu ürünlere nasıl dağıtabileceği genel olarak ifade edilebilir.

Örneğin ürünlerin birinin birim fiyatına \(p_x\) diyelim. Bu üründen x adet alırsak bunun için toplam \(p_x \cdot x \) harcamış oluruz. Aynı şekilde diğer ürünün birim fiyatına \(p_y \) dersek, bu üründen y miktarda alırsak bunun için de toplam \(p_y \cdot y \) harcamış oluruz. Eğer tüm bütçemiz b ise ve bu bütçeyi bu şekilde iki ürüne dağıtırsak ürünler için yaptığımız harcamaların toplamı b olacaktır. Bunu bir denklem şeklinde yazarsak da

\(p_x \cdot x + p_y \cdot y = b \) denklemini elde ederiz. Biraz dikkatli baktığımızda bu denklemin yazının başında bahsettiğim denklemle aynı olduğunu görebiliriz. denklemdeki bütün katsayılar da yukarıda varsaydığım gibi pozitif, yani eğimler ve eksenlerle kesişim noktaları da aynı yukarıdaki analizdeki gibi kolayca görülebilir.

Buraya kadar yeni bir şey yoktu. Kitaptaki benim için ilginç işlemler tabii ki fiyatlar ve bütçedeki değişikliklerle başladı. bir ürünün fiyatı artarsa bu doğru nasıl değişir? Bütçe azalırsa doğru nasıl hareket eder? Bu soruları tabii ki cebirle bulmak zor değil ama kafamda oluşmuş bir sezginin olmadığını farkettim. Belki bütçe için bir şey diyebilirdim ama o da biraz düşündükten sonra. Denklemdeki bütçe terimi olan b büyürse yeni doğrunun eğimi de değişmeyecektir. Çünkü eğim sadece diğer iki sabite bağlı. Bu durumda doğru sadece paralel olarak kaydırılacak ama ne tarafa? Bütçe arttığına göre iki üründen de daha fazla alınabilecek, o zaman sağa ve yukarıya doğru paralel kayacak. Evet, görüldüğü gibi mantıkla bunları bulmak kolay ama bende bu his henüz otomatikleşmemiş. Peki x ürününün fiyatı azalırsa doğru ne tür bir hareket yapar sorusuna bakalım. x ürününü fiyatı azalırsa o üründen daha çok alınabilir, yani miktarı artar. Bu da doğrunun x eksenini kesen noktasının sağa doğru hareket etmesi demek. Peki bu sırada doğrunun y eksenini kesen noktasının hareketi nasıl olur? Yazının ilk başında yaptığım analize bir göz atarsak ve bu analizi aynen bütçe doğrusuna uygularsak, bu noktanın sadece bütçeye ve y ürününün fiyatına bağlı olduğunu görürüz. O zaman o nokta hiç hareket etmeyecek. Yani doğrumuz y eksenini kesen nokta etrafında saat yönünün tersi yönünde dönecek. Matematikle bu sonuçları hala kolayca bulabiliyordum ama hayatım boyunca bu doğruya bu soruları sormadığımdan cevaplar ilk başta biraz yabancı geliyordu.

Bu fikirlerle ya da sorularla daha kolay oynayabilmek için bu denklemi geogebra’da yazdım ve parametreleri kaydırarak değişimi anında görsel bir şekle çevirdim. Bu yöntem kağıt kalemle bu işi defalarca yapmaktan daha iyi mi değil mi bilmiyorum. Belki kişiden kişiye göre de değişiyordur ama merak edenler için linki buraya koyuyorum.

Bütçe doğrusu

Lotka-Volterra modeli

Oyun teorisi her zaman ilgimi çekmiştir. Geçtiğimiz yıllarda evrimsel oyun teorisine bir giriş yaptım fakat kullandığım kitapta birçok şey başlangıç seviyesi için uygun olmadığından çok ileri gidemedim. Geçenlerde başka bir kitap buldum ve şansımı bir de bununla deneyeyim dedim.

İlk pratik konular popülasyon modelleme üzerineydi. Bu modellerden birini bu yazıda anlamaya ve anlatmaya çalışacağım.

Bu modelde iki türden oluşan popülasyonların bir türü ele alınıyor. En basit örnekleri av ve avcılardan şeklindeki türler. Avcıların doğum oranı çevredeki av oranına bağlı. Ne kadar çok avlanabilirlerse o kadar iyi beslenirler ve üremeleri kolaylaşır. Avcıların ölüm miktarı ise normal şartlarda sadece kendi nüfuslarına bağlı. Aynı şekilde avların üreme miktarı sadece kendi nüfuslarına bağlıyken ölüm sayıları tabii ki avcıların sayısına da bağlı. Ortamdaki kaynakların hem av hem de avcı için yeterli olduğunu varsayalım.

Bu düşünceler doğrultusunda şimdi Lotka-Volterra denklemlerini yazayım. x av türünün nüfusu, y de avcı türünün nüfusu olsun.

\(\frac{dx}{dt} = \alpha x – \beta x \cdot y \)

\(\frac{dy}{dt} = \delta x \cdot y – \gamma y \)

Bu modeli biraz açıklamaya çalışayım. \(\frac{dx}{td} \) terimi av türünün nüfusunun zamana göre değişimini göstermekte. Yani bir süre geçince bu nüfusun artışını ya da azalışını, kısaca değişimini gösteriyoruz. Bu değişim o anki nüfus sayılarıyla ve bası sabitlerle orantılı. Aynı şekilde \(\frac{dy}{td} \) terimi de avcı nüfusundaki zamana göre değişimi ifade etmekte.

Denklemlerdeki sabitlere bakalım şimdi: Öncelikle bütün sabitlerin pozitif sayılar olduğunu varsayalım. Bu sayede o sabitlere daha alışık olduğumuz anlamlar yükleyebileceğiz.

\(alpha \) : av türünün doğum oranı. Doğum oranı av türünde sadece av türünün popülasyonunu etkiliyor. Bunu \(\alpha x \) ifadesinden görebiliyoruz. Av türünün çoğalması için çevredeki kaynaklara ve kendi türüne ihtiyacı var ve çevredeki kaynakların yeterli olduğunu varsaymıştık.

\(\beta \): bunu av türündeki ölüm oranı diye yorumlayabiliriz. Genelde iki tür arasındaki etkileşim faktörü olarak kullanılıyor ama bu denklemde ölüm oranı olarak çalıştığını görebiliriz. Öncelikle $\beta x \cdot y $ terimi diğer terimden çıkarılıyor, yani bir azalmayı simgeliyor. Diğer taraftan iki popülasyonun sayısına da etki ediyor. Yani bu sayılar arttıkça etkisi de artıyor. Bunu avcı sayısı arttıkça bu avcıların avlayacağı av sayısının artması şeklinde yorumlayabiliriz. Aynı şekilde av sayısı artarsa da avcılar daha kolay av bulacağından, az avcı olsa bile yine de daha çok av ölecektir.

\(\delta \): Bu sabiti de avcıların doğum oranı olarak düşünebiliriz. Aslında \(\beta \) sabiti gibi iki tür arasındaki bir etkileşim sabiti ama \(\delta x \cdot y \) teriminin pozitif olduğuna bakarsak avcı popülasyonunu artıracak bir etki yaptığını görürüz. Ayrıca iki popülasyona da bağlı bir artış sağlıyor. Eğer avcı sayısı artarsa türün üremesi kolaylaşacak. Eğer av sayısı artarsa avcılar daha iyi beslenebilecek ve yine daha çok üreyebilecekler.

\(\gamma \): Bu sabiti de avcıların ölüm oranı şeklinde düşünebiliriz. \(\gamma y \) teriminin diğer terimden çıkarılması popülasyonda azaltıcı bir etki yapacaktır ve bu da ölümü çağrıştırabilir. Av türü avcılar için tehdit olmadığında bu sabit av nüfusundan bağımsız bir etki yapmakta.

Şimdi bu denklemleri python programlarıyla deneyerek popülasyonların nasıl değiştiğinin grafiklerini elde etmeye çalışacağım.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = 10
y = 10
alpha = 0.1
beta = 0.04
gamma = 0.04
delta = 0.01

populations = np.empty((0, 2), int)
populations = np.append(populations, np.array(
    [[x, y]]), axis=0)

for i in range(1, 1000):
    x = x + alpha*x - beta*x*y
    if x < 0:
        x = 0
    y = y + delta*x*y - gamma*y
    if y < 0:
        y = 0
    populations = np.append(populations, np.array(
        [[x, y]]), axis=0)

f, (ax1, ax2) = plt.subplots(2)

line1, = ax1.plot(populations[:, 0], color="b")
line2, = ax2.plot(populations[:, 1], color="r")

ax1.set_ylabel("Av")
ax2.set_ylabel("Avcı")
ax2.set_xlabel("zaman")
plt.show()

Av sayısı artışından hemen sonra bol besin bulan avcıların sayısı da hızla yükselmiş. Avcı sayısının yükselmesiyle av nüfusunda aşırı avlanma nedeniyle hızlı bir düşüş görülüyor. Grafikten ayrıca bu davranışların sürekli tekrarlandığını görüyoruz. Bu grafiğe bakıp her zaman bu tür bir nüfus değişimi gözlemleneceği düşünülmemeli ama. Sabit sayılara ve ilk durumdaki nüfus değerlerine göre çok farklı bir davranış da görülebilir. Şimdi buna bir örnek vereyim.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = 10
y = 10
alpha = 0.1
beta = 0.1092
gamma = 0.04
delta = 0.01

populations = np.empty((0, 2), int)
populations = np.append(populations, np.array(
    [[x, y]]), axis=0)

for i in range(1, 5000):
    x = x + alpha*x - beta*x*y
    if x < 0:
        x = 0
    y = y + delta*x*y - gamma*y
    if y < 0:
        y = 0
    populations = np.append(populations, np.array(
        [[x, y]]), axis=0)

f, (ax1, ax2) = plt.subplots(2)

av, = ax1.plot(populations[:, 0], color="b")
avci, = ax2.plot(populations[:, 1], color="r")

ax1.set_ylabel("Av")
ax2.set_ylabel("Avcı")
ax2.set_xlabel("zaman")
plt.show()

Bu programda sadece \(\beta \) sabitini yükselttim, yani avcıların avlanma oranını artırdım. Bir noktadan sonra aşırı avlanmadan sonra av türünün nüfusu tamamen tükeniyor. Bu noktadan sonra avcılar da yok olmaya başlıyor.

Zamanı bu grafikte daha da ileriye götürdüm ki türlerin bir daha dirilmediği daha iyi görülebilsin. Demek ki seçilen sabitlere göre iki türün de ortadan kalkması mümkün.

Peki av türü ilk azalmadan sonra nasıl yeniden çoğalmayı başardı? Bunu görebilmek için grafiği çok büyütmek lazım.

Bu grafikte sadece av nüfusunu 3. ile 9. iterasyon arasında büyüttüm. Avcı grafiğine dokunmadım. Burada görüyoruz ki av nüfusu sıfıra çok yaklaşmış (\(5\cdot 10^{-11}\) ). Evet bu sayı gerçek hayatta çok anlamsız ama modeli tanımlayan diferansiyel denklemler için geçerli ve yeterli sayılar.

Bir de bu iki türün popülasyonlarını zamana göre değil de birbirlerine göre gösterebiliriz. Buna faz uzayı deniyor sanırım, ingilizcesi phase-space plot. Programı bir de bu gösterim için düzenledim.


from random import betavariate
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = 10
y = 10
alpha = 0.1
beta = 0.04
gamma = 0.04
delta = 0.01

populations = np.empty((0, 2), int)
populations = np.append(populations, np.array(
    [[x, y]]), axis=0)

for i in range(1, 1000):
    x = x + alpha*x - beta*x*y
    if x < 0:
        x = 0
    y = y + delta*x*y - gamma*y
    if y < 0:
        y = 0
    populations = np.append(populations, np.array(
        [[x, y]]), axis=0)

plt.plot(populations[:, 0], populations[:, 1])
plt.ylabel("avcı")
plt.xlabel("av")
plt.show()

Bu da programı çalıştırınca çıkan grafik:

Bu model çevremizdeki türleri çok iyi modellemese de uzun süre ekonomi alanında kullanılmış.

Matematik ve gerçek hayat

Okulda matematik derslerinde hep sayılarla örnekler verirdik. Böyle böyle matematiğin sayılar dışında başka hiçbir alanda işe yaramayacağına inanmaya başladık. Oysa matematikteki fikirler öğrendiğimizden daha soyut şeyler.

Bugün düşündüğüm soru yine gruplarla ilgili. a ve b grup elemanları, n de bir doğal sayı olsun. Deşişmeli bir grupta \((ab)^n = a^n b^n\) olduğunu gösterin. Bu kural değişmeli olmayan bir grup için de doğru mudur?

Bu soruyu şimdi ispatlamaya çalışmayacağım. Sadece öğrendiğimiz matematik dışında örnekler düşüneceğim. Değişmeli grupta işlem için örnek ararken tabii ki yaptığım işlemlerin sırasının önemi olmadığı bir örnek bulmam lazım.

Mesela yeterince yerimiz var ve volta atıyoruz. On adım ileri, on adım geri. Dört kere volta atacağımızı varsayalım. Eğer her seferinde önce ileri sonra geri gidersek başladığımız yere döneriz. Bunun yerine önce dört kere ileri sonra da dört kere geri gidersek, yine başladığımız yere döneriz.

Peki sıranın önemli olduğu işlere örnek neler var? Örneğin suluboya yaparken bir katman boya yapıp ardından bu katmanın kurumasını beklemek. Sonra ikinci katman ve onun kurumasını beklemek. Eğer kurumasını beklemeden ikinci katmanı boyarsak çok farklı bir sonuç çıkabilir.

Bu şekilde başka bir örnek de şöyle olabilir. Örneğin beş adım ileri atıp sağa doğru doksan derece dönelim. Aynı hareket kombinasyonunu dört kere yaptığımızda başlangıç noktasına ve başlangıçtaki pozisyonumuza erişiriz. Bunun yerine önce dört kere beş adım atıp sonra da dört kere sağa doksan derece dönersek çok başka bir noktada oluruz.

Matematik gerçek hayatta sayılardan ibaret değildir.

Değişmeli gruplarla ilgili bir soru (Kendi kendime matematik)

Arada kendi kendime matematik çalıştığım oluyor. İlgimi çeken alanlardan biri de grup teorisi. Bu yazıda bu sorunun nasıl çözüldüğünü anlatmaktan çok kafamı karıştıran noktalarıyla ilgileneceğim. Bu karışıklıkların çoğu yanlış anladığım ya da eksik olan matematik temelimden kaynaklanıyor olabilir.

Soru şöyle: \(G \) grubu için şu özellik verilmiş olsun. Gruptaki her \(x,y,z\) elemanları için \(xy = zx\) ise \(y = z\) geçerlidir. Grubun değişmeli olduğunu ispatlayın.

İlk başta aklıma şöyle bir hareket geldi.

Değişmeli bir grup olması için her \(x \) ve \(y \) için \(xy = yx \) olması gerekiyor. Sorudaki ifadeyi kullanınca da bu sonuca hemen ulaşıyorum: \(xy = zx = yx \) demek ki değişmeli bir gruptur.

Peki bu ispat kendimi ikna ediyor muydu? Değişmeli grup olduğunu göstermek için her \(x \) ve \(y \) elemanları için \(x\cdot y = y \cdot x \) olduğunu göstermem lazım. Verilen özellik ise bana ilk bakışta bu şartı sağlayan bir z sayısının varlığını şart koşmuyor. O zaman soruya başka türlü yaklaşayım dedim.

\(x \cdot y \cdot x^{-1} = z \) diyelim. \(x \) ve \(y \) sayıları grup içinden herhangi iki eleman olsun. O zaman \(x^{-1} \) elemanı da grup içinde olmak zorundadır. Bu durumda grubun çarpma işlemine göre kapalı olmasından \(z \) elemanı da aynı grubun bir elemanıdır.

\(x \cdot y \cdot x^{-1} = z \)

\(x \cdot y \cdot x^{-1} \cdot x= z \cdot x \)

\(x \cdot y \cdot e = z \cdot x \)

\(x \cdot y = z \cdot x \)

Bu şekilde her durumda bu eşitliği sağlayacak bir z elemanının olacağını buldum. Her ne kadar bu fikir kafamda henüz tam oturmasa da bu sırada bir şey atladığımı sanmıyorum. Bu adımlar sırasında anladığım kadarıyla sadece bir ifadeyi hafifçe değiştirmiş oldum. Şimdi onu biraz toparlamaya çalışayım. Sorudaki özellikte herhangi x, y ve z elemanları için eşitlik doğruysa y ve z elemanları birbirine eşittir diyordu. Benim ulaştığım noktada ise bu özellikteki eşitliğin rastgele x ve y için hangi z elemanı için doğru olduğu da bulunuyor. Diğer bütün elemanlar için böyle bir eşitlik olamayacak ama bu da sorun değil çünkü varsayım kısmı yanlış ise bir şey kaybetmiş olmuyoruz.

Ulaştığım bu ara adımdan sonra y ve z elemanlarını eşitlediğim zaman yazının başında yaptığım gibi değişmeli grup özelliği hemen ortaya çıkmakta.